第1章反比例函数（单元测试·基础卷）数学湘教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象关于原点中心对称 B．图象与坐标轴没有交点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 6．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 7．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．若，则函数和的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   9．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 10．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是反比例函数，则的值是 ，反比例系数是 ，自变量取值范围是 ． 12．已知点在反比例函数的图象上，点B在直线上，且A，B两点关于x轴对称．若，则反比例函数的表达式为 ． 13．若函数与函数的图象均不经过第二象限，则的取值范围是 ． 14．某气球内充满了一定质量的气体，在一定条件下，气球内的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．已知当气球内的气压大于40000时，气球将爆炸，为确保安全，气球的体积V的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，过作轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，是轴上一点，交反比例函数的图象于点，若是的中点，且的面积为，则的值为 ． 16．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 18．（6分）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 19．（7分）如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 20．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 21．（8分）为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2021年1月且开始限产，并对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图像如图所示，试解决下列问题： (1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式； (2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？ 22．（8分）如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，点的坐标为． 当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？ 若与均为直角三角形，其中，求此反比例函数的解析式及点的坐标． 23.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A D D D D C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14． 15． 16．-2 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值． （1）待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，， ∴； ∴； （2）当时，． 18． （6分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 19．（7分） 【解析】（1）解：∵， ∴． 故答案为：；（2分） （2）解：∵，， ∴，，（4分） 如图，    ∴．（6分） 19． （7分） 【答案】(1)1 (2)或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，图形法解不等式，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求出一次函数，反比例函数的解析，结合点的横坐标得到，则，由三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据一次函数，反比例函数图形的交点，求不等式解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过两点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象过，     ∴， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，即，且， ∴当或时，， ∴的取值范围为：或． 20． （8分） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用三角形的面积构建方程求出即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图象经过A，B， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）∵点是第三象限内一点，，，的面积为， ， ∴， ∴． 21． （8分） 【答案】(1)y＝10x－30 (2)到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元 (3)该工厂资金紧张期共有5个月 【分析】（1）根据题意列方程即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，时，得到，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，设前5个月中y与x的函数关系式为， 把x＝1，y＝100代入得，k＝100， ∴y与x之间的函数关系式为 把x＝5代入得， 由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y＝10x＋b， 把x＝5，y＝20代入得，20＝10×5＋b， ∴b＝－30， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x－30； （2）解：由题意得，把y＝100代入y＝10x－30得100＝10x－30，解得：x＝13， ∴到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元； （3）解：对于，y＝50时，x＝2， ∵k＝100＞0，y随x的增大而减小， ∴x>2时，y＜50， 对于y＝10x－30，当y＝50时，x＝8， ∵k＝10＞0，y随x的增大而增大， ∴x＜8时，y＜50， ∴2＜x＜8时，月利润少于50万元， ∴该工厂资金紧张期共有5个月． 22（8分） 【答案】（1）点的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则的面积将逐渐减小．（2）. 【分析】作辅助线，可得出面积的表达式，由k的取值范围可以得出结论； 当若与均为直角三角形，其中时，可先求得函数解析式，又因为特殊直角三角形可得出相应点的坐标. 【详解】解：过作，垂足为， 设， ∵在第一象限， ∴的面积． 又∵当时，在每一个象限内，随的增大而减小． 故当点的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则的面积将逐渐减小． 因为是直角三角形， 所以，， 所以． 代入，得， 所以反比例函数的解析式为． ∵为直角三角形，， ∴轴，设， 则，， 所以． ∵在反比例函数的图象上， ∴代入，得， 化简得 解得：． ∵， ∴．∴， ∴， 所以点的坐标为． 23．（10分） 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可； （3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解． 【详解】（1）解：（1）把点代入解得，， 把代入解得，； （2）∵， ∴反比例函数解析式为． ①设B的坐标，点A的坐标为， ∵，， ∴，把代入得：， ∴点， ∵一次函数的图象与y轴交于点Q． ∴Q的坐标为， 过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标， ∴， ∴， ②设点，， ∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形； 当和为对角线时，如下图： Q点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图： 故点的纵坐标为点纵坐标加：， 即， M的坐标为； 当和为对角线时， 如下图： N点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图： 故点的纵坐标为，， ， 故此时点坐标为：； 综上，点的坐标为：，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象关于原点中心对称 B．图象与坐标轴没有交点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 6．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 7．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．若，则函数和的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   9．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 10．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是反比例函数，则的值是 ，反比例系数是 ，自变量取值范围是 ． 12．已知点在反比例函数的图象上，点B在直线上，且A，B两点关于x轴对称．若，则反比例函数的表达式为 ． 13．若函数与函数的图象均不经过第二象限，则的取值范围是 ． 14．某气球内充满了一定质量的气体，在一定条件下，气球内的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．已知当气球内的气压大于40000时，气球将爆炸，为确保安全，气球的体积V的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，过作轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，是轴上一点，交反比例函数的图象于点，若是的中点，且的面积为，则的值为 ． 16．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 18．（6分）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 19．（7分）如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 20．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 21．（8分）为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2021年1月且开始限产，并对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图像如图所示，试解决下列问题： (1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式； (2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？ 22．（8分）如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，点的坐标为． 当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？ 若与均为直角三角形，其中，求此反比例函数的解析式及点的坐标． 23.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章反比例函数·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、是正比例函数，不符合反比例函数形式，故不符合题意； B、 可写为 ，其中，符合反比例函数定义，故符合题意； C、 的分母为，而非单独的，不是反比例函数，故不符合题意； D、 即，但题目未明确，若 则函数退化为，不符合反比例函数要求，故不符合题意； 故选：B． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 3．如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵等腰三角形的底边长为，底边上的高为，面积为10， ∴， ∴， 故选：C． 4．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：反比例函数的图象位置由k的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限， 函数为，其图象位于第二、四象限， 比例系数， ，解得． 故选：A． 5．关于反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象关于原点中心对称 B．图象与坐标轴没有交点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】解：选项A：反比例函数的图象关于原点中心对称，故A正确， 选项B：图象与坐标轴无交点．图象无限接近坐标轴但不相交，故B正确， 选项C：∵，∴当时，y随x的增大而减小，故C正确， 选项D：∵，∴当时，随的增大而减小，故D错误， 故选：D． 6．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【解析】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 7．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 8．若，则函数和的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】解：A．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而增大相矛盾，故本选项不符合题意： B．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，本选项不符合题意； C．反比例函数中，则，而一次函数与y轴交于正半轴，，与前边的相矛盾，故本选项不符合题意； D．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相一致，且与y轴交于负半轴，故本选项符合题意． 故选：D． 9．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 【答案】C 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小；故选项A正确，不符合题意； 当时，；故选项B正确，不符合题意； 当原物体重量增加，则：，则：；故选项C错误，符合题意； 当时，， ∵F随L的增大而减小，最大为：， ∴弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是；故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点 在中， 令，解得：， 即的坐标是． 令，解得：， 即的坐标是． 则，． ∵， ∴， 又∵直角中，， ∴， 在和中， ， ∴（）， 同理，， ∴，， 故的坐标是，的坐标是． 代入得：， 则函数的解析式是：． ∴， 则的纵坐标是， 把代入得：．即的坐标是， ∴， ∴． 故选：A． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是反比例函数，则的值是 ，反比例系数是 ，自变量取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵是反比例函数， ∴，即有，反比例系数是，自变量取值范围是， 故答案为：，，． 12．已知点在反比例函数的图象上，点B在直线上，且A，B两点关于x轴对称．若，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【解析】点，B关于x轴对称， ∵点B在直上， ，整理得 ∵点在反比例函数的图象上， ，即 ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 13．若函数与函数的图象均不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：当时， 函数与函数即为，图象与x轴重合，均不经过第二象限， 当时， 函数为反比例函数，时，图象不经过第二象限， 函数为一次函数，时，图象不经过第二象限， 综上，当时，函数与函数的图象均不经过第二象限， 故答案为：． 14．某气球内充满了一定质量的气体，在一定条件下，气球内的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示．已知当气球内的气压大于40000时，气球将爆炸，为确保安全，气球的体积V的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：设反比例函数解析式， 由图象可知，反比例函数经过点， ， ， 在第一象限内，P随V的增大而减小， 当时，， 气球内的气压大于时，气球将爆炸， 当时，此时， 气体的体积的取值范围为， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，过作轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，是轴上一点，交反比例函数的图象于点，若是的中点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 16．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 【答案】-2 【解析】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，， ∴； ∴； （2）当时，． 18．（6分）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 19．（7分）如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【解析】（1）解：∵一次函数的图象过两点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象过，     ∴， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，即，且， ∴当或时，， ∴的取值范围为：或． 20．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用三角形的面积构建方程求出即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图象经过A，B， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）∵点是第三象限内一点，，，的面积为， ， ∴， ∴． 21．（8分）为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2021年1月且开始限产，并对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图像如图所示，试解决下列问题： (1)分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式； (2)到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)y＝10x－30 (2)到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元 (3)该工厂资金紧张期共有5个月 【详解】（1）解：由题意得，设前5个月中y与x的函数关系式为， 把x＝1，y＝100代入得，k＝100， ∴y与x之间的函数关系式为 把x＝5代入得， 由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y＝10x＋b， 把x＝5，y＝20代入得，20＝10×5＋b， ∴b＝－30， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x－30； （2）解：由题意得，把y＝100代入y＝10x－30得100＝10x－30，解得：x＝13， ∴到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元； （3）解：对于，y＝50时，x＝2， ∵k＝100＞0，y随x的增大而减小， ∴x>2时，y＜50， 对于y＝10x－30，当y＝50时，x＝8， ∵k＝10＞0，y随x的增大而增大， ∴x＜8时，y＜50， ∴2＜x＜8时，月利润少于50万元， ∴该工厂资金紧张期共有5个月． 22.（8分）如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，点的坐标为． 当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？ 若与均为直角三角形，其中，求此反比例函数的解析式及点的坐标． 【答案】（1）点的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则的面积将逐渐减小．（2）. 【解析】解：过作，垂足为， 设， ∵在第一象限， ∴的面积． 又∵当时，在每一个象限内，随的增大而减小． 故当点的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则的面积将逐渐减小． 因为是直角三角形， 所以，， 所以． 代入，得， 所以反比例函数的解析式为． ∵为直角三角形，， ∴轴，设， 则，， 所以． ∵在反比例函数的图象上， ∴代入，得， 化简得 解得：． ∵， ∴．∴， ∴， 所以点的坐标为． 23．（10分）．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可； （3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解． 【详解】（1）解：（1）把点代入解得，， 把代入解得，； （2）∵， ∴反比例函数解析式为． ①设B的坐标，点A的坐标为， ∵，， ∴，把代入得：， ∴点， ∵一次函数的图象与y轴交于点Q． ∴Q的坐标为， 过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标， ∴， ∴， ②设点，， ∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形； 当和为对角线时，如下图： 点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图： 故点的纵坐标为点纵坐标加：， 即， M的坐标为； 当和为对角线时， 如下图： 点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图： 故点的纵坐标为，， ， 故此时点坐标为：； 综上，点的坐标为：，， 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$