第二章 一元二次方程（举一反三单元测试·拔尖卷）数学北师大版九年级上册

第二章 一元二次方程·拔尖卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 2．（3分）（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 3．（3分）（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 5．（3分）（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）（2025·内蒙古·模拟预测）如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 9．（3分）（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 10．（3分）（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·山西太原·期中）关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ． 12．（3分）（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为 13．（3分）（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 14．（3分）（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 15．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足． （1）当时，则 ； （2）实数a的取值范围是 ． 16．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 18．（6分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 19．（8分）（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 20．（8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 21．（10分）（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 22．（10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 23．（12分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 24．（12分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）方程的解是，______，_______； （2）用“转化”思想求方程的解； （3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程·拔尖卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 2．（3分）（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵更接近于0， ∴方程的一个解得整数部分是1， 故选：C． 3．（3分）（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零．即分母恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴分母为二次函数恒不为零，， ∴方程无实数根， ∴，解得． 故选A． 4．（3分）（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由题意可得， 解得：， ∴， 故选：B． 5．（3分）（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 6．（3分）（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， 故选：A． 7．（3分）（2025·内蒙古·模拟预测）如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 8．（3分）满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，，0，1，2，3， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴或， 当时，原方程可化为， ∴或， ∴原方程的整数解为：或或或， 即：方程的整数对为、、，共四对， 故选：C． 【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解． 9．（3分）（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键． 根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可． 【详解】解：①当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），； ②当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），， ③当时，方程不成立． ∴此方程的所有实数根的和为： ． 故选：A． 10．（3分）（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·山西太原·期中）关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般式，根据一元二次方程的常数为可得，可得的值，再根据二次项系数不等于即可求解，掌握一元二次方程的定义及一般式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得或， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为 【答案】100 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 13．（3分）（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解： ，是关于x的方程的两根， ， ， ， 将代入，得：， 解得， 故答案为：8． 14．（3分）（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足． （1）当时，则 ； （2）实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程： （1）把代入两个式子，进行求解即可； （2）根据，得到，得到为一元二次方程的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出的范围即可． 【详解】解：（1）把代入，得： ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴可以看作是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：； 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，，， ∴， ∴， 解得： （2） 因式分解得 移项得， 提取公因式得， 即， 解得 18．（6分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，见解析． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根的判定式，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）两个正方形的周长之和为，则两个正方形的边长之和为，设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．根据面积之和等于建立方程求解； （2）先建立方程，再根据根的判定式判定即可． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； （2）两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 19．（8分）（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 20．（8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解答本题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 21．（10分）（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用表示，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：∵一元二次方程两根分别为，其中一根为， ∴将代入，则， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 解得：，； （3）解：当，且， ① ② ①－②得： 即 因， ∴， ∴ 由题知： ∴即，故． 22．（10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 不是“限制方程”； （2）解：是的两根， 则，， ∵， ∴， ， 解得或6， 当时，，解得， ， 不符合题意，舍去， 当时，，解得，满足， ∴； （3）解：方程的根为， ∵该方程是“限制方程”， ∴， 当时， ，解得， 当时， ，解得， ∴m的取值范围是或． 23．（12分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 24．（12分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）方程的解是，______，_______； （2）用“转化”思想求方程的解； （3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且x＞0，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得PB和PC，然后再根据列方程求出x即可． 【详解】解：（1）， ． ， 则或或， 解得：、、． 故答案为：；； （2）， ，即， ， 则或， 解得：，， 又∵， ∴； （3）设，则， ，， ，， ， ， 两边平方，整理可得： 再两边平方，整理可得：， 解得、， 则的长为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$