第二十二章 二次函数（举一反三单元测试·培优卷）数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数·培优卷 【人教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 3．（3分）（2025·浙江杭州·三模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（   ） x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 6．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 7．（3分）（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 8．（3分）（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（3分）（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（3分）（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式： ． 12．（3分）（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 13．（3分）（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 14．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 15．（3分）如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ． 16．（3分）（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（22-23九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在图中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 18．（6分）（24-25九年级上·全国·单元测试）抛物线与轴的交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线第一象限上的一点，若，求点的坐标； 19．（8分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． （2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 20．（8分）（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 21．（10分）（23-24九年级上·陕西延安·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22．（10分）在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0 （1）求证：函数y1与x轴有交点； （2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式； （3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围． 23．（12分）（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 24．（12分）如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数·培优卷 【人教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 3．（3分）（2025·浙江杭州·三模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（   ） x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数，理解表格信息，掌握待定系数法是关键． 通过观察表格中时，确定，函数式为，利用其他点的坐标建立方程组，解得，，从而对称轴为． 【详解】解：1. 确定的值：当时，，代入函数式得，故函数式为， 2. 建立方程组： 当时，①； 当时，②； 当时，③； 当时，④； 3. 解方程组： 得，， 得，，则， 得，，则， ∴， 整理得，， 解得，， ∴，， 4. 求对称轴：对称轴公式为，代入，，得， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故选：D． 4．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 5．（3分）（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 6．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值． 【详解】解：原抛物线为，向下平移4个单位后得到新抛物线． 令，则，解得， ∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4， ∴， ∴． 故选：D． 7．（3分）（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由题意得方程的解为或，利用根与系数的关系可得a，b的值，代入即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴方程的解为或， ∴，， 解得，， ∴，即，即 解得：， 故不等式解集为， 故选：D． 8．（3分）（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：令抛物线解析式， 当，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，， ∴抛物线与交点，横坐标为，， ∵，， ∴如图， ∴， 故选：． 9．（3分）（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 10．（3分）（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． 由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可． 【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得． 代入得抛物线方程得． 联立方程和，得， 解得或． ∴和． 令，代入得， 即． ∵、、． ∴； ∵、、． ∴； ． 故选B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，由条件可以得出，从而即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13．（3分）（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为， 根据对称性，则另一交点为， 所以，的取值范围是， 故答案为：． 14．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 15．（3分）如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－. 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度. 16．（3分）（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（22-23九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在图中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，然后把代入求出抛物线解析式； （2）利用描点法画函数图象； （3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围． 【详解】（1）解：∵和的函数值相同，都是， ∴对称轴为直线， ∴顶点为， 设， 将代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：描点，连线，这个二次函数的图象如图， （3）解：当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 18．（6分）（24-25九年级上·全国·单元测试）抛物线与轴的交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线第一象限上的一点，若，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、待定系数法求函数表达式，用解直角三角形的方法求出点H的坐标是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，过点作轴于点，过点作于点，则四边形是矩形，得，，，进而证明，得，，又证明，得，从而求得，利用待定系数法求得直线为，联立与求解即可得解． 【详解】（1）解：把代入得 ， 解得， ∴； （2）解：在上取一点，使得，连接，过点作轴于点，过点作于点， 当时，， ∴， ∴ ∵，轴，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线为， 把，代入得， ∴， 解得， 直线为， 联立与得 ， 解得或， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 19．（8分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． （2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）(2，－1) 【分析】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋1－2m＝0，然后用根的判别式即可解答． （2）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点. 【详解】（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0． 因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m， 所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0． 所以方程有两个不相等的实数根． 所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． （2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以x－2＝0，解得x＝2． 当x＝2时，y＝－1． 所以该函数图像始终过定点（2，－1）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、二次函数图像与x轴的交点问题等知识点，掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系是解答本题的关键． 20．（8分）（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 21．（10分）（23-24九年级上·陕西延安·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 22．（10分）在平面直角坐标系中，设二函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0 （1）求证：函数y1与x轴有交点； （2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式； （3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围． 【答案】（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：；（3）的取值范围为：． 【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可； （2）将化为顶点式，然后代入解析式，化简即可得出实数m，n的关系式； （3）根据二次函数的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围． 【详解】解（1）， ，，， ， ∴函数与x轴有交点； （2）， ∴顶点坐标为：， ∵函数经过函数的顶点， ∴， 化简可得：， ∴实数m，n的关系式为：； （3）抛物线的对称轴为：， ∵二次项系数，开口向上，作草图如下： ∴（-3，a）与（1，a）关于对称， ∵， ∴根据函数图象的性质可得：， ∴的取值范围为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数图象是解题关键． 23．（12分）（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 24．（12分）如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为，将点代入解出a，即可求出抛物线的解析式； （2）先求出直线AC的解析式，然后根据当时，点在直线上方，过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，可将分别代入和得，，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值； （3）由题意可得，根据，，可求出，连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，可得，根据，可得与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点D的坐标． 【详解】解：（1）据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得 ∴抛物线的解析式为； （2）设直线AC的解析式为：， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式：， 当时，点在直线上方， 过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q， 将分别代入和得，， ∴ ∵， ∴当且仅当时，取得最大值， 此时最大， ∴； （3）由、、得， ∵，， ∴， 连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H， 则， ， ∵， ∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称， ∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴点D的坐标为（-2，3）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助线，灵活运用知识点是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$