专题11.2 整式的乘法（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题11.2 整式的乘法（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 计算单项式乘单项式】 2 【题型2 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 3 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 5 【题型4 单项式乘多项式的应用】 8 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 11 【题型6 计算多项式乘多项式】 12 【题型7 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值】 15 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 17 【题型9 多项式乘多项式——化简求值】 19 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 21 【题型11 多项式乘法混合运算】 24 【题型12 多项式乘法中的规律问题】 26 知识点 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【题型1 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，可得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的乘法．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 【题型2 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 【例2】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式2-1】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2-3】（24-25八年级下·全国·假期作业）已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和同类项的定义，注意相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化，系数相乘作为积的系数，把相同字母的指数相加，再根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：∵ 又∵单项式和的积与是同类项， ∴   解得 ∴． ∴的值为． 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【答案】B 【分析】本题考查的是数字类规律探究，整式的乘法运算，一元一次方程的应用，由题意可得，，，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘多项式的运算法则． 根据单项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】∵， ∴ 故填：． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，单项式与多项式的乘法，等式的性质． 连接，，设，，根据题意可知，根据图形得到，分别求出每个三角形的面积，列等式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 设，， ∵，，正方形和长方形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即代数式的值不变的是， 故选：B． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【例4】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，整式的乘法无关类型，数形结合是解题的关键． 设，求出，根据当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得，的数量关系． 【详解】解：设， ∴ ∵当的长度变化时，的值始终保持不变， ∴ 即， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为，表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：C． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 【答案】(1) (2)一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损） (3)盈利1000元 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值和整式加减的应用，正确列出相应的代数式、准确计算是解题的关键； （1）根据商品A的售价为元，商品B的成本价为列式求解即可； （2）先计算出一件A商品的盈利和一件B商品的盈利，再进一步计算即可； （3）把，代入（2）的代数式中求解即可； 【详解】（1）解：∵商品成本价为元，提高20%后出售，商品亏本20%后售价为元， ∴商品A的售价为元，商品B的成本价元； 故答案为：； （2）解：一件A商品盈利为元，一件B商品盈利为元， ； 答：一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损）； （3）解：当，时，（元）， 答：盈利1000元． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 【例5】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 【变式5-1】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】-7 【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝﹣mx+nx+mn ＝+（n﹣m）x+mn， ∴， 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【点睛】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则． 【变式5-2】（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 【变式5-3】（22-23七年级下·浙江·阶段练习）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 【题型6 计算多项式乘多项式】 【例6】（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式6-1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法运算，根据多项式乘多项式的运算法则及平方差公式逐项展开计算即可得出结论． 【详解】A、，与题目结果一致，正确； B、展开得，，与题目结果一致，正确； C、，题目结果为，系数错误，实际应为，故选项C错误； D、，与题目结果一致，正确． 故选：C． 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据整式乘法的运算法则即可得，将代入，根据整式乘法的运算法则即可得． 【详解】解：由题意，， ∴， 解得：； ∴正确的结果是： ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到，则，据此可得，根据无论t为何值，的值始终为定值，得到，据此求出s的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值】 【例7】（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 【变式7-1】若，则 【答案】−3. 【分析】由多项式乘以多项式的运算法则，可求得（2x-3）（5-2x）=-4x2+16x-15，又由（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c，即可求得a，b，c的值，继而求得答案． 【详解】∵(2x−3)(5−2x)=10x−4x2−15+6x=−4x2+16x−15， (2x−3)(5−2x)=ax2+bx+c， ∴a=−4，b=16，c=−15， ∴a+b+c=−3. 故答案为−3. 【点睛】此题考查多项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则. 【变式7-2】（22-23七年级下·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【变式7-3】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（1）试说明整式的值与的值无关； （2）若的展开式中不含项，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断； （2）先把原式利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，从中找出项，再让它的系数为0，从而得到关于n的方程，解方程求解即可． 【详解】解：（1）原式， ∴原式值与的值无关． （2）原式= -2 + -+3x-6 =， ∵展开式中不含项， ∴， 解得n=2． 【点睛】此题考查了整式的化简，多项式乘多项式、单项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘多项式、单项式乘以多项式运算法则是解本题的关键． 【变式8-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【变式8-2】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若展开式中含项的系数是17，则的值 （     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ∵展开式中含项的系数是17 ∴ ∴ 故选：B． 【变式8-3】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知式子化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，整式的化简求值，正确计算是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开结果，再根据展开结果中不含有项和常数项列式求解即可； （2）先利用乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵式子化简后，不含有项和常数项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【题型9 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 【变式9-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】 ． 当时，原式． 【变式9-2】若，那么代数式 . 【答案】-2 【分析】由得a2=1-a，代入整理后再次代入即可求解. 【详解】∵， ∴a2=1-a， ∴ = = =4a+6-8a2-12a =4a+6-8(1-a)-12a =4a+6-8+8a-12a =-2. 【点睛】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键. 对于求高次代数式的值一般采取逐步将次的方式求解. 【变式9-3】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，设，则，数形结合，分别表示出，进而代入，再利用整式混合运算法则化简即可得到答案．数形结合分别表示出，并灵活运用整式混合运算化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的面积问题． 先根据题意求出，，，，的值，进而求出的值，判断即可． 【详解】解：由图可知，，，，， 即 ， ∴， 故只需要知道的值， 故选：A 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，设，则可得到，，据此根据长方形面积计算公式求出，，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 【题型11 多项式乘法混合运算】 【例11】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）计算的结果是（  ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】A 【分析】设，，则，，换元后化简求值即可． 【详解】解：设，，则，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的简便运算，根据题中所给式子的结构特征，采用换元法简化运算是解决问题的关键． 【变式11-1】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 【变式11-2】（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式11-3】（23-24七年级上·上海·阶段练习）已知都是正数． ，，试比较的大小关系 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与整式的减法，运用整体思想并正确计算是解题的关键；设，则，，然后两个多项式相减即可判断． 【详解】解：设，则，， ∴ ， ∵都是正数， ∴， 即， ∴ 【题型12 多项式乘法中的规律问题】 【例12】（2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、代数式的求值，理解题意找到展开式的系数规律是解题的关键．观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①；由题意得，，代入的值可判断②；观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到，可判断③；列举，2，3，4……时的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案． 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ， 和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， …… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 【变式12-1】（24-25七年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，由题意总结出规律是解题的关键． 将原式写成后，根据题干中的规律，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴ ， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级下·广西桂林·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．                                                                                                                                           2                                    3       3                         4      6       4            …                                                                              … 请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了多项式乘多项式，规律探索问题，分别计算出前面若干计算结果中各项系数的和，得到规律即可求解． 【详解】解：对于的展开式各项系数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； …… 则当，展开式中各项系数和为； 故答案为：64． 【变式12-3】（24-25七年级下·重庆·期中）一列整式依次为：，另一列整式依次为： ．按照上述规律，则 （用含的代数式表示）；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有过程，则，总结规律得，且为正整数，再分别表示，然后根据列式计算，即可作答． 【详解】解：∵且， ∴ ∴， ∴， …… 以此类推 得，且为正整数， ∴， ∴ ， ∵， ∴ 解得， 故答案为： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.2 整式的乘法（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 计算单项式乘单项式】 2 【题型2 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 2 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 3 【题型4 单项式乘多项式的应用】 4 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 5 【题型6 计算多项式乘多项式】 5 【题型7 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值】 5 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 6 【题型9 多项式乘多项式——化简求值】 6 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 7 【题型11 多项式乘法混合运算】 8 【题型12 多项式乘法中的规律问题】 8 知识点 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【题型1 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 【变式1-3】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【题型2 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值】 【例2】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 【变式2-1】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【变式2-2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】（24-25八年级下·全国·假期作业）已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【例4】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值】 【例5】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【变式5-1】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【变式5-2】（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【变式5-3】（22-23七年级下·浙江·阶段练习）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【题型6 计算多项式乘多项式】 【例6】（24-25七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 【变式6-1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【题型7 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值】 【例7】（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【变式7-1】若，则 【变式7-2】（22-23七年级下·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（1）试说明整式的值与的值无关； （2）若的展开式中不含项，求的值． 【变式8-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【变式8-2】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若展开式中含项的系数是17，则的值 （     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式8-3】（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知式子化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 【题型9 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【变式9-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，则代数式的值为 ． 【变式9-2】若，那么代数式 . 【变式9-3】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是 ． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【题型11 多项式乘法混合运算】 【例11】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）计算的结果是（  ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【变式11-1】（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ． 【变式11-3】（23-24七年级上·上海·阶段练习）已知都是正数． ，，试比较的大小关系 【题型12 多项式乘法中的规律问题】 【例12】（2025·山东青岛·二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【变式12-1】（24-25七年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： 则的结果为 ． 【变式12-2】（24-25七年级下·广西桂林·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．                                                                                                                                           2                                    3       3                         4      6       4            …                                                                              … 请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为 ． 【变式12-3】（24-25七年级下·重庆·期中）一列整式依次为：，另一列整式依次为： ．按照上述规律，则 （用含的代数式表示）；若，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$