专题11.1 幂的运算（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题11.1 幂的运算（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 2 【题型2 幂的乘方及其逆用】 4 【题型3 积的乘方及其逆用】 5 【题型4 利用幂的运算比较大小】 7 【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 8 【题型6 利用幂的运算求幂的值】 9 【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 12 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点4同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】72 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：72． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解． 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：， 选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误； 选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则； 选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立； 选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C； 故选：C． 【变式1-2】（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂乘法的逆用，先求出，然后根据，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 【题型2 幂的乘方及其逆用】 【例2】（24-25七年级下·河北保定·期末）若x，y均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，逆用幂的乘方法则，根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶5． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】5 【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法，一元一次方程的解法解答即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，解方程，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 故， 解得， 故答案为：5． 【变式2-2】若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用幂的乘方和同底数幂的乘法对原式进行变形得，将代入求值即可． 【详解】解：由得， 将代入上式得， 原式， 故答案为：9． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： ． 【题型3 积的乘方及其逆用】 【例3】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 【变式3-1】（2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式3-2】（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式3-3】（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解：原式 故选：C． 【题型4 利用幂的运算比较大小】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 【变式4-1】比较大小： 【答案】＜ 【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9，指数为4的形式，然后再比较大小． 【详解】，； ∵8＜9，∴，∴＜． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了比较乘方的大小．解答本题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形式． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 【例5】若，均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 【变式5-2】（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）已知，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘法，熟知法则是关键．观察各底数，发现都可以用3的幂的形式表示，转化成同底数幂的形式，再利用法则简化式子，最后根据底数相同，指数相等列方程，解出方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故答案为：3． 【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 则． 故答案为：3． 【题型6 利用幂的运算求幂的值】 【例6】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，求代数式的值等知识，先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 【变式6-2】（2023·福建莆田·模拟预测）若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】逆用同底数幂的除法和积的乘方进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴即 故答案为：9． 【点睛】要是主要考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式6-3】已知，． （1）的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果； 利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果． 【详解】解：，， ， 故答案为：； ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键． 【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 【例7】（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据新定义计算即可求解； （）设，可得，即得，得到，即得到，即可求证； （）利用（）的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解； 本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：设， ， ， ， ， ； （3）解：由（）知，，， ，，， ，，， ， ， 即， ． 【变式7-1】（22-23七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论． 【详解】解：， ∴、、之间满足的等量关系是； 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 【变式7-3】（22-23七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 【答案】 【分析】由条件可得可得，而，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 幂的运算（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 2 【题型2 幂的乘方及其逆用】 2 【题型3 积的乘方及其逆用】 3 【题型4 利用幂的运算比较大小】 3 【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 3 【题型6 利用幂的运算求幂的值】 4 【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 4 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点4同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【题型1 同底数幂的乘法及其逆用】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知，则的值是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【题型2 幂的乘方及其逆用】 【例2】（24-25七年级下·河北保定·期末）若x，y均为正整数，且，则的值为 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则 ． 【变式2-2】若，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【题型3 积的乘方及其逆用】 【例3】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【变式3-1】（2025七年级下·湖南长沙·专题练习） ． 【变式3-2】（2025·四川泸州·二模）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·天津滨海新·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用幂的运算比较大小】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】比较大小： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【变式4-3】已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【题型5 利用幂的运算求字母或代数式的值】 【例5】若，均为正整数，且，则的值为 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 【变式5-2】（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）已知，则m的值为 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【题型6 利用幂的运算求幂的值】 【例6】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则代数式的值为 ． 【变式6-2】（2023·福建莆田·模拟预测）若，则的值是 ． 【变式6-3】已知，． （1）的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【题型7 利用幂的运算确定字母之间的关系】 【例7】（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 【变式7-1】（22-23七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【变式7-3】（22-23七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$