专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 2 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 3 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 4 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 5 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 5 【题型6 一元二次不等式有解问题】 6 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 7 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 8 【题型9 三个“二次”关系的应用】 10 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 【例1】（24-25高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式. (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【变式3-3】（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【变式4-1】（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式4-3】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 【变式6-3】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【变式7-2】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 知识点2 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 【例8】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【变式8-1】（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式8-2】（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型9 三个“二次”关系的应用】 【例9】（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式9-2】（24-25高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【变式9-3】（24-25高一·全国·课后作业）利用函数与不等式的关系． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求不等式的解集． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 2 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 3 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 6 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 8 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 10 【题型6 一元二次不等式有解问题】 12 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 16 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 18 【题型9 三个“二次”关系的应用】 21 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 【例1】（24-25高一上·湖南娄底·期末）不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先对不等式因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得不等式解集. 【解答过程】或，则得或. 则解集为或. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式. (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【解题思路】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【解答过程】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 【例2】（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【解答过程】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答过程】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分式不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得，解得或， 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分类讨论法计算可得. 【解答过程】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为或； （2）由，得， 解得， 所以不等式的解集为. 【变式3-3】（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）利用绝对不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解. 【解答过程】由题不等式的解集为， 所以是方程的两不等实数根， 所以，得，， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【解答过程】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【解题思路】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【解答过程】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有 ，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 故选：C． 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【解答过程】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【解答过程】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【解题思路】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【解答过程】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【解答过程】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解答过程】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）设． (1)当时，解关于x的不等式； (2)当时，解关于x的不等式； (3)若关于x的不等式在时有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 【变式6-3】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 【例7】（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解答过程】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【解题思路】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【解答过程】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【解题思路】根据题意列出不等式求解. 【解答过程】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 知识点2 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型8 二次函数的图象分析与判断】 【例8】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【解答过程】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【解答过程】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一上·山西·期中）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 【题型9 三个“二次”关系的应用】 【例9】（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 【变式9-1】（24-25高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高一上·山西临汾·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【解答过程】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【变式9-3】（24-25高一·全国·课后作业）利用函数与不等式的关系． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由题意知，求出，代入解不等式即可； （2）由题意知，代入化简，解不等式即可； 【解答过程】（1）由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，解得， 则不等式 即，解得：或 所以不等式的解集为： （2）由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，即， 则不等式，又， 则，解得：， 所以不等式的解集为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$