专题3.3 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式（七大题型精练）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题3.3 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式 题型1 一元二次方程根的分布问题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 4．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 5．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 6．已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解. 【详解】因为，关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得， 故答案为： 题型2 一元二次不等式的概念及辨析 1．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据绝对值分类讨论列式结合一元二次不等式计算求解即可. 【详解】等价于或， 所以或， 解得或． 故选：A． 3．（25-26高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含参数的一元一次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元一次不等式的解可得且,进而代入二次不等式中，由一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】由于不等式的解集为，故且, 即且, 则为，进而得，解得， 故不等式的解集为， 故答案为： 4．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到判别式的值和的正负，从而解出和的值，得到的值. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且， 所以，解得， 代入一元二次方程得，解得，所以， 所以， 故答案为：. 题型3 解不含参数一元二次不等式 1．（25-26高一上·浙江台州·开学考试）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故不等式解集为. 故选：A 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式，求出解集. 【详解】原不等式可变形为，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东梅州·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故解集为或. 故答案为：或. 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可． 【详解】， 即， 所以. 故答案为：． 题型4 解含参数一元二次不等式 1．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的概念及辨析、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 3．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为 ； （2）用表示，为 ； （3）不等式的解集为 ； （4） 0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的概念及辨析、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据解集判断；再结合韦达定理得出关系；求解一次不等式；根据解集判断不等关系；消参解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为，因为解集在两根之外，所以. （2）由题可知-3，4是的两根， 由根与系数的关系可得所以 （3）由（2）得，即，所以，即的解集为. （4）由于关于的不等式的解集为，故时，.即. （5）由以上分析可知不等式即. 因为，故，所以或.故不等式的解集为. 故答案为： 5．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知不等式的解集为，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式解集的特点结合根与系数关系求得答案. 【详解】由题，可得，解得，， . 故答案为：. 题型5 由一元二次不等式的解求参数 1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由根与系数的关系可求出，，再由基本不等式求出，结合对勾函数的单调性即可得出答案. 【详解】∵的解集为， ∴，且方程的两根为，， ∴，，∴， ∵，，∴， ∴，即，当且仅当时取“=”， 故，而，对勾函数在上单调递增， ∴， ∴的取值范围为. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 4．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 5．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】求出不等式的解集后，把问题转化为，再利用分类讨论思想进行列不等式求解． 【详解】不等式的解集为． 由题意知， 从而或， 解得或． 所以实数的取值范围为， 故答案为：． 6．（2025高一上·江苏·专题练习）已知的解集为（），则的值为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解集端点与一元二次方程的根之间的关系即可求解. 【详解】因为的解集为（）， 所以为的根，所以. 故答案为： 题型6 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】含参分类讨论解不等式即可. 【详解】由可得，显然此时不等式无解； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 综上或. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选题）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式的概念及辨析、基本不等式求和的最小值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果. 【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ， 的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选题）已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、由一元二次不等式的解确定参数、对勾函数求最值 【分析】对于，根据不等式的解集，可得的两根，进而求出对称轴；对于，根据不等式解的结构及韦达定理可判断的范围；对于，求出的值，直接解不等式即可；对于，利用，化简表达式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知方程的根为和，且， 对称轴为直线，正确； 由韦达定理得，， 则，错误； 若，则， 所以方程可化为， 即恒成立，故不等式的解集为，正确； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，正确， 故选： 5．（25-26高一上·全国·课前预习）一般地，形如，或，或，或（其中，x为未知数，均为常数，且 ）的不等式叫作 ，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的 . 【答案】 一元二次不等式 解集 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析 【分析】略 【详解】略 6．（2025高三·北京·专题练习）已知函数，.若不等式的解集为，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】分类讨论解绝对值不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据，对讨论正负，即可结合函数图象，结合不等式的求解. 【详解】，易知， 当且时，可得函数的图象如下： 由图可得此情况不符合题意； 当且时，可得函数的图象如下： 由图可得此情况不符合题意； 当且时，可得函数的图象如下： 故，解得， 当时，可得函数的图象如下： 无法满足的解集为，故舍去. 故答案为：. 7．（25-26高三上·天津·开学考试）已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 题型7 综合应用 1．（25-26高一上·宁夏·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因不等式的解集为， 则当，即时，不等式即为，解得，不符合题意； 当时，由不等式的解集为， 等价于，即，解得， 故实数的取值范围为. （2）不等式，即， 当时，即时，不等式为，解得； 当时，即时，不等式化为， 而，解不等式得或； 当时，即时，不等式化为， 而，解不等式得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，设，，若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）根据题意，利用含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式， 若，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 若，不等式可化为，即， 此时方程的两根分别为， 当时，不等式即为，解得，解集为； 当时，不等式即为， 若，可得，解得或，不等式的解集为或； 若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为； 若，可得，解得或，不等式的解集为或， 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）解：由不等式，可得，即， 因为时，集合，且， 所以不等式在上恒成立， 设， 则满足，解得， 即实数的取值范围为. 3．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知关于的不等式，其中． (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若时，不等式的解集为，求的取值范围． (3)若，求该不等式的解集（解集用表示） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得，代入所求不等式求解即可； （2）由一元二次不等式在R上恒成立列不等式求解即得； （3）由题设，讨论参数求对应的解集即可. 【详解】（1）由一元二次不等式的解集知，可得， 又由，可得，即， 解得， 故不等式的解集为； （2）由条件知，不等式在R上恒成立， 当时，显然恒成立； 当时，需使，解得， 综上； （3）由题设，，则有， ① 当时，不等式可化成 若，即时，解集为 若，即时，无解； 若，即时，解集为. ② 当时，则，解集为; ③ 当，则，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 4．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)是否存在，使得？请说明理由； (3)若不是空集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）解二次不等式，求出集合B，分和，结合列出不等式（组）进行求解即可得到答案； （2）假设存在使得，列出不等式组并求解即可判断； （3）若不是空集，则，且，求解即可得到答案． 【详解】（1），即，即，解得， ∴． 当时，，解得，满足； 当时，即，解得， ∵，∴，解得． 综上，； （2）假设存在使得， ∵， 若，则， 解不等式得， ∴不等式组无解， ∴不存在，使得； （3）由（1）知． 当时，，不符合题意； 当时，，解得． ∵， ∴，解得， 综上，． 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 2．（25-26高三上·山西·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数 【分析】转化为根据集合之间的关系求实数的取值范围. 【详解】由. 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集. 所以. 故选：C 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知命题P：方程有两个不相等实根；命题Q：不等式与均有解，则命题P成立是命题Q成立的（    ）条件. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】先分析出命题，成立所满足的条件，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若命题成立，即方程有两个不相等实根， 须满足； 若命题成立，即不等式与均有解，有两种情况： 第一种情况，不等式是一元二次不等式， 此时不等式所对应的二次函数的图像必须与轴有两个交点， 所以须满足； 第二种情况，不等式是一元一次不等式，此时须满足. 综上可知，由命题能推出命题，但是由命题不能推出命题， 即命题P成立是命题Q成立的充分非必要条件. 故选：A 5．（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值. 【详解】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得． 故选：C 二、多选题 6．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中正确的是 （    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正实数根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次方程的性质，结合判别式和韦达定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，方程有一个正一个负根的充要条件是，解得，所以A正确； 对于B中，方程有两个正实数根的充要条件是，解得，所以B正确； 对于C中，方程无实数根，则，解得， 又由，所以C正确； 对于D中，当时，方程无实数根，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】方程与不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 【答案】14.5 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由题设，令，，，设绳索长度为尺，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺，应用勾股定理列方程求长度. 【详解】根据题意，如图所示的几何图形，则，，， 设绳索长度为尺，则秋千被向前推10尺时，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺， 此时，，刚好构成一直角三角形， 则根据勾股定理可列方程为，解得， 即绳索长度为14.5尺．    故答案为：14.5 9．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则 ． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】先将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果. 【详解】由恒成立， 即恒成立， 则，解得， 所以. 故答案为：7. 四、解答题 10．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）韦达定理若一元二次方程（是实数）的两个实根为，则． (1)证明韦达定理； (2)设，构造二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程（系数用、、表示）． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）写出以二次项系数为，为根的一元二次方程，再利用恒等式推理得证. （2）根据给定条件，写出一元二次方程，结合（1）的结论计算即得. 【详解】（1）由是方程的两个实根，得， 即，因此恒成立， 则，所以. （2）二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程为， 即，由（1）知，， 而，因此， 所以所构造的方程为. 11．（25-26高一上·四川广安·阶段练习）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米． (1)记矩形面积为，试用表示； (2)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (3)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米；最大面积为平方米． 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据矩形的性质结合已知条件得出，再根据相似三角形的性质得出相应边成比例，从而得出关于的表达式，最后根据矩形面积公式得出与的关系式． （2）根据（1）的结论结合题给条件列不等式，解不等式求出的范围，从而得出的长度范围． （3）对函数进行变形求最大值，从而得出面积的最大值及对应的边长． 【详解】（1） 四边形为矩形，为矩形对角线上的点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ． （2）由（1）知，，矩形活动区域的面积与的关系为：， 要使矩形活动区域的面积不小于平方米，则， 原不等式化简得，解得， 的长度为米． （3）由（1）知，，矩形活动区域的面积与的关系为：， ， 当时，函数取最大值， 又， 米，米，最大面积为平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式 题型1 一元二次方程根的分布问题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 4．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 5．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 6．已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是 . 题型2 一元二次不等式的概念及辨析 1．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 4．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集为，则 . 题型3 解不含参数一元二次不等式 1．（25-26高一上·浙江台州·开学考试）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·广东梅州·开学考试）不等式的解集为 . 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为 ． 题型4 解含参数一元二次不等式 1．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 4．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为 ； （2）用表示，为 ； （3）不等式的解集为 ； （4） 0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为 . 5．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知不等式的解集为，则 ． 题型5 由一元二次不等式的解求参数 1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 6．（2025高一上·江苏·专题练习）已知的解集为（），则的值为 . 题型6 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选题）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 4．（多选题）已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 5．（25-26高一上·全国·课前预习）一般地，形如，或，或，或（其中，x为未知数，均为常数，且 ）的不等式叫作 ，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的 . 6．（2025高三·北京·专题练习）已知函数，.若不等式的解集为，则 . 7．（25-26高三上·天津·开学考试）已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为 . 题型7 综合应用 1．（25-26高一上·宁夏·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，设，，若，求的取值范围. 3．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知关于的不等式，其中． (1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若时，不等式的解集为，求的取值范围． (3)若，求该不等式的解集（解集用表示） 4．（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)是否存在，使得？请说明理由； (3)若不是空集，求的取值范围． 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知命题P：方程有两个不相等实根；命题Q：不等式与均有解，则命题P成立是命题Q成立的（    ）条件. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 6．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中正确的是 （    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正实数根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为 三、填空题 7．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 9．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则 ． 四、解答题 10．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）韦达定理若一元二次方程（是实数）的两个实根为，则． (1)证明韦达定理； (2)设，构造二次项系数为1，且以、为根的一元二次方程（系数用、、表示）． 11．（25-26高一上·四川广安·阶段练习）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米． (1)记矩形面积为，试用表示； (2)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (3)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $