重难点14 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点14 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 两次使用余弦定理】 3 【题型2 等面积法】 3 【题型3 解三角形中的中线模型】 4 【题型4 解三角形中的倍角模型】 4 【题型5 解三角中的角平分线模型】 6 【题型6 解三角中的高模型】 6 【题型7 解三角形中的等分点模型】 7 【题型8 三角形的重心问题】 9 【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】 10 1、解三角形的图形类问题和重要模型 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解. 知识点1 三角形图形类问题的解题策略 1．解决三角形图形类问题的常用方法： (1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理 的性质解题； (2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； (3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； (4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； (5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； (6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 知识点2 解三角形中的重要模型 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积． 4．等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，． 【题型1 两次使用余弦定理】 【例1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·云南昆明·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三下·河南·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（    ） A． B． C．6 D． 【题型2 等面积法】 【例2】（2024·海南·模拟预测）在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的2倍，且，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2-1】（2025·重庆·三模）在中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【变式2-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若P为内一点，且，则（    ） A．44 B．49 C．88 D．98 【题型3 解三角形中的中线模型】 【例3】（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·安徽合肥·三模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝. (1)求角B的大小； (2)①△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度； ②△ABC的周长为4＋，求BC边上的中线AM的长度. 【题型4 解三角形中的倍角模型】 【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【变式4-1】（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【变式4-2】（2025·河北石家庄·一模）在中，角的对边分别为. (1)求证：； (2)若，求的面积. 【变式4-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【题型5 解三角中的角平分线模型】 【例5】（2025·湖北武汉·二模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【变式5-3】（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 【题型6 解三角中的高模型】 【例6】（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【变式6-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 (1)求A； (2)若，，求BC边上的高 【题型7 解三角形中的等分点模型】 【例7】（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【变式7-3】（2025·湖北·模拟预测）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知． (1)判断的形状； (2)已知为上一点，则当，，时，为的几等分点？ 【题型8 三角形的重心问题】 【例8】（2025高一·全国·专题练习）已知的重心为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知在中，角的对边分别为．若为的重心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【变式8-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】 【例9】（2025·江西新余·模拟预测）已知的外接圆面积为，，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【变式9-2】（2025·云南昆明·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【变式9-3】（24-25高三下·重庆·开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角， (1)求和； (2)若，求四边形的面积． 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知的面积为，，，则（   ） A． B．3 C．4 D．5 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若的面积时，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，若的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（    ） A．65 B．17 C． D． 7．（2025·湖南长沙·二模）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·甘肃·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（   ） A．内切圆的半径为1 B．外接圆的半径为6 C． D． 10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 11．（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．若，则中边上高的长度为 三、填空题 12．（2025·贵州·三模）的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则 . 13．（2025·海南·模拟预测）已知内角的对边分别为，为的中点，为的中点，延长交于点，若，，则的面积为 ． 14．（2025·河南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，角的平分线与交于点，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 17．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 18．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 19．（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点14 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 两次使用余弦定理】 3 【题型2 等面积法】 4 【题型3 解三角形中的中线模型】 6 【题型4 解三角形中的倍角模型】 9 【题型5 解三角中的角平分线模型】 12 【题型6 解三角中的高模型】 15 【题型7 解三角形中的等分点模型】 18 【题型8 三角形的重心问题】 22 【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】 26 1、解三角形的图形类问题和重要模型 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解. 知识点1 三角形图形类问题的解题策略 1．解决三角形图形类问题的常用方法： (1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理 的性质解题； (2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； (3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； (4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； (5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； (6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 知识点2 解三角形中的重要模型 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积． 4．等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，． 【题型1 两次使用余弦定理】 【例1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两次余弦定理即可求解. 【解答过程】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B. 【变式1-1】（2025·云南昆明·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先利用余弦定理求出的长度，再根据余弦定理求出的值. 【解答过程】在中，； 由余弦定理，解得. 再根据余弦定理，解得. 故选：B. 【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【解答过程】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A. 【变式1-3】（24-25高三下·河南·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用余弦定理求得，得到，结合，列出方程求得，再利用余弦定理，即可求解. 【解答过程】因为及，可得， 由余弦定理得， 又由，所以， 因为，即，解得， 由余弦定理得，即． 故选：D． 【题型2 等面积法】 【例2】（2024·海南·模拟预测）在中，的平分线与对边交于点，若的面积为的2倍，且，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解题思路】借助三角形面积公式计算可得，再利用等面积法计算即可得解. 【解答过程】由，则有， 即有， 又， 则有， 即，即有，即. 故选：A. 【变式2-1】（2025·重庆·三模）在中，内角所对的边分别为. 若为边上的点，且 ，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【解答过程】由题意可知：， 因为， 即，解得. 故选：D. 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解题思路】先根据建立等式，再结合基本等式计算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 因为， 即，即， 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 【变式2-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若P为内一点，且，则（    ） A．44 B．49 C．88 D．98 【答案】B 【解题思路】首先根据等面积转化求，再根据余弦定理，即可求解. 【解答过程】，则， 所以 由面积公式可知，， 所以， 由余弦定理可知，，三个式子相加得， ，得. 故选：B. 【题型3 解三角形中的中线模型】 【例3】（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【解答过程】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题得为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可. 【解答过程】因为，，， 由余弦定理得，， 得到，又，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，又分别为中点， 所以，故， 所以， 故选：D. 【变式3-2】（2025·安徽合肥·三模）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝. (1)求角B的大小； (2)①△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度； ②△ABC的周长为4＋，求BC边上的中线AM的长度. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）由正弦定理可得，再由和的范围可得答案； （2）①由（1）可得，则解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：②由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长解得，由余弦定理可得BC边上的中线的长度． 【解答过程】（1）∵，则由正弦定理可得， ∴，∵，∴，， ∴，解得． （2）①由（1）可得，即 则，解得， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： ． ②由（1）可得，设的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：． 【题型4 解三角形中的倍角模型】 【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解题思路】（1）由正弦定理得，进一步结合角的范围即可得证； （2）由正弦定理、三角恒等变换得，由锐角三角形得的取值范围即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以只能； （2）由题意，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. 【变式4-1】（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【解答过程】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 【变式4-2】（2025·河北石家庄·一模）在中，角的对边分别为. (1)求证：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用题中条件和余弦定理可以得到，再根据三角形中角的范围，确定； （2）由正弦定理得，由余弦定理可得，求出，再利用余弦定理求出，利用同角三角函数的关系求出，最后利用三角形的面积公式求出的面积. 【解答过程】（1）由题意得：， 由余弦定理得，， 所以， 由于，所以或， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，即，得， 由余弦定理可得，代入得， 解得舍去）， 所以，故. 【变式4-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）先应用正弦定理边角转化，再结合两角和差的正弦公式计算应用角的范围即可证明； （2）先应用正弦定理及合比定理，最后应用余弦值域结合二次函数计算求解即可. 【解答过程】（1）由得， 由正弦定理得． ， 得， 即． 因为，为三角形内角， 所以，或（舍去）， ∴． （2）∵， 由正弦定理，得，， ∴． 又∵，∴， 得． 因为为锐角三角形，则，且， 则，， 解得，． ∴． 所以周长的取值范围为． 【题型5 解三角中的角平分线模型】 【例5】（2025·湖北武汉·二模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【解答过程】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【解答过程】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【解答过程】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 【变式5-3】（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角； （2）根据余弦定理，利用重要不等式求出的范围，通过换元，借助对勾函数在的单调性，即可求出的最大值. 【解答过程】（1）设， ， ， ， ，， ，，； （2）由余弦定理知， ，， 又，当且仅当时，等号成立． ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，此时，即，即. 【题型6 解三角中的高模型】 【例6】（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【解答过程】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 【变式6-1】（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【解答过程】在中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B. 【变式6-2】（2025·北京丰台·二模）在中，． (1)求； (2)若,，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角； （2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上的高. 【解答过程】（1）在中，因为， 由正弦定理及，得， 因为， 所以， 所以． 所以． （2）因为， 由余弦定理，得， 所以．设边上的高为， 又的面积， 所以， 所以AB边上的高为． 【变式6-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 (1)求A； (2)若，，求BC边上的高 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）首先根据正弦定理将边化角，再结合三角函数恒等变换，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由正弦定理得，，， 所以，， 因为，所以，所以，； （2）由余弦定理得可得，所以， 因为的面积， 所以，所以 【题型7 解三角形中的等分点模型】 【例7】（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【解答过程】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 【变式7-3】（2025·湖北·模拟预测）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知． (1)判断的形状； (2)已知为上一点，则当，，时，为的几等分点？ 【答案】(1)等腰三角形 (2)为的三等分点 【解题思路】（1）利用正弦定理及三角恒等变化计算即可； （2）结合（1）的结论可得，由余弦定理计算即可. 【解答过程】（1）由正弦定理得：， 因为，所以，即， 由，则有， 整理得． 所以， 而，则，即为等腰三角形． （2）由（1）可得． 由正弦定理可得，故． 余弦定理可知：，即， 解之得或，所以为的三等分点． 【题型8 三角形的重心问题】 【例8】（2025高一·全国·专题练习）已知的重心为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】运用余弦定理及三角形面积公式可得，结合重心性质可得求解即可. 【解答过程】    在中，由余弦定理得， 又，所以， 所以， 又为的重心， 所以，即， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知在中，角的对边分别为．若为的重心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据已知条件，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求出角，然后利用余弦定理、基本不等式求出，并且结合得到的表达式，即可求得的表达式，同理可得的表达式，进而得到的最小值. 【解答过程】由及可得，由正弦定理可得， 又，故,即，而,故； 由余弦定理得，故， 故，当且仅当时，取等号； 设为的中点，连接，则G在上， 则，， 由可得， 则， 同理可得， 故 ，当且仅当时，取等号， 故的最小值为， 故选：A. 【变式8-2】（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，点为的重心，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故，所以， 所以的面积为． 【变式8-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）延长CG交AB于点D，利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得. （2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范围. 【解答过程】（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且， 由，得，则，， 又，则是正三角形，，在中，记， 由正弦定理，即， 则，即， 所以，即. （2）由（1）知，在中，， 在中，， 于是，整理得， 在中，，当且仅当时取等号， 又，所以的取值范围为. 【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】 【例9】（2025·江西新余·模拟预测）已知的外接圆面积为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可求解. 【解答过程】由正弦定理：，，故， 所以. 故选：C. 【变式9-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】结合图形，先利用正弦定理、余弦定理及边之间的关系得出：，，梯形的高为，进而得出；再根据梯形等面积公式即可求解. 【解答过程】如图：    若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形. 设梯形的外接圆半径为， 则由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理可得： ，且， 解得， 则梯形的高为：；； . 设梯形的内切圆半径为， 根据等面积法，有，解得. 故选：B. 【变式9-2】（2025·云南昆明·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解， （2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理知：，解得， 由正弦定理可知，则． （2）因为， 则， 故，则为锐角，又点在外接圆上，所以， 故，则，， 则的周长为． 【变式9-3】（24-25高三下·重庆·开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角， (1)求和； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到，求出，再利用余弦定理求出； （2）求出，并利用正弦定理和余弦定理求出，，利用三角形面积公式求出，相加后得到答案. 【解答过程】（1）四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为， 设的外接圆半径为，则，解得， 在中，，即，故， 因为为钝角，所以为锐角，故， 由余弦定理得，即， 故，解得，负值舍去， （2）， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又，故，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 故， 四边形的面积为. 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【解答过程】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 2．（2025·全国·模拟预测）已知的面积为，，，则（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】应用同角三角函数关系结合面积公式及余弦定理计算求解. 【解答过程】由，得， 所以的面积为，解得， 在中，由余弦定理得，所以. 故选:B． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若的面积时，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理得，由的面积得，解出的值，由已知可和，再结合向量的数量积运算可求得. 【解答过程】在中， 由余弦定理得，所以， 由，得，又，解得， 因为，所以， 所以， 所以，所以. 故选：A. 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，若的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【解答过程】由， 结合正弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 由余弦定理得，所以，所以 结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 得，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：C. 5．（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得是等边三角形，设，利用正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得的值. 【解答过程】由知， 所以为正三角形， ∵， 设，则 由正弦定理：，即，则 在中， 即，则，即． 故选：A. 6．（2025·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（    ） A．65 B．17 C． D． 【答案】C 【解题思路】由三角形面积公式求得，再结合余弦定理求得即可. 【解答过程】因为，又，所以， 由余弦定理得，，所 以． 故选：C． 7．（2025·湖南长沙·二模）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角形面积得到，在中，由余弦定理得，因为平分，利用三角形面积公式得到. 【解答过程】因为的面积为，，， 所以，解得.    在中，由余弦定理得 ， 解得. 因为平分，所以. 故选：A. 8．（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据已知条件求出角，再利用角平分线性质和三角形面积公式得到bc的值，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的周长. 【解答过程】已知，移项可得. 因为（若，则，不满足），所以，即. 又因为，所以. 因为AD是角的平分线，所以. 根据三角形面积公式，可得. 可得：，即 两边同时约去可得. 由余弦定理，将，代入可得： ，即，即. 根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得： ， 将代入上式可得：，解得（负值舍去）. 的周长为. 故选：A. 二、多选题 9．（2025·甘肃·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（   ） A．内切圆的半径为1 B．外接圆的半径为6 C． D． 【答案】ABD 【解题思路】借助即可判断A；由三角恒等变换得,再结合面积公式和正弦定理即可判断B；借助周长公式和正弦定理即可判断C；借助正弦倍角公式和正弦定理即可判断D. 【解答过程】令的内切圆半径为，面积为，所以， 所以，即，故A正确； 因为，所以，， 所以 ， 又 所以 又，所以 令的外接圆半径为，由正弦定理可知，, 所以，所以，故B正确； 因为由选项B知，， 所以，故C错误； 由正弦定理和正弦倍角公式得： , 又由选项B知，所以，故D正确； 故选：ABD. 10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 【答案】BC 【解题思路】利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断. 【解答过程】对于A：由和正弦定理，可得 移项得，即 因，则，代入上式，得， 因，则，故 又因，则得，故A错误； 对于B：由正弦定理，，即的外接圆半径为故B正确； 对于C：由余弦定理得，， 因为，所以，， 又因为，则， 可知的面积为，故C正确； 对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等， 因为边上的中线，则有， 两边取平方，可得， 则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误． 故选：BC. 11．（2025·河南许昌·三模）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．若，则中边上高的长度为 【答案】ACD 【解题思路】先由余弦定理求出判断A，再由正弦定理求出判断B，由诱导公式及同角三角函数基本关系式求出后判断C，最后由等积法求出边上的高判断D. 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，即， 或（舍去），，故A正确； 在中，由正弦定理得， 即，解得，故B不正确； ，为锐角，， 又，.故C正确； 由， 在中，由余弦定理得： ， 解得， 又的面积为， 设中边上高的长度为，可得，可得， 的边上高的大小为.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·贵州·三模）的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则 . 【答案】 【解题思路】利用三角形的面积公式可得出，设，则，利用余弦定理可得出，再由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解答过程】由题意可得，整理可得， 不妨设，则， 由余弦定理可得，故， 所以，， 因为，故. 故答案为：. 13．（2025·海南·模拟预测）已知内角的对边分别为，为的中点，为的中点，延长交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【解题思路】由正弦定理以及三角形面积公式求出的面积为，设的面积为，利用向量共线定理，平面向量基本定理得出即可求解． 【解答过程】的面积为，    根据正弦定理：， 所以 ， 因为三点共线，所以设， 而点是中点，点是中点， 所以，设，所以， 因为，不共线，所以， 解得，，因为， 设的面积为，则． 故答案为：． 14．（2025·河南·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，角的平分线与交于点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意得到三个角的数量关系，再根据正弦定理、二倍角公式及两角和的正弦公式即可化简，再换元求解即可的范围. 【解答过程】 设，则. 又，则. 又因为，则. 在中，由正弦定理可得 则. . 因为，所以， 故，所以 . 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【解答过程】（1）由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. （2）因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解． 【解答过程】（1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 17．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角； （2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高. 【解答过程】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. （2）由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 18．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【解答过程】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 19．（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可； （2）根据得出，再结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）由得， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 若，则矛盾，故，所以， 而，所以． （2）因角的平分线为，则， 因，且，则， ∴，∴， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$