第11章 整式的乘除（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 3．已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 4．若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 6．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（   ） A．70 B．107 C．60 D．83 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7． 8．计算： ． 9．计算： ． 10．计算： ． 11．计算： ． 12．计算： ． 13．若是一个完全平方式，则 ． 14．计算： ． 15．如果，那么 ． 16．已知，，那么的值为 ． 17．观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 18．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 20．利用乘法公式计算： 21．计算： 22．先化简，再求值：，其中，． 23．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 24．我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 25．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 26．如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：C． 3．已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 4．若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 5．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴被墨汁遮住的一项是， 故选：． 6．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（   ） A．70 B．107 C．60 D．83 【答案】A 【详解】解：由公式得：， ∴这三个正方形的面积和是， 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】1 【详解】解： ， 故答案为：1． 10．计算： ． 【答案】/ 【详解】解：． 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 13．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 15．如果，那么 ． 【答案】 【详解】∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 16．已知，，那么的值为 ． 【答案】26 【详解】解： ． 故答案为：26． 17．观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 18．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．利用乘法公式计算： 【详解】解：原式 ． 21．计算： 【详解】解： ． 22．先化简，再求值：，其中，． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 23．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 24．我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 25．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：①； ②即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：；；； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：22． 26．如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C C C D A A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 9. 1 10. 11. 12. 13. 14. 15. 49 16. 26 17. 18. 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 20．（4分） 【详解】解：原式（1分） （3分） ．（4分） 21．（4分） 【详解】解： （1分） （2分） （3分） ．（4分） 22．（6分） 【详解】解：原式（1分） （3分） ．（4分） 当，时，原式．（6分） 23．（8分） 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”．（2分） （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或．（5分） ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为．（8分） 24．（9分） 【详解】（1）解： ， 成立．（3分） （2）解：；（6分） （3）解：∵， ．（9分） 25．（9分） 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：；（2分） （2）解：①；②即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：；；；（4分） （3）解：；（6分） （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：22．（9分） 26．（9分） 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：；（3分） （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84；（6分） （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为．（9分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 3．已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 4．若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（   ） A． B． C． D． 6．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（   ） A．70 B．107 C．60 D．83 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7． 8．计算： ． 9．计算： ． 10．计算： ． 11．计算： ． 12．计算： ． 13．若是一个完全平方式，则 ． 14．计算： ． 15．如果，那么 ． 16．已知，，那么的值为 ． 17．观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 18．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 20．利用乘法公式计算： 21．计算： 22．先化简，再求值：，其中，． 23．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 24．我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 25．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 26．如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$