精品解析：云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附属中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

昆明师专附中2024—2025学年上学期11月质量监测 初三数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共15小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此作答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆和点的位置关系即可解答；掌握的半径为r和点P到圆心的距离与圆与点的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，， ∴, ∴点在圆内． 故选A． 3. 抛物线的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．二次函数(a，h，k为常数，)的顶点坐标是，对称轴为直线．先求出顶点坐标，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴顶点坐标在第一象限． 故选A． 4. “明天是晴天”这个事件是（　　） A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选：D． 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. 38° B. 76° C. 80° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 6. 将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． 【详解】解：抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：D． 7. 下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（　　） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握正多边形的中心角等于，以及旋转对称图形的定义，是解题的关键． 8. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据概率的定义，一共有10只粽子，其中红豆粽有2个， 所以吃到红豆粽的概率是． 故选B． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 10. 如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的切线，三角形内角和定理和外角的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟知圆的切线的性质． 连接，根据切线的性质可得，再根据三角形内角和定理求得，最后利用三角形外角的性质求得答案． 【详解】连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查增长率问题（一元二次方程的应用），求平均变化率的方法：设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 【详解】设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为，则第二次降价售价为， 由题意得：， 故选：C． 12. 如图，的内接正方形的边长为4，则的半径为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接正方形的性质：圆的半径等于正方形对角线的一半求解即可． 【详解】解： ∵四边形是的内接正方形，且边长为4， ∴正方形对角线长为， ∴的半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的内接正方形，熟记圆内接正方形的性质是解题的关键． 13. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（　　） A. 12 B. 24 C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积． 【详解】解：它的侧面展开图的面积 故选：C 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14. 如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理可得∠O=90°，然后可得△AOB是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：∵∠ACB=45°， ∴∠O=2∠ACB =90°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵AB=2， ∴，即， ∴⊙О的直径为4； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 15. 如图， 二次函数．的图象经过点和，与y轴交于负半轴，下列四个结论，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，故A错误； 观察图象得：，， ∴， ∴，故B正确； 观察图象得：当时时，， ∴，故C正确； ∵图象经过点和， ∴，， ∴， ∴，故D正确． 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若抛物线经过点，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值． 【详解】解∶∵抛物线经过点， ∴， 解得． 故答案为∶1． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 17. 已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a＋b 的值为_____. 【答案】-3 【解析】 【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称， ∴b=﹣1，a=﹣2， ∴a+b=﹣3， 故答案为﹣3． 18. 如图，边长为3的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】将阴影部分合并即可得到扇形的面积,利用扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查扇形面积计算,关键在于记住扇形的面积公式. 19. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则______． 【答案】寸 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵寸， ∴寸， 设的半径为x，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ∴寸， 故答案为：寸． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 21. 如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键．根据D是 的中点可求得的度数，根据是的直径可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 是的直径， ， ， 四个点都在上， ， ． 22. 如图，李大爷想用的围栏，再借助房屋的外墙（长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【答案】当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则边，根据围成一个面积为的羊圈，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形的边，则边， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∴当时，（舍去）， 当时，， 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 23. 为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“A唐诗、B宋词、C元曲”三类．现将正面写有 A、B、C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小亮再随机抽取一张，记下字母． （1）小明抽取到唐诗的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一类比赛内容的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算； （2）列表，找出小明和小亮恰好抽到同一类比赛内容的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：∵比赛内容分为“A唐诗、B宋词、C元曲”三类， ∴小明抽取到唐诗的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：所有可能出现的结果列表如下： A B C A B C 由表可知共有9种等可能出现的结果，其中相同的有3种， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到 （1）画出 并写出点 、的坐标； （2）求出点C 在旋转变换过程中所走过的路径长． 【答案】（1） 如图所示，； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的旋转，记住弧长公式． （1）利用旋转变换的旋转分别作出，，的对应点，，，燃弧连线，再写出点 、的坐标即可； （2）先根据勾股定理求出，再根据扇形弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 运动轨迹． 25. 如图，为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵C为上的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C在上， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定以及圆周角定理和扇形的面积公式． （1）连接，利用半径相等、圆周角定理求得，推出，从而得到，即可证明是的切线； （2）设半径为r，利用勾股定理得到，解得，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设半径为r， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， 则，即点B是斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 26. 2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． （1）求“过水门”水柱抛物线的解析式； （2）飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可； (2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可． 【小问1详解】 解：由题意得米， ， 米， ∴，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴过水门”水柱抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， 当时，， 解得， ∴米, ∵米, ∴米, ∴(米)。 即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米． 27. 已知二次函数的图象过点、． （1）求b、c的值； （2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）直线的解析式为：， （3） 【解析】 【分析】（1）把点、代入中，解方程即可得到结论； （2）在中，当时，，得到，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，于是得到结论； （3）设，的面积为S，连接，，，根据图形的面积即可得到结论． 【小问1详解】 把点、代入中， 解得 ∴， 【小问2详解】 在中 令，则 ∴ 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为： ∴二次函数的对称轴为 ∴当时， ∴ 【小问3详解】 设，的面积为S 连接，，， 则 又∵ ∴ 当时， 此时 ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明师专附中2024—2025学年上学期11月质量监测 初三数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共15小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不确定 3. 抛物线的顶点坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. “明天是晴天”这个事件是（　　） A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. 38° B. 76° C. 80° D. 60° 6. 将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形中，绕它的中心旋转后可以和原图形重合的是（　　） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形 8. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 10. 如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的内接正方形的边长为4，则的半径为（ ） A. B. C. D. 2 13. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（　　） A. 12 B. 24 C. 12π D. 24π 14. 如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 15. 如图， 二次函数．的图象经过点和，与y轴交于负半轴，下列四个结论，不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若抛物线经过点，则的值为________． 17. 已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a＋b 的值为_____. 18. 如图，边长为3的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 19. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 22. 如图，李大爷想用的围栏，再借助房屋的外墙（长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 23. 为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“A唐诗、B宋词、C元曲”三类．现将正面写有 A、B、C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小亮再随机抽取一张，记下字母． （1）小明抽取到唐诗的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一类比赛内容的概率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到 （1）画出 并写出点 、的坐标； （2）求出点C 在旋转变换过程中所走过的路径长． 25. 如图，为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 26. 2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． （1）求“过水门”水柱抛物线的解析式； （2）飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 27. 已知二次函数的图象过点、． （1）求b、c的值； （2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $