河南省许昌市鄢陵县2024-2025学年高三上学期综合能力调研检测(期末)数学试卷

2024-2025学年河南省许昌市鄢陵县高三（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若为实数，a，，则(    ) A. 1 B. C. 2 D. 3.某学校安排唐老师、李老师等7位老师前往甲、乙、丙、丁4名学生家里家访，其中每位老师只前往1名学生家中，甲、乙、丙、丁4名同学家中安排家访老师的人数分别为3，2，1，1，则唐老师和李老师共同家访1名学生的概率为(    ) A. B. C. D. 4.已知，分别为第一、第三象限角，若，且，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数，若曲线在处的切线与直线l：相互垂直，则的极大值为(    ) A. B. C. D. 6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，且，则b的值可以是(    ) A. 225 B. 301 C. 1000 D. 1510 7.已知圆锥SO的侧面积为，母线与底面所成角的余弦值为，则圆锥SO的外接球与内切球的表面积之比为(    ) A. B. C. D. 8.已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线的两条渐近线在第一象限交于点P，在第二象限交于点Q，O为坐标原点，，若，则C的离心率为(    ) A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.将某单位男女职工的人数、人均体重及方差的情况统计如下表所示，则可以估计(    ) 男职工 女职工 总人数 150 250 人均体重单位： 66 54 体重的方差 A. 该单位男职工的人均体重比女职工的人均体重高 B. 若按性别进行分层抽样，从所有职工中随机抽取16人，则女职工被抽取了6人 C. 该单位所有职工的人均体重为 D. 该单位所有职工的体重的方差为 10.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则直线为图象的一条对称轴 B. 若，则在上单调递减 C. 将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为3 D. 若，则函数的零点个数为4 11.已知x，，，则(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，其中，则与夹角的余弦值为______. 13.已知函数若函数有2个零点，则实数a的取值范围为______. 14.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C交于，两点，其中，则______；若，，过点P作C的准线的垂线，垂足为Q，则的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知数列的前n项和为，其中， 求的通项公式以及前n项和； 若，求数列的前n项和 16.本小题15分 如图，在正三棱柱中，点M在线段上，过点A，M的平面与平面垂直. 作出平面截三棱柱的截面，给出过程并证明； 若，，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值. 17.本小题15分 某商场举办消费回馈抽奖活动，抽奖箱中放有两张10元奖券和一张20元的奖券，顾客从中有放回地抽取，抽取次数视消费金额决定. 若甲顾客有2次抽奖机会，其获得的奖券总额为X，求X的分布列与数学期望； 若乙、丙两个人各有5次抽奖机会，若乙前三次抽奖获得的奖券总额为60元，求5次抽奖后丙获得的奖券总额多于乙的概率. 18.本小题17分 已知函数 当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； 讨论在上的单调性； 若关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19.本小题17分 已知椭圆过点，记的右顶点为 求的方程； 记的左、右焦点分别为，，过点的直线l与交于P，Q两点，若，求直线l的斜率； 已知椭圆过点，作圆的切线，分别与交于A，B两点，求的周长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：因为集合，， 则 故选： 先求出集合A，B，然后结合集合的并集运算即可求解． 本题主要考查了集合并集运算，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：因为为实数， 所以，即 故选： 化简复数，进而求解结论． 本题主要考查复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：根据题意，将7位老师分为3，2，1，1的四组，有种分组方法， 若唐老师和李老师共同家访1名学生，需要将唐老师和李老师分在同一组， 若两人分在3人组，有种分组方法， 若两人分在2人组，有种分组方法， 则两人分在同一组的分组方法有种， 故要求概率 故选： 根据题意，先求出“将7位老师分为3，2，1，1的四组”的分组方法数目，再分析“唐老师和李老师分在同一组”的分组方法数目，由古典概型公式计算可得答案． 本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题． 4.【答案】D  【解析】解：因为， 所以，即， 解得或舍， 又为第一象限角，所以， 因为，所以，解得， 又为第三象限角，所以，， 所以 故选： 利用二倍角公式、诱导公式与两角和的正切公式求得，，再根据角所在的象限，结合同角三角函数的基本关系与两角差的余弦公式，求解即可． 本题考查三角函数求值，熟练掌握三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 5.【答案】C  【解析】解：函数的定义域为， ， 则切线在点处的斜率为， 直线l：的斜率为， 由于切线与直线l垂直，因此它们的斜率之积为， 即，解得， 所以，， 令，解得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 因此是函数的极大值点，所以的极大值为 故选： 首先求出的导数，由此可得切线斜率，由两直线垂直，斜率乘积为建立关于a的方程，从而可得a的值，代入函数解析式及导函数中，利用导数即可求解函数的极大值． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 6.【答案】A  【解析】解：逆用二项式定理可得： ， 所以a被15除的余数为0，ABCD四个选项中只有225能被15整除． 故选： 先根据二项式定理化简a，再确定a被15除的余数，结合选项即可求解． 本题主要考查二项式定理，属于中档题． 7.【答案】D  【解析】解：设圆锥SO的底面圆的半径为r，母线长为l， 则根据题意可得，解得，， 所以圆锥的高为， 设圆锥SO的外接球与内切球的半径分别为R，， 则， 所以，解得，， 所以， 所以圆锥SO的外接球与内切球的表面积之比为 故选： 根据题意建立方程，从而求出圆锥的高，底面圆半径，母线长，进而再根据勾股定理及等面积法，即可分别求出两球的半径，从而可求解． 本题考查圆锥的外接球与内切球问题，属中档题． 8.【答案】C  【解析】解：根据题意，作出双曲线的渐近线及直线PQ图象，如图： 因为，所以，，， 因为，所以， 又因为，所以， 则，， 设，则，所以，即，， 双曲线的离心率 故选： 本题通过作出符合题意的双曲线及其渐近线，再根据双曲线的定义和性质进行求解． 本题主要考查双曲线的离心率，需要结合图象以及双曲线的定义进行求解，属于中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：对于A，因为该单位男职工的人均体重为66kg，该单位女职工的人均体重为54kg， 所以该单位男职工的人均体重比女职工的人均体重高，故A正确； 对于B，若按性别进行分层抽样，从所有职工中随机抽取16人，则女职工被抽取了人，故B错误； 对于C，该单位所有职工的人均体重为，故C正确； 对于D，该单位所有职工的体重的方差为，故D正确． 故选： 根据表格中的数据可直接判断A，根据分层随机抽样的定义可判断B，根据分层随机抽样的平均数和方差公式可判断 本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了分层随机抽样的平均数和方差公式，属于基础题． 10.【答案】AC  【解析】解：对于A，若，则，此时， 所以为图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，若，则， 因为，所以，，故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后，则， 该函数与函数的图象重合， 可得，，，可得，， 所以，故C正确； 对于D，若，由，可得， 则函数的零点个数，即为函数与图象交点的个数， 作出两函数图象如图所示： 由图象可得函数与有3个交点，即函数的零点个数为3，故D错误． 故选： 结合三角函数的对称性，单调性以及图象变换的规律逐项求解，判断． 本题主要考查正弦函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题． 11.【答案】AD  【解析】解：对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以A正确，B错误； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确． 故选： 对于AB，，则，从而可求出的范围进行判断，对于C，利用化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用，化简变形结合已知条件可判断． 本题考查不等式性质的应用，解题的关键是对已知的等式进行恰当的变形，利用完全平方的非负性可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题． 12.【答案】  【解析】解：向量，， 则， ， 则，解得， 故， ， ， 所以，，， 故 故答案为： 根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解． 本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时， 作出函数的图象，如图所示： 令， 则， 则题意可得直线与函数的图象有2个不同交点， 由图象可得或 故答案为： 利用导数求出函数在上的单调区间及最值，作出函数的图象，结合图象求解即可． 本题考查了函数的零点、导数的综合运用，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题． 14.【答案】2   【解析】解：由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为与抛物线方程联立， 消去x得，，， 抛物线C：，，，，， ，，，， ，，， 可得 故答案为：2； 设直线l的方程为与抛物线方程联立，消去x得，结合韦达定理，求解通过，求解MN的坐标，推出P的坐标，然后求解三角形的面积． 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，是中档题． 15.【答案】，；    【解析】数列的前n项和为，其中， 当时，可得， 相减可得，即， 可得数列是公比为4的等比数列， 由，可得， 则，； ， 数列的前n项和， ， 相减可得 ， 化为 由数列的通项与求和的关系，结合等比数列的定义和通项公式、求和公式，可得所求； 由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 本题考查数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式、求和公式和数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.【答案】证明过程请见解答；   【解析】解：分别取BC，的中点D和，连接AD，，过M作交于G，连接DG，则平面ADGM就是平面，证明过程如下： 由题知，， 所以A，D，G，M四点共面， 因为为等边三角形，且D为BC的中点，所以， 由正三棱柱的性质知，平面平面ABC， 又平面平面，平面ABC， 所以平面， 因为平面ADGM，所以平面平面，即平面平面 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 因为点到平面的距离为， 所以，解得， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，则， 设平面与平面夹角为， 则，， 故平面与平面夹角的余弦值为 分别取BC，的中点D和，连接AD，，过M作交于G，连接DG，先说明A，D，G，M四点共面，再证平面，然后由面面垂直的判定定理，即可证明； 以A为原点建系，设，，利用向量法求点到面的距离可求出t的值，再利用向量法求面面角即可． 本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的判定与性质定理，利用向量法求点到面的距离、面面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 17.【答案】分布列见解析，数学期望为；    【解析】易知X的所有可能取值为20，30，40， 所以，，， 则X的分布列为：  X  20 30 40  P       故； 易知乙剩余两次可能抽得的金额为20，30，40， 所以乙的总数金额为80，90，100， 乙得80的概率，乙得90元概率，乙得100元概率， 要使5次抽奖后丙获得的奖券总额多于乙， 当乙得80，此时丙得90或100， 此时； 当乙得90，此时丙得100， 此时 则5次抽奖后丙获得的奖券总额多于乙的概率 由题意，得到X的所有可能取值和相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解； 易知乙的总数金额为80，90，100，要使5次抽奖后丙获得的奖券总额多于乙，则有乙得80，丙得90或100；乙得90，丙得100这两种情况，列出等式求解即可． 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 18.【答案】；   当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减；     【解析】时，，设点为图象上任一点， 则点P关于点的对称点为在的图象上， 所以，即，所以； 因为，所以； ①当时，在上恒成立，所以在上单调递减； ②当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ③当时，令，解得，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 不等式在上恒成立，则恒成立， 所以恒成立，设， 则，令， 则，令， 则，故在上单调递增，且， 所以，所以在上单调递增，， 当时，，则，故在上单调递增，且，故恒成立，满足题意； 当时，，则存在，使得，且当，，则在上单调递减， 又，则当时，，不满足题意． 故 设点为图象上任一点，根据点P关于点的对称点为在的图象上，即可求解； 分，，，三种情况即可； 将在上恒成立，化为恒成立，构造函数再分类讨论即可． 本题考查函数的对称性，以及导数在函数单调性和恒成立问题中的综合应用，属于中档题． 19.【答案】       【解析】因为椭圆过点， 可得，解得，， 所以椭圆的方程为 由题意可得， 由可得，， 设直线l的方程为，设，， 联立，整理可得：， 可得，， 因为， 所以， 即， 可得， 可得，代入中，可得， 再代入中，可得， 整理可得，解得， 所以直线l的斜率为 可得椭圆：， 设过点，且与圆相切的切线方程为， 所以， 解得， 联立，得， 所以， 所以，  将代入上式，解得弦，， 代入，解得， 所以， 所以，，， 所以的周长为 根据题意可得，解得，，即可得出答案． 设直线l的方程为，设，，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，得，解得m，即可得出答案． 由上可得椭圆：，设过点，且与圆相切的切线方程为，则，解得k，联立椭圆的方程，解得A，B坐标，即可得出答案． 本题考查椭圆的恶方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$