2026版一轮复习达标检测示范卷-【十年砺剑】2026年高考数学一轮复习单元达标检测示范卷

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 一轮复习验收综合检测卷 满分150分,限时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025安徽顶尖名校教育联考)已知集合M={x|<2},N={x|x2-x-2<0},则M∩N=(　　) A.{x|-1<x<5}　　B.{x|1≤x<5}　　 C.{x|-1<x<2}　　D.{x|1≤x<2} 2.(2025浙江温州一模)若i2 025z=1+i,则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限　　B.第二象限　　 C.第三象限　　D.第四象限 3.(2025山东临沂教学质量检测)已知sin(α-β)=,tan α=2tan β,则sin(α+β)=(　　) A.　　B.　　C.　　D.1 4.(2025陕西渭南一模)若函数f(x)=log0.5(ax-x2)在(-1,0)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,2]　　B.[-2,0)　　C.[2,+∞)　　D.(-∞,-2] 5.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos<a-b,c>=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2024湖南长沙雅礼中学开学考试)甲、乙、丙等5人站成一排,若甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同的排法共有(　　) A.20种　　B.16种　　C.12种　　D.8种 7.(2024河北部分学校调研)设a=ln 2,b=1.09,c=e0.3,则下列结论正确的是　(　　) A.a<b<c　　B.a<c<b　　C.c<a<b　　D.c<b<a 8.(2025浙江湖州、衢州、丽水等地教学质量检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱C1D1的中点,平面AB1E将长方体分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积的比值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2025云南昆明联考)从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本,将该样本进行某项质量指标值测量,下图是测量结果x的频率分布直方图(最后一组为闭区间,其余每组为左闭右开区间),则下列叙述正确的是(　　) A.指标值在区间[195,205)内的产品约有33件 B.指标值的极差在(50,70]内 C.指标值的第60百分位数大于205 D.指标值的方差的估计值是150 10.(2025U18联盟校月考)设函数f(x)=x3-6x2+9x-4,则(　　) A. f(x)的极小值点为3　　 B.当0<x<1时, f(x3)>f(x) C.当1<x<2时,-4<f(x+1)<-2　　 D. f(x)有3个零点 11.(2025辽宁名校联合体检测)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为R,若f(x+1)与f'(x)均为偶函数,且f(-1)+f(1)=2,则下列结论正确的是(　　) A. f'(1)=0 B.4是f'(x)的一个周期 C. f(1 012)=0 D. f(x)的图象关于点(6,1)对称 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2024山东烟台、德州诊断)若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4),则实数m的值为　　　　.  13.(2025湖南名校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F的直线l交圆x2+y2=a2于A,B两点,交C的右支于点Q,若|FA|=|AB|=|BQ|,则C的离心率为　　　　.  14.(2024湖北十一校联考)已知在数列{an}中,a1,a11∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,为等差数列,S14=77,则S100=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025陕西榆林一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是PA的中点. (1)求证:PC∥平面BDE; (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为,求PA的长. 16.(15分)(2024吉林长春五校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,cos C+ccos A-2bcos B=0. (1)求B; (2)若=2,且BD=,求c. 17.(15分)(2024江西重点中学协作体一模)已知椭圆E:+=1的左、右顶点分别为A,B,点C在E上,点M(6,yM),N(6,yN)分别为直线AC,BC上的点. (1)求yM·yN的值; (2)设直线BM与椭圆E的另一个交点为D,求证:直线CD经过定点. 18.(17分)已知函数f(x)=eax,g(x)=ln x(a>0)的导数分别为f '(x),g'(x). (1)若存在直线l,使得直线l分别与f(x),g(x)的图象在x=x1,x=x2(x1≠x2)处相切,求证:x1+x2<+e; (2)若<1,求实数a的取值范围. 19.(新风向)(17分)(2025广东阶段检测)已知数列{an}一共有m2(m>2)项,a1,a2,…,am为公差不为0的等差数列,对任意的i∈{1,2,…,m},ai,ai+m,…,ai+(m-2)m,ai+(m-1)m成等差数列,且对于不同的i,其公差为同一个非零常数. (1)若m=3,a1=1,a4=3,a9=9,求数列{an}的各项之和; (2)证明:a1,a(m+1)+1,a2(m+1)+1,…,a(m-1)(m+1)+1成等差数列; (3)从1,2,…,m2中任取三个数p,q,r(p<q<r),记p,q,r成等差数列且ap,aq,ar也成等差数列的概率为Pm,证明:Pm>. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案全解全析 1.D　易得,N={x|-1<x<2},所以M∩N={x|1≤x<2}. 2.D　由i2 025z=1+i,得iz=1+i,所以z==1-i,其在复平面内对应的点为(1,-1),在第四象限内. 3.D　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=①. 由tan α=2tan β,得=, 所以sin αcos β-2cos αsin β=0②. 联立①②,得sin αcos β=,cos αsin β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=1. 4.D　令t=-x2+ax,x∈(-1,0). 因为y=log0.5x在定义域内单调递减, f(x)=log0.5(ax-x2)在(-1,0)上单调递增, 所以, 且. 易知函数t=-x2+ax的图象开口向下,对称轴方程为x=,所以由t=-x2+ax在(-1,0)上单调递减,得≤-1,解得a≤-2. 由t=-x2+ax>0在(-1,0)上恒成立,得-1-a≥0,所以a≤-1. 综上,实数a的取值范围为(-∞,-2]. 5.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c, 则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0,又c=-a-b, 所以(a-b)·c=(a-b)·=-a2+b2-a·b=,易知|a-b|===, 所以cos<a-b,c>===. 6.B　因为甲不在两端,所以甲一定在乙和丙的中间,所以还需在除甲、乙、丙外的两人中选一人站在乙和丙的中间,有种选法,又乙、丙排列有种排法,中间两人排列有种排法,将乙和丙及中间2人看成一个元素,与剩下的一人进行排列,有种排法,所以不同的排法共有=16(种). 7.A　a=ln 2<ln e=1<b,c=e0.3>e0=1>a. 令f(x)=ex-x2-1,则f'(x)=ex-2x, 令g(x)=ex-2x,则g'(x)=ex-2, 当x∈(-∞,ln 2)时,g'(x)<0, f'(x)单调递减,当x∈(ln 2,+∞)时,g'(x)>0, f'(x)单调递增,所以f'(x)≥f'(ln 2)=2(1-ln 2)>0,所以f(x)在R上单调递增, 所以f(0.3)>f(0)=0,即e0.3>1.09,所以c>b. 综上,a<b<c. 8.D　如图,取DD1的中点F,连接EF,AF,易知EF∥AB1,所以平面AB1E即为平面AB1EF. 易知AF,A1D1,B1E交于同一点,所以体积较小的部分为三棱台D1EF-A1B1A. 设AB=a,AD=b,AA1=c, 则长方体的体积V=abc. 由棱台的体积公式得=(++)b=b=abc, 所以较大部分的体积V'=V-=abc. 所以体积较小部分与体积较大部分的体积的比值为=. 9.ABD　对于A,指标值在区间[195,205)内的产品约有100×10×0.033=33件,故A正确. 对于B,指标值的最大极差为235-165=70,最小极差大于225-175=50,故B正确. 对于C,前三组的频率之和为0.02+0.09+0.22=0.33<0.6,前四组的频率之和为0.02+0.09+0.22+0.33=0.66>0.6,所以指标值的第60百分位数在[195,205)内,所以指标值的第60百分位数小于205,故C错误. =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, 所以方差s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150,故D正确. 10.AC　易得f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),所以当x∈(-∞,1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈(1,3)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(3,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,所以3是函数f(x)的极小值点,故A正确. 当0<x<1时,x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1)<0,所以0<x3<x<1,又f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x3)<f(x),故B错误. 当1<x<2时,2<x+1<3,又f(x)在(1,3)上单调递减,所以f(2)>f(x+1)>f(3),即-4<f(x+1)<-2,故C正确. 由A中分析知, f(x)的极大值点是1,极小值点是3, 又f(0)=-4<0, f(1)=0, f(3)=-4<0, f(5)=16>0,所以f(x)有2个零点,故D错误. 11.ABD　因为f'(x)为偶函数,所以f'(-x)=f'(x),所以-f(-x)=f(x)+c(关键点),又f(-1)+f(1)=2,所以c=-2,所以f(x)+f(-x)=2①. 因为f(x+1)为偶函数, 由①②得, f(2-x)+f(-x)=2,所以f(x)+f(2+x)=2,所以f(x+2)+f(4+x)=2,所以f(x)=f(x+4),所以4是f(x)的一个周 对f(-x+1)=f(x+1)求导,得-f'(1-x)=f'(x+1),令x=0,得-f'(1)=f'(1),所以f'(1)=0,故A正确. 对于f(x)+f(-x)=2,令x=0,得f(0)=1,所以f(1 012)=f(4×253)=f(0)=1,故C错误. 由上述分析知f(x)=f(2-x), f(x)+f(2+x)=2, 所以f(2-x)+f(2+x)=2, 所以一个周期,所以f(x)的图象关于点(6,1)对称,故D正确. 12.4 解析　设点(0,4)关于直线y=x的对称点为(a,b),由已知得点(a,b)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上, 由解得 因此点(4,0)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上, 则(4-m)2+(0-1)2=1, 所以m=4. 知识总结　　　　点关于直线对称的结论 (1)点(m,n)关于直线y=x的对称点为(n,m). (2)点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b). (3)点(m,n)关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m). 13. 解析　设C的半焦距为c(c>0),如图,设O为坐标原点,AB的中点为M,C的右焦点为F2,连接QF2,OM,AO. 因为|FA|=|AB|=|BQ|,所以M也是FQ的中点,又O为FF2的中点,所以OM∥QF2,|OM|=|QF2|. 设|FA|=|AB|=|BQ|=2m(m>0), 由双曲线的定义得|QF|-|QF2|=2a, 所以|QF2|=6m-2a,|OM|=3m-a, 易知OM⊥AB,所以QF2⊥FQ, 在Rt△AOM中,由|AO|2=|OM|2+|AM|2, 即a2=(3m-a)2+m2,得m=, 所以|QF|=,|QF2|=, 在Rt△QFF2中,由|QF|2+|QF2|2=|FF2|2,即+=4c2,得=. 14.-3 750 解析　∵为等差数列, ∴可设=An+B,A,B为常数, ∴Sn=An2+Bn,∴a1=S1=A+B, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An-A+B,又a1=A+B满足上式, ∴an=2An-A+B,n∈N*,则an+1-an=2A(常数), ∴ 设数列{an}的公差为d, ∵S14=77,∴7(a1+a14)=77, ∴a1+a14=a1+a11+3d=a1+a11+3·=11, 化简得7a1+13a11=110,∵a1,a11∈N*, ∴1≤a11≤,且a11∈N*, 经检验可得a1=12,a11=2, 则d==-1, ∴an=13-n,∴Sn=,∴S100=-3 750. 15.解析　(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD, 所以以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.(2分) 设PA=2a(a>0), 易得B(0,0,2),C(2,0,2),D(2,0,0),P(0,2a,0),E(0,a,0), 所以=(2,-2a,2),=(2,0,-2),=(-2,a,0).(4分) 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 则即令y=2,得n=(a,2,a).(6分) 因为·n=2a-4a+2a=0,所以⊥n,又PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE.(7分) (2)由(1)得=(0,0,2),=(-2,2a,0),=(0,a,-2).设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,z1), 则即 令y1=1,得m=(a,1,0).(9分) 设直线BE与平面PCD所成的角为θ,则=,解得a=1或a=2,(11分) 所以PA的长为2或4.(13分) 16.解析　(1)∵a=1,∴cos C+ccos A-2bcos B=acos C+ccos A-2bcos B=0　(关键点),  则由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A-2sin Bcos B=sin(A+C)-2sin Bcos B=0,(3分) 在△ABC中,易知A+B+C=π, ∴sin(A+C)-2sin Bcos B=sin B-2sin Bcos B=0, ∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cos B=,∴B=.(6分) (2)设CD=x,x>0,∵=2,∴AC=2x, 在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠ABC==,∴c2+1-4x2=c.(9分) 在△ABC中,cos∠BCA=, 在△BCD中,cos∠BCD=,(12分) ∵ ∴=-, 整理得6x2-c2-3=0, 又c2+1-4x2=c, ∴c2-3c-3=0,解得c=, ∵c>0,∴c=.(15分) 17.解法一　(1)由椭圆E的方程可得A(-3,0),B(3,0).(1分) 设C(xC,yC), 由题意得kAC·kBC=kAM·kBN,所以·=·,所以yM·yN=①.(4分) 因为点C在椭圆E上,所以+=1②.(5分) 联立①②,得yM·yN=-15.(6分) (2)证明:易得直线MA的方程为y=(x+3).(7分) 由得(45+)x2+6x+9-405=0, 所以Δ=36-4(45+)(9-405) =72 900>0,-3xC=,所以xC=,所以yC=, 所以C.(9分) 同理,得D.(10分) 当直线CD的斜率存在时,kCD==, 所以直线CD的方程为y+=. 不妨令 y=0,得=, 所以x==,此时直线CD过定点.(13分) 当直线CD的斜率不存在时,xC=xD,即=,所以=15,所以xC=xD=,此时直线CD的方程为x=,过定点.(14分) 综上,直线CD经过定点.(15分) 解法二　(1)由椭圆E的方程可得A(-3,0),B(3,0).(1分) 设C(xC,yC),由题意得A,C,M三点共线, 又=(xC+3,yC),=(9,yM), 所以yM=. 同理,得yN=,所以yM·yN=①.(4分) 因为点C在椭圆E上,所以+=1②.(5分) 联立①②,得yM·yN=-15.(6分) (2)证明:由题意得,直线CD与x轴不平行,所以设直线CD的方程为x=my+n(n≠±3),C(x1,y1),D(x2,y2).(7分) 由得(5m2+9)y2+10mny+5n2-45=0, 所以y1+y2=-,y1·y2=,(9分) 所以kBC·kBD=·= ==.(11分) 又kBC·kBD=kBN·kBM=·==-, 所以=-,解得n=或n=3(舍去),(13分) 所以直线CD的方程为x=my+,所以直线CD经过定点.(15分) 18.解析　(1)证明:因为f(x)=eax,g(x)=ln x(a>0), 所以f '(x)=aeax,g'(x)=. 因为直线l分别与f(x),g(x)的图象在x=x1,x=x2(x1≠x2)处相切, 所以直线l的斜率k=f '(x1)=g'(x2)=,即a==,(2分) 所以=,=, 所以x1=+x2(1-ln x2),所以x1+x2-=2x2-x2ln x2.(4分) 设h(x)=2x-xln x,则h'(x)=1-ln x. 当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值, 所以h(x)≤h(e)=e.(5分) 若x2=e,则x1=+x2(1-ln x2)=, 代入a=,得a=, 则x1=e=x2,这与x1≠x2矛盾,所以x2≠e. 所以x1+x2-<e,即x1+x2<+e.(8分) (2)因为<1,且f(x)=eax>0, 所以f(x)>g(x),即eax>ln x.(9分) 当0<x≤1时,ln x≤0, 所以eax>ln x恒成立.(10分) 当x>1时,由eax>ln x,得axeax>xln x=eln xln x. 设φ(x)=xex(x>0),则φ(ax)>φ(ln x).(12分) 易得φ'(x)=(x+1)ex,因为x>0,所以φ'(x)>0恒成立,故φ(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以ax>ln x,即a>.(14分) 设m(x)=,则m'(x)=. 当x∈(0,e)时,m'(x)>0,m(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,所以m(x)≤m(e)=.(16分) 所以实数a的取值范围是.(17分) 19.解析　(1)当m=3时,数列{an}一共有9项. 由题意得a1+a7=2a4,又a1=1,a4=3,所以a7=5,(1分) 同理,由a7=5及a9=9,得a8=7.(2分) 所以数列{an}的各项如下表所示, a1=1 a2=3 a3=5 a4=3 a5=5 a6=7 a7=5 a8=7 a9=9 (4分) 所以数列{an}的各项之和为45.(5分) (2)证明:如表所示,要证a1,a(m+1)+1,a2(m+1)+1,…,a(m-1)(m+1)+1成等差数列,即证表中左上至右下的对角线上的数成等差数列. a1 a2 a3 … am am+1 am+2 am+3 … a2m … … … … … akm+1 akm+2 akm+3 … am(k+1) … … … … … am(m-1)+1 am(m-1)+2 am(m-1)+3 … (7分) 由题意可知,该表每行均为等差数列且公差相同,设公差为d1;每列也为等差数列且公差相同,设公差为d2, 则ak(m+1)+1-a(k-1)(m+1)+1=d1+d2, 所以数列{a(k-1)(m+1)+1}(1≤k≤m,k∈Z)是以a1为首项,d1+d2为公差的等差数列.(10分) (3)证明:不妨将数表中的每个数看作一个点,若P,Q,R三点共线,且关于中间的点中心对称,则这三个点对应的数构成等差数列. 在数表中,只需要横行投影成等差数列,且纵列投影成等差数列即可. 对横行进行分析. ①若m为偶数,则公差为d1的等差数列的个数为m-2,公差为2d1的等差数列的个数为m-4,……,公差为d1的等差数列的个数为2, 共有个等差数列, 此时p,q,r成等差数列且ap,aq,ar也成等差数列的总取法数为×2+2m·=, 所以Pm==>>.(13分) ②若m为奇数,同理,可得每横行可以产生个等差数列,此时p,q,r成等差数列且ap,aq,ar也成等差数列的总取法数为×2+2m·=, 所以Pm==>>=. 对纵列进行分析,同理,得Pm>.(16分) 综上,Pm>.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$