第2单元 不等式-【十年砺剑】2026年高考数学一轮复习单元达标检测示范卷

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案全解全析 1.B　不妨设b<0,则a2b<ab2,a3>b3,故A,C错误. 对于B,若b<0,则由上述分析知>;若b>0,则-==(a-b)>0,即>,故B正确. 对于D,不妨设c=a,则a-c<c-b,故D错误. 解题技法　　判断数(或式)大小的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证; (2)利用特殊值法排除错误选项; (3)作差法; (4)构造函数,利用函数的单调性判断. 2.B　由题意设y1=,y2=k2x(k1>0,k2>0). 因为当x=6时,y2=4y1,所以6k2=,所以k1=9k2,所以两项费用(单位:元)之和为y1+y2=+k2x,因为+k2x≥6k2,当且仅当x=3时取等号,所以仓库与车站之间的距离为3 km. 3.B　因为x∈(0,2],所以由ax2-2x+3a<0可得,所以不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解等价于a<,x∈(0,2](关键点). 因为x>0,所以≤=,当且仅当x=,即x=时,等号成立,所以a<. 解题技法 以不等式为载体的恒成立与能成立(有解)问题的解决方法 (1)a>(≥)f(x)恒成立⇔a>(≥)f(x)max,a<(≤)f(x)恒成立⇔a<(≤)f(x)min; (2)a>(≥)f(x)能成立⇔a>(≥)f(x)min,a<(≤)f(x)能成立⇔a<(≤)f(x)max. 4.B　解法一　然不可能对任意的x∈R恒成立. 当a<0时,y=(ax-1)(x-b)的图象开口向下,不满足题意, 所以a>0. 令(ax-1)(x-b)=0,得x1=,x2=b. 若不等式(ax-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立,则=b,即ab=1且a>0,b>0, 所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b且ab=1,即a=,b=2时,等号成立, 所以4a+b的最小值为4. 解法二　若不等式(ax-1)(x-b)≥0即ax2-(ab+1)x+b≥0恒成立, 则 所以ab=1且a>0,b>0, 所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b且ab=1,即a=,b=2时,等号成立,所以4a+b的最小值为4. 5.B　记b+c=6-4a+3a2为①,c-b=4-4a+a2为②, ①-②得2b=2a2+2,即b=a2+1,∴b≥1. ∵b-a=a2+1-a=+>0,∴b>a. ∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b,∴c≥b>a. 6.D　因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0, 所以2+2=2+=3,当且仅当,即a+b=2且a-b=,即a=,b=时取等号,所以a++的最小值为3. 7.A　对于A,3ab=2a+b≥2,所以3≥2,所以ab≥,当且仅当a=,b=时取等号,故A错误. 对于B,结合A知2a+b=3ab≥,当且仅当a=,b=时取等号,故B正确. 对于C,因为2a+b=3ab,所以+=3, 所以3(a+2b)=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+2b≥3,故C正确. 对于D,b-=b+-3≥2-3=2-3,当且仅当b=时取等号,故D正确. 解题技法 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的功能,因此在利用基本不等式解决条件最值时,关键是构造和为定值或积为定值,主要有三种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解;②对条件变形,进行常数代换,进而利用基本不等式求解;③针对求最值的式子,通过添项、分离常数、平方等方法使之能够运用基本不等式. 8.D　由题意得m2-m≤(关键点). 解法一　设p==,q==,则p,q∈(0,1),且p=, 所以+=p+q== =+-≥2-=, 当且仅当=,即q=时取等号, 所以m2-m≤,即m2-2m-3=(m-3)(m+1)≤0,解得-1≤m≤3,所以实数m的最大值为3. 解法二　x=,y=, 所以+=+=+-≥2-=,当且仅当p=q,即x=2y时取等号, 所以m2-m≤,即m2-2m-3=(m-3)(m+1)≤0,解得-1≤m≤3,所以实数m的最大值为3. 9.ACD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-3,1),所以a<0且-3,1为方程ax2+bx+c=0的两根,所以-3+1=-,-3×1=,所以b=2a<0,c=-3a>0,故A正确;因为-3为方程ax2+bx+c=0的根,所以9a-3b+c=0,故B错误;将b=2a代入ax-b<0中,得ax-2a<0,即a(x-2)<0,又a<0,所以x-2>0,解得x>2,故C正确;将b=2a,c=-3a代入ax2-bx+c<0中,得ax2-2ax-3a<0,即a(x2-2x-3)<0,又a<0,所以x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,故D正确. 10.BC　由题意得所以0<a<2,所以a一定不是唯一的最大边. 不妨设c最大,则≤c<2, 所以方程x2+(a-4)x+a2=0有两个正根,且在≤x<2时有解(关键点), 所以解得-1<a≤. 结合选项,a的可能取值为,. 11.AC　对于A,由x2+y2+xy=1得xy=(x+y)2-1. 当xy>0时,xy≤,所以(x+y)2-1≤,即(x+y)2≤,解得-≤x+y≤,当且仅当x=y=-时左边等号成立,故x+y的最小值为-; 当xy<0时,xy<,同理,得-<x+y<; 当x,y中有一个为0时,x+y=1或x+y=-1. 综上,x+y的最小值为-,故A正确. 对于B,由x2+y2+xy=1得x2+y2=1-xy≥2xy,解得xy≤,当且仅当x=y=或x=y=-时,等号成立,所以xy的最大值为,故B错误. 对于C,由x2+y2+xy=1得xy=1-(x2+y2),所以2xy=2-2(x2+y2), 又2xy≤x2+y2,所以2-2(x2+y2)≤x2+y2,解得x2+y2≥,当且仅当x=y=或x=y=-时,等号成立,故x2+y2的最小值为,故C正确. 对于D,当x=-1,y=1时,满足x2+y2+xy=1,但x2+y2=2,故D错误. 12.-2,-1,0(答案不唯一) 解析　当a<b时,若c>0,则ac<bc;若c=0,则ac=bc;若c<0,则ac>bc,所以只要a<b<c≤0,就能说明“设a,b,c是任意实数,若a<b<c,则ac<bc”是假命题. 13.(-∞,6) 解析　由题意得f(x)min>g(x)min,x∈[0,1](突破口). 易知g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=, 所以g(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以g(x)min=g=a2-8, 易知f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=. 当≤0,即a≤0时, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a2-4. 所以a2-4>a2-8,显然恒成立. 当0<<1,即0<a<4时, f(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以f(x)min=f=a2-4, 所以a2-4>a2-8,所以0<a<4. 当≥1,即a≥4时, f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=a2-a-2,所以a2-a-2>a2-8,所以4≤a<6. 综上,实数a的取值范围为(-∞,6). 解题技法 如果不等式的有关问题中涉及两个函数,两个变量,且两个变量前面带有逻辑中的“量词”,那么这样的问题均可转化为两个函数的值域或最值之间的关系问题. 已知函数y=f(x),x∈[a,b],其值域记为A,y=g(x),x∈[c,d],其值域记为B. (1)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B; (2)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠⌀; (3)若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],总有f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)min; (4)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)max; (5)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)max; (6)若∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],使得f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)min. 14. 解析　不等式>0等价于(ax-1)(x+2a-1)>0. 当a=0时,不等式为1-x>0,解得x<1,此时解集中有无数个整数,与题意不符. 当a<0时,令(ax-1)(x+2a-1)=0,得x1=<0,x2=1-2a>1,所以不等式的解集为(设为集合A),显然0∈A,1∈A,若不等式的解集中恰有3个整数,则另一个整数为-1或2. 若-1∈A,则解得a=-; 若2∈A,则解得a=-1. 所以a=-1或a=-. 当a>0时,y=(ax-1)(x+2a-1)的图象开口向上,所以不等式的解集中必有无数个整数,与题意不符. 综上,实数a的取值集合是. 15.解析　(1)当m=-1时,由f(x)<0,得x-2<0,解得x<2,与题意不符.(2分) 当m≠-1时,由 得解得m≥. 综上,实数m的取值范围为.(4分) (2)f(x)≥m,即(m+1)x2-mx+m-1≥m,即[(m+1)x+1](x-1)≥0.(5分) 当m+1=0,即m=-1时,不等式的解集为{x|x≥1}; 当-2<m<-1时,->1,(x-1)≤0,所以不等式的解集为x1≤x≤-; 当m>-1时,-<0<1,(x-1)≥0,所以不等式的解集为xx≤-或x≥1. 综上,当m=-1时,不等式的解集为{x|x≥1};当-2<m<-1时,不等式的解集为x1≤x≤-;当m>-1时,不等式的解集为xx≤-或x≥1.(8分) (3)因为对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥x2-x+1恒成立, 所以对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥2-x恒成立. 易知x2-x+1>0恒成立,所以m≥对任意的x∈[-1,1]恒成立(关键点),所以m≥.(10分) 设t=2-x,则1≤t≤3,x=2-t, 所以==. 因为t+≥2,当且仅当t=时取等号, 所以≤=,当且仅当x=2-时取等号,(12分) 所以实数m的取值范围是.(13分) 16.解析　(1)当t=1时, f(x)=x2-2x+2. 令f(x)≤5,即x2-2x+2≤5,解得-1≤x≤3.(2分) 由题意得[0,a+2]⊆[-1,3],所以0<a+2≤3,解得-2<a≤1,所以实数a的取值范围为(-2,1].(4分) (2)因为对任意的t∈[0,2],x2-2tx+2≥7恒成立, 所以对任意的t∈[0,2],-2tx+x2-5≥0恒成立, 所以解得x≤-或x≥5, 所以实数x的取值范围是(-∞,-]∪[5,+∞).(7分) (3)由题意得,f(x)在[0,4]上的最大值与最小值的差小于或等于8(突破口).(8分) 易得函数f(x)图象的对称轴方程为x=t. 当t≤0时,函数f(x)在[0,4]上单调递增,所以f(4)-f(0)≤8,即(16-8t+2)-2≤8,解得t≥1,又t≤0,所以无解.(9分) 当0<t≤2时,函数f(x)在[0,t]上单调递减,在[t,4]上单调递增,所以f(x)max=f(4), f(x)min=f(t),所以f(4)-f(t)≤8,即(16-8t+2)-(t2-2t2+2)≤8,解得4-2≤t≤4+2,又0<t≤2,所以4-2≤t≤2.(10分) 当2<t<4时,函数f(x)在[0,t]上单调递减,在[t,4]上单调递增,所以f(x)max=f(0), f(x)min=f(t),所以f(0)-f(t)≤8,即2-(t2-2t2+2)≤8,解得-2≤t≤2,又2<t<4,所以2<t≤2.(11分) 当t≥4时,函数f(x)在[0,4]上单调递减,所以f(0)-f(4)≤8,即2-(16-8t+2)≤8,解得t≤3,又t≥4,所以无解.(12分) 综上,实数t的取值范围是[4-2,2].(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第二单元　不等式 满分99分,限时70分钟 考点1 不等式的性质及解法　　考点2 基本不等式 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025河南创新发展联盟联考)若a>|b|>0,c∈R,则下列结论一定成立的是(　　) A.a2b>ab2　　B.>　　C.a3<b3　　D.a-c>c-b 2.(2025江苏无锡调研)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:元)与x成正比;若在距离车站6 km处建仓库,则y2=4y1.要使这家公司的两项费用之和最小,则仓库与车站之间的距离为(　　) A.2 km　　B.3 km　　C.4 km　　D.5 km 3.(2025四川成都树德中学阶段测试)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.(-∞,0]　　D.(-∞,0) 4.(2025山西质量检测)若不等式(ax-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立,则4a+b的最小值为(　　) A.2　　B.4　　C.5　　D.4 5.设实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则下列不等式成立的是(　　) A.c<b　　B.b≥1　　C.b≤a　　D.a>c 6.(2025湖南衡阳统考)已知a>b>0,则a++的最小值为(　　) A.　　B.4　　C.2　　D.3 7.(2025湖北部分高中联考)已知正实数a,b满足2a+b=3ab,则下列结论中错误的是(　　) A.ab的最大值是　　B.2a+b的最小值是 C.a+2b的最小值是3　　D.b-的最小值为2-3 8.(2025江苏百校联考)若对于任意的x>0,y>0,+≥m2-m恒成立,则实数m的最大值为　(　　) A.　　B.-1　　 C.1　　D.3 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2024福建龙岩名校期中)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-3,1),则下列结论正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.9a-3b+c<0 C.关于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+∞) D.关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞) 10.(2025江西南昌外国语学校月考)已知正数a,b,c满足若a,b,c恰好是三角形的三条边长,则a的可能取值为(　　) A.　　B.　　C.　　D.2 11.(2025辽宁丹东段测)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,则(　　) A.x+y的最小值为-　　B.xy的最大值为 C.x2+y2的最小值为　　D.x2+y2的最大值为1 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2025北京师范大学附属实验中学月考)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a<b<c,则ac<bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　　.  13.(2025山东部分学校质量检测)已知函数f(x)=2x2-ax+a2-4,g(x)=x2-x+a2-,a∈R,若∀x1∈[0,1],∃x2∈[0,1],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　　.  14.(2024江苏镇江统考)若关于x的不等式>0的解集中恰有3个整数,则实数a的取值集合是　　　　　.  四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025四川新高考联盟适应性考试)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R). (1)若不等式f(x)<0的解集为⌀,求实数m的取值范围; (2)当m>-2时,解不等式f(x)≥m; (3)若对任意的x∈[-1,1],不等式f(x)≥x2-x+1恒成立,求实数m的取值范围. 16.(13分)(2025江苏泰州靖江高级中学月考)设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R. (1)若t=1,且对任意的x∈[0,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围; (2)若对任意的t∈[0,2],都有f(x)≥7,求实数x的取值范围; (3)若对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求实数t的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$