第5单元 三角函数与解三角形单元提升卷-【十年砺剑】2026年高考数学一轮复习单元达标检测示范卷

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 单 元 提 升 卷 满分150分,限时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2024广东肇庆联考)sin 18°cos 36°=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2024江苏南京期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos Bsin C+2bcos Asin C=c2,则△ABC外接圆的面积是(　　) A.　　B.　　C.　　D.π 3.(2025福建百校联考模拟)在平面直角坐标系中,将角α的终边顺时针旋转后经过点(1,-2),则sin α=(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 4.(2025湖北部分高中期中联考)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则正实数φ的最小值为(　　) A.　　B.　　C.　　D.π 5.(2025四川新高考教研联盟模拟)设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,tan A=,且B为钝角,则sin A+sin C的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.(2024陕西榆林联考)将函数f(x)=2sin x的图象向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.(2025湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度,在学校操场选择了同一条直线上的A,B,C三点进行测量.如图,AC=20米,B为AC的中点,兴趣小组组长小王在A,B,C三点正上方2米处的A1,B1,C1处观察建筑物最高点E的仰角分别为α,β,γ,其中tan α=,tan β=2,tan γ=,点D为点E在地面上的正投影,点D1为DE上与A1,B1,C1位于同一高度的点,则建筑物的高度DE为(　　) A.20米　　B.22米 C.40米　　D.42米 8.(2024河南TOP二十名校调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的相邻两个对称中心之间的距离是,将f(x)图象上的点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g(x)为偶函数,若h(x)=2f(x)+1在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为(　　) A.　　B.14π　　C.　　D.15π 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2025江西鹰潭余江一中第三次模拟)下列等式成立的有(　　) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°= B.cos 15°-sin 15°= C.=1 D.-=4 10.(2025山东济宁教学质量检测)已知函数f(x)=sin x+cos x,则(　　) A.函数f(x)在上单调递减 B.函数f(x)的图象关于点对称 C.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,若所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是 D.若实数n使得方程f(x)=n在[0,2π]上恰好有三个实数解x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1+x2+x3= 11.(2024湖北武汉部分高中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有(　　) A.若a=6,A=,则△ABC面积的最大值为 B.若a=6,b+c=8,则△ABC面积的最大值为3 C.若角A的内角平分线交BC于点D,且=,a=3,则△ABC面积的最大值为3 D.若AB=BC,M为BC的中点,且AM=2,则△ABC面积的最大值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2025湖北部分高中期中联考)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin C,若A=,则=　　　　.  13.(2025山西太原期中)如图,扇形OPQ的半径为1,∠POQ=120°,A是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形,则矩形ABCD面积的最大值为　　　　.  14.(2025河南许平汝名校期中)如图所示的“心形”曲线C恰好是由半圆C1,半圆C2,曲线y=cos x+1(0≤x≤π),y=-cos x-1(0≤x≤π)围成的,则“心形”曲线C所围成的区域的面积等于　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025辽宁名校联盟联考)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式,可以推导出三倍角公式.例如:cos 3α=4cos3α-3cos α. (1)请推导出sin 3α关于sin α的表达式; (2)求sin 18°的值; (3)求sin3126°+sin36°-sin366°的值. 16.(15分)(2025辽宁点石联考二模)如图,函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,0≤θ≤的图象与y轴相交于点,且在y轴右侧的第一个零点为. (1)求θ和ω的值; (2)已知0<α<<β<π, f=, f=-,求cos β的值. 17.(15分)(2025吉林松原长岭第二中学月考)已知M,N分别为函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A∈N*,ω∈N*,0<φ<π)图象上相邻的最高点和最低点,MN=,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2f=-1,c=2,sin A=2sin B,求△ABC的面积. 18.(17分)(2025山东德州学情检测)从①=a;②asin B-b·cos Bcos C=ccos2B;③(sin A-sin C)2=sin2B-sin Asin C这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并加以解答. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若　　　　.  (1)求角B的大小; (2)若b=3,求△ABC周长的取值范围; (3)若△ABC为锐角三角形,c=1,求△ABC面积的取值范围. 19.(17分)(2025山东日照实验高级中学阶段性考试)已知向量a=2sin,-,b=2cos,-2,函数f(x)=a·b,其中ω>0. (1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,=,求函数f(x)图象的对称中心; (2)若2<ω<4,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,x=是g(x)的一个零点,若函数g(x)在[m,n](m,n∈R且m<n)上恰好有8个零点,求n-m的取值范围; (3)已知函数h(x)=acos-2a(a<0),在第(2)问的条件下,若对任意x1∈,存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案全解全析 1.A　sin 18°cos 36°=====. 2.D　由2acos Bsin C+2bcos Asin C=c2及正弦定理,得2sin Acos Bsin C+2sin Bcos Asin C=csin C. 2sin Bcos A=c,即所以=2=2R(R为△ABC外接圆的半径),解得R=1,所以△ABC外接圆的面积是πR2=π. 3.B　由题意得sin==-,cos==, 故sin α=sin+=sincos +cossin =-×+×=-. 4.B　f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,ω>0, 若函数f(x)的最小正周期为π,则=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin. 将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=f(x-φ)=2sin2x-, 因为g(x)为偶函数,所以2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=+,k∈Z,当k=0时,正实数φ取得最小值. 5.A　由tan A=以及正弦定理,得==, 所以sin B=cos A,即sin B=sin, 又B为钝角,+A∈,所以B=+A, 则C=π-(A+B)=-2A>0,所以A∈, 所以sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+, 因为A∈,所以0<sin A<, 由此可得<-2+≤,即sin A+sin C的取值范围是. 6.A　由题意得g(x)=2sin. 当x∈时,因为ω>0,所以+<ωx+<+. 因为函数g(x)在区间上单调递增, 所以(k∈Z),解得-+8k≤ω≤+4k(k∈Z),又ω>0,所以-+8k≤+4k且+4k>0,解得-<k≤,又k∈Z,所以k=0,则0<ω≤,所以ω的取值范围为. 7.B　设D1E=h,因为tan α=,tan β=2,tan γ=, 所以A1D1==,B1D1==,C1D1==, 因为AC=20米,B为AC的中点,所以A1C1=20米,B1为A1C1的中点,故A1B1=B1C1=10米, 在△A1B1D1中,由余弦定理的推论得cos∠A1B1D1==, 在△C1B1D1中,由余弦定理的推论得cos∠C1B1D1==, 因为∠A1B1D1+∠C1B1D1=π, 所以cos∠A1B1D1+cos∠C1B1D1=0, 即+=0,所以h=20(米),故建筑物的高度DE=h+2=22(米). 8.C　因为函数f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离是,ω>0,所以==,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin=sin. 因为g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π, 所以φ=,所以f(x)=sin, 所以h(x)=2sin+1. 令h(x)=0,得sin=-,所以2x+=+2kπ或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ或x=+kπ,k∈Z,所以h(x)的相邻两个零点之间的距离为或. 若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,sπ+a](s∈N*)上分别恰有3,5,…,(2s+1)个零点,所以在区间[a,14π+a]上恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]上至少有1个零点,所以b-a-14π≥,所以b-a≥,故b-a的最小值为. 9.AD　因为tan(25°+35°)==, 所以tan 25°+tan 35°=(1-tan 25°tan 35°)=-tan 25°·tan 35°, 所以tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故A正确; cos 15°-sin 15°=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=,故B错误; = ==,故C错误; -= = ===4,故D正确. 10.BCD　f(x)=sin x+cos x=2=2sin. 对于A,当x∈时,x+∈,所以f(x)在上先增后减,A错误; 对于B, f=2sin=0,B正确; 对于C,将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得y=2sin的图象,若此图象关于y轴对称,则m+=+kπ,k∈Z,得m=+kπ,k∈Z,又m>0,所以m的最小值为,C正确; 对于D,作出f(x)的图象如图所示, 因为f(x)的图象与直线y=n在[0,2π]上有且只有三个交点,所以n=1,结合图知x1,x2关于直线x=对称,x3=2π, 所以x1+x2+x3=2×+2π=,D正确. 11.BCD　对于A,由余弦定理可得a2=c2+b2-2c·bcos ,即c2+b2-c·b=36, 由基本不等式可得36=c2+b2-c·b≥2c·b-c·b=c·b,即c·b≤36,当且仅当c=b=6时,等号成立, 所以S△ABC=c·bsin =c·b≤9,故A错误; 对于B,由余弦定理的推论可得cos A====-1, 所以S△ABC=bcsin A=bc ==, 因为8=b+c≥2,所以bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立,所以S△ABC=≤3,即△ABC面积的最大值为3,故B正确; 对于C,设∠BAD=α,∠BDA=β,则∠CAD=α,∠CDA=180°-β, 在△ABD和△ACD中,分别运用正弦定理,得=和=. 因为sin(180°-β)=sin β,所以=,即==,所以b=2c, 在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos∠BAC==,所以S△ABC=bcsin∠BAC=c2===≤×4=3,当且仅当c=时,等号成立, 所以△ABC面积的最大值为3,故C正确; 对于D,设BM=x,则BA=BC=2x,在△BAM中,由余弦定理得4x2+x2-4x2cos B=4,解得cos B=-,则sin B=, 所以S△ABC=×2x·2xsin B=2x2·==, 所以当x2=,即x=时,=,故D正确. 12.2 解析　由a=2bsin C及正弦定理, 可得a2=2absin C=2bcsin A, 又A=,所以a2=2bcsin A=bc, 由余弦定理的推论得cos A=,即=, 整理得b2+c2=2bc,故=2. 13. 解析　如图,过点O作OM⊥AB于点M,交CD于点N,连接OB, 则∠QOM=∠POQ=, 设∠BOM=θ,θ∈,则∠QOB=-θ, 又OB=1,所以OM=OBcos θ=cos θ,AB=2OBsin θ=2sin θ,CN=AB=sin θ, 在△OCN中,ON==sin θ, 所以MN=OM-ON=cos θ-sin θ, 则S矩形ABCD=AB·MN=2sin θ =sin-, 又θ∈,所以2θ+∈, 则当2θ+=,即θ=时,S矩形ABCD最大,为. 14.3π 解析　设F(π,0),E(0,2),线段EF的中点为G,则G,如图, 因为曲线y=cos x+1(0≤x≤π)关于点G对称(突破口),  所以可将曲线y=cos x+1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域割补为直角三角形OEF的区域,于是曲线y=cos x+1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积就是直角三角形OEF的面积,即S△OEF=|OE|·|OF|=×2×π=π; 根据对称性,可得曲线y=-cos x-1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积为π, 又“心形”曲线C所围成的区域中,两个半圆的面积为×π×12+×π×12=π, 所以“心形”曲线C所围成的区域的面积等于π+π+π=3π. 15.解析　(1)sin 3α=sin(α+2α) =sin α·cos 2α+cos α·sin 2α =sin α·(2cos2α-1)+cos α·2sin α·cos α(2分) =2sin α·cos2α-sin α+2sin α·cos2α=4sin α·cos2α-sin α =4sin α·(1-sin2α)-sin α=-4sin3α+3sin α.(4分) (2)∵36°+54°=90°,∴sin 36°=cos 54°, 即sin(2×18°)=cos(3×18°), ∴2sin 18°·cos 18°=4cos318°-3cos 18°,(6分) ∵cos 18°≠0,∴2sin 18°=4cos218°-3, 即2sin 18°=4(1-sin218°)-3, 整理得4sin218°+2sin 18°-1=0, ∵sin 18°>0,∴sin 18°=.(9分) (3)由(1)得sin3α=sin α-sin 3α, ∴sin3126°+sin36°-sin366° =sin 126°-sin 378°+sin 6°-sin 18°-sin 66°+sin 198°(11分) =(sin 126°+sin 6°-sin 66°)-(sin 378°+sin 18°-sin 198°) =[sin(120°+6°)+sin 6°-sin(60°+6°)]-[sin(360°+18°)+sin 18°-sin(180°+18°)] =cos 6°-sin 6°+sin 6°-cos 6°-sin 6°-(sin 18°+sin 18°+sin 18°)=-sin 18°=.(13分) 16.解析　(1)由题意得sin θ=,∵0≤θ≤,∴θ=,(2分) ∴f(x)=sin, 又为f(x)的一个零点,∴ω+=kπ,k∈Z,∴ω=,k∈Z,(4分) 由题图知<<,又T=,∴<ω<,∴<<,k∈Z,∴<k<,k∈Z,∴k=1,∴ω=2.(6分) (2)由(1)知f(x)=sin, ∵f=,∴sin α=, ∵0<α<,∴cos α=,(9分) ∵0<α<<β<π,∴<α+<α+β<α+π<, ∴sin(α+π)<sin(α+β)<sin,即-<sin(α+β)<,(12分) ∵f=-,∴cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=, ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-.(15分) 17.解析　(1)由题意得MN==, 即+4A2=+4,又A∈N*,ω∈N*, 所以ω=2,A=1,所以f(x)=cos(2x+φ),(3分) 则g(x)=cos2+φ=cos2x++φ, 因为g(x)为奇函数,所以+φ=+kπ(k∈Z), 所以φ=+kπ(k∈Z), 因为0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos2x+.(7分) (2)由2f=2cos2C++=-2sin2C+=-1,得sin2C+=, 因为0<C<π,所以<2C+<,得2C+=,得C=,(10分) 因为sin A=2sin B,所以由正弦定理得a=2b, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即12=5b2-2b2=3b2,(13分) 所以b=2,a=4,所以S△ABC=absin C=2.(15分) 18.解析　(1)若选①,由=a得bsin A=a+acos B, 由正弦定理得sin Bsin A=sin A(1+cos B), 由0<A<π,得sin A>0, 则sin B=1+cos B,所以2sin=1,故sin=,(3分) 又B∈(0,π),所以B-∈, 所以B-=,解得B=.(5分) 若选②,因为asin B-bcos Bcos C=ccos2B, 所以由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos Bcos C=sin Ccos2B, 所以sin Asin B=cos B(sin Bcos C+sin Ccos B)=cos Bsin(B+C)=cos Bsin A,由0<A<π,得sin A>0, 则sin B=cos B,即tan B=,(3分) 又B∈(0,π),所以B=.(5分) 若选③,因为(sin A-sin C)2=sin2B-sin Asin C, 所以由正弦定理得(a-c)2=b2-ac,即a2+c2-b2=ac, 所以cos B===,(3分) 又B∈(0,π),所以B=.(5分) (2)由(1)得B=, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3=(a+c)2, 所以0<a+c≤6,(7分) 又三角形两边之和大于第三边,所以a+c>b=3, 则3<a+c≤6,则6<a+b+c≤9. 所以△ABC周长的取值范围是(6,9].(10分) (3)由(1)得B=,又c=1, 所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2-a+1,(12分) 因为△ABC是锐角三角形, 所以则 将c=1,b2=a2-a+1代入得解得<a<2,(15分) 因为S△ABC=acsin B=a,所以S△ABC∈.(17分) 19.解析　由已知得f(x)=a·b=4sincos+1=2sin+1.(1分) (1)由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,=,可知=,所以T=1,即=1,解得ω=π.(3分) 所以f(x)=2sin+1. 令2πx+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(5分) (2)由已知得g(x)=2sin+1=2sin+1. 由g=0得sin=-, 即sin=-, 所以+=2kπ+或+=2kπ-,k∈Z, 所以ω=6k+3或ω=6k-1,k∈Z.(7分) 又2<ω<4,所以ω=3. 所以g(x)=2sin+1,故其最小正周期为.(8分) 画出函数g(x)的图象如下: 若函数g(x)在[m,n](m,n∈R且m<n)上恰好有8个零点,则-0≤n-m<-, 即≤n-m<. 所以n-m的取值范围为.(10分) (3)问题可转化为当x∈时,函数h(x)的值域是g(x)的值域的子集(关键点). 当x∈时,2x-∈, 所以cos∈, 又a<0,所以h(x)∈.(12分) 当x∈时,6x-∈, 所以sin∈[-1,1],所以g(x)∈[-1,3].(14分) 由⊆[-1,3],a<0⇒所以-2≤a<0. 故a的取值范围是[-2,0).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$