第3单元 函数二（2）-【十年砺剑】2026年高考数学一轮复习单元达标检测示范卷

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第三单元　函数（二） 满分99分,限时70分钟 考点3 基本初等函数及其应用 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025湖南邵阳联考)函数y=loga(3x-5)+(a>0且a≠1)的图象恒过点P,点P在幂函数f(x)的图象上,则f(9)=(　　) A.　　B.　　C.3　　D.9 2.(2024辽宁铁岭期末)垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源的一系列活动,做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间t(单位:月)近似满足关系v=a·bt(其中a,b为正常数),经过5个月,这种垃圾的分解率为10%,经过10个月,这种垃圾的分解率为20%,则这种垃圾完全分解大约需要经过的月数为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　) A.20　　B.22　　C.24　　D.26 3.(2025安徽皖南八校联考)设函数f(x)=log2[x(a-x)]在(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,4]　　B.[3,4)　　C.(3,4]　　D.[3,4] 4.(2024四川攀枝花统考)已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值为,则a=(　　) A.或3　　B.或2　　C.3　　D.2 5.(2025北京朝阳外国语学校质量检测)已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论中正确的是(　　) A.ln>0　　B.ln(y-x+1)>0　　 C.ln|y+x|>0　　D.ln|y-x|>0 6.(2025湖北高中名校联盟联合测评)若关于x的函数f(x)=lg[loga(x2+ax+2)]的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,1)∪(1,2)　　B.(0,1)∪(1,2)　　 C.(1,2)　　D.(1,2) 7.(2024辽宁沈阳东北育才学校统考)已知函数f(x)=ln,a=log23,b=log34,c=log58,则(　　) A. f(a)<f(c)<f(b)　　B. f(a)<f(b)<f(c) C. f(c)<f(a)<f(b)　　D. f(c)<f(b)<f(a) 8.(2025四川内江威远中学校期中)已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1],若y=g(x)在区间上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.[2,+∞)　　B.(0,1)∪(1,2)　　 C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2024浙江金华十校联考)已知3x=4y=12,则(　　) A.x>y　　B.x+y<4　　C.+<　　D.xy>4 10.(2025山东名校考试联盟阶段检测)已知幂函数f(x)=(9m2-3)xm的图象过点,则(　　) A.m=-　　B. f(x)为偶函数 C.n=　　D.不等式f(a+1)>f(3-a)的解集为(-∞,1) 11.(2024江苏泰州姜堰中学期中)已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p0-ln p=kh,p0是海平面大气压强,k=10-4.我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表: 阶梯 第一级阶梯 第二级阶梯 第三级阶梯 平均海拔/m ≥4 000 [1 000,2 000] [0,500] 若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围,设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≤　　B.p0<p3 C.e0.05p2≤p3　　D.p3≤e0.2p2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2025山东济宁嘉祥第一中学月考)已知函数f(x)=a·e-|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交,则ab=　　　　.  13.已知函数f(x)=2-x+1,g(x)=若方程g(x)=2有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为　　　　.  14.(新风向)(2025四川绵阳南山中学月考)设函数f(x)=(-x+a)ln(x+b),若f(x)≤0,则a2+b2的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025河南省实验中学期中)已知函数f(x)=log2(x+a). (1)若函数y=|f(x)|在x∈[-1,2]上的最大值为log23,求实数a的值; (2)当a>0时,记g(x)=f(4x),若对任意的x∈(0,2),函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的下方,求正数a的取值范围. 16.(13分)(2025广东七校联考)已知函数f(x)=. (1)求函数y=f(2x)-f(x),x∈[0,1]的值域; (2)若不等式f(2x)≤kf(x)在x∈R上恒成立,求实数k的取值范围; (3)当x∈[-ln a2,-ln b2](a>b>0)时,函数g(x)=mf(x)+1的值域为[2-3a,2-3b],求正数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案全解全析 1.C　=,∴P(2,). 设幂函数f(x)=xα,则f(2)=2α=,解得α=,∴f(x)==,∴f(9)==3. 2.B　由题意得解得所以v=×. 若这种垃圾完全分解,即分解率为100%,则v=×=1,所以=20, 所以t=log220,解得t=5log220==≈≈22. 3.D　设g(x)=x(a-x). 易知函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)在(2,3)上单调递减, 所以, 且. 易知函数y=x(a-x)的图象开口向下,对称轴方程为x=,所以由g(x)在(2,3)上单调递减得≤2,解得a≤4. 由g(x)>0在(2,3)上恒成立,得g(3)=3(a-3)≥0,解得a≥3. 综上,实数a的取值范围为[3,4]. 4.A　易知f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数,所以以f(x)=ax-a-x. 当a>1时,0<<1,所以y=ax在[-1,1]上单调递增,y=a-x在[-1,1]上单调递减,所以f(x)=ax-a-x在[-1,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=a-a-1=,解得a=3或a=-(舍去). 当0<a<1时,>1,所以y=ax在[-1,1]上单调递减,y=a-x在[-1,1]上单调递增,所以f(x)=ax-a-x在[-1,1]上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=a-1-a=,解得a=或a=-3(舍去). 综上,a=或a=3. 5.B　由x3-y3<2-x-2-y,得x3-2-x<y3-2-y. ,则f(x)<f(y). 因为y=x3在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数,所以f(x)在R上为增函数,所以y>x(关键点). 对于A,取y=1,x=-2,则ln<0,故A错误. 对于B,由y>x得y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故B正确. 对于C,取y=1,x=-2,则ln|y+x|=0,故C错误. 对于D,取y=1.1,x=1,则ln|y-x|<0,故D错误. 6.C　由题意得,a>0,a≠1,且对任意的x∈R,x2+ax+2>0①,loga(x2+ax+2)>0②. 对于①,令其对应方程的判别式Δ1<0,即a2-8<0,结合a>0,a≠1,得a∈(0,1)∪(1,2). 若a∈(0,1),由②知,对任意的x∈R,x2+ax+2∈(0,1),矛盾; 若a∈(1,2),由②知,对任意的x∈R,x2+ax+2>1,即x2+ax+1>0,令其对应方程的判别式Δ2<0,即a2-4<0,得-2<a<2,故a∈(1,2). 综上,实数a的取值范围为(1,2). 7.A　由题意得>0,解得-3<x<2,所以函数f(x)的定义域为(-3,2). f(x)=ln=ln,令t=-1,易知其在(-3,2)上单调递减,函数y=ln t在定义域上单调递增,所以f(x)=ln在(-3,2)上单调递减. 因为b=log34=log2764=,c=log58=log2564=,所以b<c, 因为c-=log58-log5=log5<log51=0,所以c<, 又a-=log23-log2=log2>log21=0,所以a>,所以c<a,所以b<c<a,所以f(a)<f(c)<f(b). 8.D　由题意得,y=f(x)与y=ax互为反函数(关键点), ∴f(x)=logax, ∴g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=+(loga2-1)logax. 令t=logax,h(t)=t2+(loga2-1)t,则其图象开口向上,对称轴为直线t=. 当a>1时, f(x)=logax单调递增,由x∈知t∈loga,loga2,∴若y=g(x)在区间上单调递增,则h(t)在loga,loga2上单调递增, ∴≤loga,解得0<a≤,不合题意,舍去. 当0<a<1时, f(x)=logax单调递减,由x∈知t∈,∴若y=g(x)在区间上单调递增,则h(t)在上单调递减,∴≥loga,解得0<a≤. 综上,实数a的取值范围是. 9.AD　由3x=4y=12,得x=>0,y=log412=>0. 因为log124>log123>0,所以>,即x>y,故A正确;+=log123+log124=log1212=1,故C错误;因为x>y>0,所以1=+>2,所以xy>4,故D正确;因为+=1,所以x+y=xy>4,故B错误. 10.AB　因为函数f(x)为幂函数,所以9m2-3=1,解得m=±. 当m=时, f(x)=,显然其图象不过点,舍去; 当m=-时, f(x)=,因为其图象过点,所以=,解得n=±=±,故A正确,C错误. f(x)=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=(-x==f(x),故f(x)为偶函数,故B正确. 易知函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以由f(a+1)>f(3-a), f(x)为偶函数,得f(|a+1|)>f(|3-a|),所以解得a<1且a≠-1,故D错误. 11.ACD　设在第一级阶梯某处的海拔为h1 m,则ln p0-ln p1=10-4h1,即h1=104ln.因为h1≥4 000,所以104ln≥4 000,解得p1≤,故A正确. 由ln p0-ln p=kh,得ekh=.又k=10-4,故当h>0时,ekh=>1,即p0>p,所以p0>p3,故B错误. 设在第二级阶梯某处的海拔为h2 m,在第三级阶梯某处的海拔为h3 m,则 两式相减可得ln=10-4·(h2-h3). 因为h2∈[1 000,2 000],h3∈[0,500],所以h2-h3∈[500,2 000],则10-4×500≤ln≤10-4×2 000,即e0.05≤≤e0.2,故e0.05p2≤p3≤e0.2p2,故C、D均正确. 12.4 解析　因为函数f(x)的图象过原点,所以f(0)=0,即a+b=0. 因为函数f(x)的图象无限接近直线y=2但又不与该直线相交,所以结合指数函数的图象可知b=2,所以a=-2,所以ab=(-2)2=4. 13.(0,3] 解析　由题意得g(x)= 方程g(x)=2有两个不相等的实数根,即函数g(x)的图象与直线y=2有2个不同的交点. 当x<m时,g(x)=2x+1,单调递增,所以g(x)<g(m)=2m+1,所以函数g(x)的图象与直线y=2至多有1个交点; 当x≥m时,g(x)=log2(x+1),单调递增,所以g(x)≥g(m)=log2(m+1),所以函数g(x)的图象与直线y=2至多有1个交点. 所以要使函数g(x)的图象与直线y=2有2个不同的交点,需满足直线y=2与两段函数图象各有一个交点,如图所示,所以解得0<m≤3,故实数m的取值范围为(0,3]. 14. 解析　易得f(a)=f(1-b)=0. 若f(x)≤0恒成立,则应满足在x取相同值的情况下,y=-x+a,y=ln(x+b)的值异号或同时等于0(突破口). 因为y=-x+a在R上单调递减,y=ln(x+b)在(-b,+∞)上单调递增, 所以只需使它们的零点重合,即a=1-b,即a+b=1, 所以a2+b2=(1-b)2+b2=+≥, 所以a2+b2的最小值为. 15.解析　(1)由题意得f(x)=log2(x+a)在[-1,2]上有意义,所以-1+a>0,解得a>1.(1分) 易知f(x)=log2(x+a)在x∈[-1,2]上单调递增, 所以函数y=|f(x)|在x∈[-1,2]上的最大值为max{|log2(-1+a)|,|log2(2+a)|}.(2分) 若|log2(-1+a)|<|log2(2+a)|,则|log2(2+a)|=log23⇒a=1或a=-,与a>1矛盾,舍去.(3分) 若|log2(-1+a)|≥|log2(2+a)|,则|log2(-1+a)|=log23, 由a>1得log2(-1+a)<log2(2+a)且log2(2+a)>0, 若log2(-1+a)≥0,则|log2(-1+a)|<|log2(2+a)|,矛盾,所以log2(-1+a)<0, 所以log2(-1+a)=-log23⇒a=,此时|log2(-1+a)|=log23<|log2(2+a)|=log2,矛盾,舍去.(5分) 综上,实数a的值不存在.(6分) (2)易得g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0). 因为对任意的x∈(0,2),函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)图象的下方, 所以f(x)<g(x)在(0,2)上恒成立,即log2(x+a)<log2(4x+a)(a>0)在(0,2)上恒成立,即<log2(4x+a)在(0,2)上恒成立,即(x+a)2<4x+a在(0,2)上恒成立, 即x2+2(a-2)x+a2-a<0在(0,2)上恒成立.(9分) 设m(x)=x2+2(a-2)x+a2-a,x∈(0,2), 则m(x)<0在(0,2)上恒成立,故解得0≤a≤1,(12分) 又因为a>0,所以0<a≤1,故正数a的取值范围是(0,1].(13分) 16.解析　(1)y=f(2x)-f(x)=-=-+=+,(1分) 当x∈[0,1]时,ex∈[1,e],所以∈,(2分) 所以当=,即x=ln 2时,ymax=;当=1,即x=0时,ymin=0, 所以函数y=f(2x)-f(x)在x∈[0,1]上的值域为.(4分) (2)f(2x)≤kf(x)⇔≤k·⇔(ex+1)(ex-1)≤kex(ex-1).(5分) 当x=0时,k∈R;(6分) 当x>0时,ex-1>0,则k≥=1+恒成立, 因为y=1+在(0,+∞)上单调递减,所以y=1+在(0,+∞)上的值域为(1,2),所以k≥2;(7分) 当x<0时,ex-1<0,则k≤=1+恒成立, 因为y=1+在(-∞,0)上单调递减,所以y=1+在(-∞,0)上的值域为(2,+∞),所以k≤2.(8分) 综上,实数k的取值范围为{2}.(9分) (3)g(x)=mf(x)+1=m+1=m+1-,m>0, 易知g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,因为当x∈[-ln a2,-ln b2](a>b>0)时,其值域为[2-3a,2-3b],所以即所以a,b是关于x的方程m+1-mx2=2-3x即mx2-3x+(1-m)=0的两个不相等的正实数根,(11分) 所以解得0<m<1, 所以正数m的取值范围为(0,1).(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$