高频微专题14&15圆锥曲线中的最值与范围问题 圆锥曲线中的定点、定值、定线问题-【十年砺剑】2026年高考数学一轮复习单元达标检测示范卷

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 答案全解全析 高频微专题14 1.解析　(1)联立消去x得y2-4py+2p=0. 由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>, 设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p, ∴|AB|=|yA-yB|==4,∴p=2或p=-(舍去).(3分) (2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去x得y2-4my-4n=0. Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,(5分) y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2, =(x1-1,y1),=(x2-1,y2), ∴·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,(7分) 联立①②可得+n>0,解得n≠1, 又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-2或n≥3+2.(9分) S△MFN=|MF||NF|=(x1+1)(x2+1)=(x1x2+x1+x2+1)=(2n2-4n+2)=(n-1)2. 又∵n≤3-2或n≥3+2, ∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2)2=12-8.(12分) 2.解析　(1)由已知得e==,所以=,所以a2=4b2,c2=3b2,所以椭圆方程为+=1,(3分) 又过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为=1,所以b2=1,a2=4,所以椭圆C的方程为+y2=1.(5分) (2)由题知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),直线AB:y=k(x-3),联立消去y并整理,得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,(7分) 则Δ=242k4-16(9k2-1)(1+4k2)>0,解得k2<, 由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,(8分) 则+=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y), 故x=(x1+x2)=, y=(y1+y2)=[k(x1+x2)-6k]=,(9分) 由点P在椭圆上,得+=4, 整理得36k2=t2(1+4k2),(10分) 又|AB|=|x1-x2|<,所以(1+k2)·<3,即(1+k2)[-4x1x2]<3, 即(1+k2)<3, 即(8k2-1)(16k2+13)>0,所以8k2-1>0,即k2>, 所以<k2<,(13分) 由36k2=t2(1+4k2)得t2==9-,所以3<t2<4,所以-2<t<-或<t<2.(15分) 3.解析　(1)设M(x,y),由题意得=,(2分) 化简得-y2=1,所以曲线C:-y2=1.(4分) (2)由题意知直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠1),P(x1,y1),Q(x2,y2). 联立 得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0, 易知1-2k2≠0,且Δ=(-4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8b2+8-16k2>0, 由根与系数的关系得(6分) 由已知得kAP·kAQ=, 即=k2, 所以(kx1+b-1)(kx2+b-1)=k2x1x2, 所以k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2=0,(7分) 又b≠1,所以k(x1+x2)+(b-1)=0, 所以(2k2+1)b+2k2-1=0,所以b=.(9分) 所以点A到直线l的距离d===,(11分) 将b=代入Δ=4(2b2-4k2+2)>0,得(1-2k2)(2k2+4k4+2)>0,解得k2<,又k≠0,所以0<k2<.(12分) 令t=,则t∈,d==4×.(13分) 当t∈时,d't=4×>0恒成立, 所以d=4×在区间上单调递增,(14分) 所以d∈, 即点A到直线l的距离的取值范围为.(15分) 4.解析　(1)设M(2cos θ,sin θ)是椭圆上一点, ∵P(0,1), ∴|PM|2=12cos2θ+(sin θ-1)2=13-11sin2θ-2sin θ=-11≤,故|PM|的最大值是,即点P到椭圆上点的距离的最大值为.(3分) (2)由题易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+, 将直线AB的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得(12k2+1)x2+12kx-9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,(6分) 易得直线PA:y=x+1,联立得xC==, 同理可得xD==,(9分) 则|CD|=|xC-xD| = =2 =2 =2 =×=×=×(点拨), 当且仅当k=时取到等号,经检验符合题意. 故|CD|的最小值为.(15分) 专题通法 　　与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题,通常有两类:一类是有关长度或面积的最值或取值范围问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题.求解该类问题有以下几种方法:(1)不等关系法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求最值(范围);(2)基本不等式法:根据题意将所求变形为两项和或积的形式,利用基本不等式求最值(范围);(3)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用函数单调性求最值(范围). 高频微专题15 1.解析　(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c, 由焦点坐标知c=2,(1分) 则由e==可得a=2,(2分) 所以b2=c2-a2=16,故双曲线C的方程为-=1.(4分) (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y),直线MN的方程为x=my-4,且-<m<,(5分) 由消去x并化简得(4m2-1)y2-32my+48=0, 则Δ=(-32m)2-4×48(4m2-1)>0,y1+y2=,y1y2=,故my1y2=(y1+y2).(6分) 易知A1(-2,0),A2(2,0), 则直线MA1的方程为y=(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2), 联立直线MA1与直线NA2的方程可得=,(8分) 所以若能证明为定值λ,则P点在定直线x=上运动,故问题转化为证明为定值.(9分) 证法一　(整体替换)利用y1y2与y1+y2的关系进行替换,因为my1y2=(y1+y2), 所以======-,故点P在定直线x=-1上.(12分) 证法二　(三点共线)因为M,N与点(-4,0)共线,所以=,故y1x2-y2x1=4y2-4y1. 又my1y2=(y1+y2),所以y1x2+y2x1=y1(my2-4)+y2(my1-4)=2my1y2-4y1-4y2=-y1-y2, 所以 故=====-, 故点P在定直线x=-1上.(12分) 2.解析　(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0), 由题意知=,b=2, 又a2=b2+c2,所以a=3,c=. 故C的方程为+=1.(3分) (2)证明:易知直线PQ的斜率存在且小于0,又直线PQ过点(-2,3),所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,k<0.(4分) 联立消去y,整理得(4k2+9)x2+8k(2k+3)·x+16k(k+3)=0,k<0,则Δ=[8k(2k+3)]2-4×(4k2+9)×16k(k+3)=-27×64k>0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=-,x1x2=.(7分) 因为P(x1,y1),A(-2,0), 所以直线AP的方程为=, 令x=0,得M, 同理,N, 所以线段MN的中点坐标为,(9分) +=+=2k++ =2k+=2k+ =2k+=2k+=3,(11分) 所以线段MN的中点坐标为(0,3),所以线段MN的中点为定点.(12分) 3.解析　(1)由抛物线的定义知|AF|=2p+=5,则p=2,故抛物线C:y2=4x,(2分) 又A(4,m)(m>0)在抛物线上,所以m2=4×4,所以m=4,故A(4,4).(4分) (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率不为0,故设直线MN:x=ty+n, 与y2=4x联立,消去x,整理得y2-4ty-4n=0,则Δ=16t2+16n>0,且y1+y2=4t,y1y2=-4n,(6分) 则x1+x2=t(y1+y2)+2n=4t2+2n,x1x2=t2y1y2+tn(y1+y2)+n2=n2,(7分) 由(1)知A(4,4),所以=(x1-4,y1-4),=(x2-4,y2-4),又·=0, 所以(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+y1y2-4(y1+y2)+32=0,(9分) 所以n2-16t2-12n-16t+32=(n-4t-8)(n+4t-4)=0, 则n=8+4t或n=4-4t.(11分) 当n=8+4t时,直线MN:x=t(y+4)+8,此时直线MN过定点(8,-4);(12分) 当n=4-4t时,直线MN:x=t(y-4)+4,此时直线MN过定点(4,4),即A,M,N共线,不合题意,(13分) 所以直线MN过定点(8,-4),设B(8,-4), 因为AD⊥MN,,(14分) 易得此圆圆心为线段AB的中点,即(6,0),半径为=2, 所以当Q为(6,0)时,|DQ|等于该圆的半径,为定值.(15分) 4.解析　(1)易知|MF|=,点M(x,y)到定直线l:x=4的距离为|x-4|, 所以=,(2分) 整理得+=1,故曲线C:+=1,它是焦点在x轴上的椭圆.(5分) (2)①证明:易知过点A且与抛物线y=mx2(m>0)相切的直线的斜率存在且不为0,故设其方程为y=k(x-1)-,k≠0,联立消去y并整理得mx2-kx+k+=0,(7分) 此时Δ=(-k)2-4m=0, 整理得k2-4mk-6m=0,(8分) 因为直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2, 所以k1,k2是方程k2-4mk-6m=0的两个实数根, 所以k1+k2=4m,k1k2=-6m, 则+==-,所以+为定值-.(10分) ②直线PQ过定点.不妨设直线PQ的方程为x=ty+n,t≠0,且P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去x并整理得(3t2+4)y2+6tny+3n2-12=0,(12分) 所以y1+y2=-,y1y2=, 由①知+=-, 所以+=-, 即+=-, 即·y1y2+·(y1+y2)+3=0, 得·+·+3=0, 即4n2+24n=9t2+48t+28, 即4(n+3)2=(3t+8)2, 解得n=t+1或n=-t-7,(15分) 当n=t+1时,直线PQ的方程为x=ty+t+1=t+1,此时直线PQ恒过定点A,不符合题意; 当n=-t-7时,直线PQ的方程为x=ty-t-7=t-7,此时直线PQ恒过定点. 综上所述,直线PQ恒过定点.(17分) 专题通法 　　1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或以动线方程中的系数为参数表示变化量,研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点; (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 2.破解圆锥曲线中定值问题的关键 (1)图形引路:画出草图,把已知条件翻译到图形中. (2)待定系数法:利用待定系数法求出圆锥曲线的方程. (3)直接消参求定值:①确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均结合条件用核心变量进行表示;②将所求表达式用核心变量进行表示,然后进行化简. (4)从特殊到一般求定值:①在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;②巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高频微专题14　圆锥曲线中的最值与范围问题 满分57分,限时60分钟 解答题(本题共4小题,共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1.(12分)(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值. 2.(15分)(2024四川南充高级中学期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B. (1)求椭圆C的方程; (2)设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围. 3.(15分)(2024江苏苏州段考)在平面直角坐标系Oxy中,已知动点M到定点F(,0)的距离和它到定直线x=的距离的比值为,记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)已知点A(0,1),不过A的直线l与C交于P,Q两点,直线AP,PQ,AQ的斜率依次成等比数列,求点A到直线l的距离的取值范围. 4.(15分)(2024湖北荆州中学期末)如图,已知椭圆+y2=1.设A,B是椭圆上异于点P(0,1)的两点,且点Q在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点. (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值; (2)求|CD|的最小值. 高频微专题15　圆锥曲线中的定点、定值、定线问题 满分56分,限时60分钟 解答题(本题共4小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1.(12分)(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上. 2.(12分)(2023全国乙理,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 3.(15分)(2025江苏常州期中)如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且经过点A(2p,m)(m>0),|AF|=5. (1)求A点的坐标; (2)直线l交抛物线C于M,N两点,过点A作AD⊥l于D,且·=0,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 4.(17分)(2024四川泸州期末)已知动点M(x,y)到定点F(1,0)的距离和M到定直线l:x=4的距离的比值是常数,记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程,并说明C的形状; (2)过A作两直线与抛物线y=mx2(m>0)相切,且分别与曲线C交于另一点P,Q,直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2. ①求证:+为定值; ②直线PQ是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$