(四)均值不等式及其应用-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修一同步周测卷（人教B版）

高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ① ③④ 5 ⑤ 档次 系数 选择题 利用均值不等式求 易 0.76 积式的最值 求均值不等式取最 2 选择题 5 值时等号成立的 易 0.74 条件 3 选择题 利用常数代换及均 5 中 0.60 值不等式求最值 4 选择题 运用两次均值不等 5 中 0.55 式求最值 由条件等式及基本 5 选择题 5 中 0.50 不等式求最值 均值不等式的实际 6 选择题 中 0.40 应用 选择题 对均值不等式的 7 6 易 0.72 理解 与基本不等式有关 8 选择题 中 0.40 的数学文化题 利用均值不等式求 9 填空题 5 中 0.68 分式的最值 利用基本不等式解 10 填空题 5 决不等式恒成立 中 0.45 问题 利用均值不等式求 11 解答题 各种代数式的最值 中 0.65 及取等条件 解答题 利用基本不等式证 12 15 中 0.45 明不等式 基本不等式的实际 13 解答题 20 中 0.40 应用 ·13· ·数学（人教B版）必修第一册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 ≥2√(x+2)· 16 L,D【解析】当0<x<4时，V(6-)≤+行卫 x+2 -2=8-2=6,当且仅当 2 =3,当且仅当x=6一x,即x=3时取等号，所以 x+2= 16 +2,即x=2时，等号成立，B正确：对于 √x(6一x)的最大偵为3.故选D. x>0 2.B【解折】依题意一2>0y=一2+六2十2≥ C.因为≠0，则>0，由均值不等式可得+号> 2V2)·52+2=4,当且仅当x-2= r-2 2√·号=12.当组仅当==±9时等 即x=3时等号成立，故选B. 号成立，C正确：对于D,因为x∈R,则x2十2≥2，则 3.C【解桥】由题得a+幼=名(a+4)(合+公) VP+2≥反，所以+3=+2)+1 +2 x+2 号(5+号+)≥号(5+2V会·严)=3，当且仅 v+22V√+2.1 +2+1≥2， =2,当 Vr+2 当a=26=1时取等号，则a十4b的最小值为3.故 选C. 且仅当+2=一1一时，即F+2=1时，等 √π2+2 4.A【解析】由m2>n>0,得√n(m一n)≤ 号成立，但√+2≥√2，故等号不成立，所以 +g0=受当且仅当=受时取等号.因此 2 广+3>2(x∈R),D正确.故选CD Wx2+2 m2+ vn(m≥m2+ 2 2 =m十 2 8.AC【解析】对于A,L4（a,b)=后+亚=Va≤ 2+月 2√m·高=4，当且仅当m=2时取等号，所以当 a'不 +b 2 三取得最小值4，故 2 =A(a,b),当且仅当a=b时，等号成立，故A m=2,n=1时，m2+ √n(m一) 2 正确：对于B.Lo(a,b)= 2ab2ab」 选A L+1a+b2√ab 5.A【解析】由x2十y2十xy=1,得(x十y)2=xy十1， 因为y≤+)，所以(x+y)≤+)+1. √ab=G(a,b),当且仅当a=b时，等号成立，故B错 4 4 误：对于C,（a,b)=十=+6十+≥ a+6 2(a+b) 即(+)≤号，所以-2<+y≤2，所以当 3 d2++2ab=(a+b2=0+b=L1(a,b),当且仅当 2(a+b)2(a十b)2 且仅当-y一停时+y取得最大值为9故 a=b时，等号成立，故C正确：对于D,当n=1时，由 选A C可知，L2(ab)≥a十-L(a.b),故D错误.故 2 6.A【解析】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左 选AC 臂长为a,右臂长为b,a≠b.由杠杆原理得br=6a,ay 三、填空题 =60,解得x=gy=必，期x十y=号+的 9.号 【解析】令x一1=t,则t>0,则y 2√层·亚-12，当且仅当a=6时取等号.又u≠6， 3 31 2(1+1)=+D+27+31+227+342S 故x十y>12.故选A. t 二、选择题 3 =号，当且仅当21=21=1，即x=2 7,BCD【解析】对于A,当r<0时，x十1<0，A错 2√2…+3 3 误：对于B,当>0时江+2>2，则十2+2-2 时，等号成立，故y的最大值为号 14 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第一册· 10.fala≤6y 【解析】关于xr的不等式x十a.x十15-a 1一c2=a2十≥2ab,当且仅当a=b时等号成立， ≥0恒成立，即a<5在-4长<0上恒成 (6分) 所以(1-a2)(1-)(1-c2)≥2e·2ae·2ah= 立，a≤ ()·又 8a2,当且仅当a=b=c时等号成立. x-1 所以(1-a)(1-M)(1-c2)≥8a2.(8分) ---2-D-16=1-+9-2≥ x-1 (2)因为(a+b+c)°=a2++c2+2ab+2ac+2bc ≤a2++2+(a2+)+(a2+2)+(6+2) 2√0-)·-2=6，当且仅当1-=9 =3(a3++2)=3, (13分) 即x=一3时等号成立，.a≤6. 当且仅当a==(=时等号成立， 四、解答题 3 11,解：(1)由均值不等式有(x十y)=x+y十2.xy= 所以a十b十c≤3. (15分) 36≤2(x2+y2), 13.解：(1)依题意，当m=0时，r=1, 所以(x2+y)=18,当且仅当x=y=3时等号成 则1=3一k, 立. (4分) 解得k=2, (3分) (2)由均值不等式推论有(x一1)(y一2)≤ 即x=3-2 十I' (5分) (1士2)-号当且仅当x=号y=子时等 2 又每件产品的销售价格为1.5×8+16工元。 号成立 所以（红一1D(y一2）的最大值是号，此时x= 5 2 因此y=x(1.5×8+16r)-(8+16x+m)=4+8z 2 (8分) -m=4+8(3-）-m=28- m十万-m,(8分) (3)x+7-y 4 一1， 所以k=2y=28-,16 M+1 一m(m≥0) (10分) 因为x=6-y>0,所以7-y>0, (2)由1)知，y=28-16 m十1-m=29- (itm 416 从面7-y十7产1≥2-1=3，当且仅当 (12分) y一5时等号成立， 16 所以x十7的最小值是3，此时=1y=5. 由m≥0.得5+m+1≥2√月·m+)=8, (13分) (16分) 12.解：(1)由a十+2=1， 当且仅当片=m十1，即m=3时取等号， 得1一a=十c≥2c,当且仅当b=c时等号成立， 因此当m=3时，y*=29-8=21, (18分) (2分) 1一=a2十c≥2ac,当且仅当a=c时等号成立， 所以该厂家的促销费用投人为3万元时，获得利润 最大，且最大值为21万元. (20分) (4分) ·15·高一同步同测卷/数学必修第一册 二，选择聚（木圈共2小图.每小题6分.共12分。在每小题给出的选项中.有多项符合 (圆)均值不等式及其应用 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得0分) 了.下列判断正确的有 (考试时间40分钟，满分100分) A.r+1≥x≠0) Ar+52≥6>0) 一，选择题《本题其6小惠，每小题5分，共30分。在每小意给出的四个选项中，只有一 项是符合题口要求的) Cr+号2u0 D.3>2(ER) √F+2 1,已知0<x<4.用(6一x)的最大值为 息设6为两个正数，定义4b的算术平均数为A(@,b=生兰，几何平均数为G,b A号 B.1 C.3 D.3 一石，用有G(a,)A(“:b,这是我们熟知的基木不等式.上个世纪五十年代，美 名者两数y=一>2在=A处取得最小优.则 国致学家H.Lemer桃出了产Lcmo均值，即L,a1=生女，其中为 A.1 B.3 c D.4 有理数则 A.L5(4,6)A(a.b》 B.L《a.b)3G(g,b 玉巴知正实数a6病足+ =3,则a十46的最小值为 C.L,4a,b≥1ia.6) D.L.(aL(b) 班级 性名 分数 A.9 B.8 .3 题号 2 4.已知m2>m0,期a+ 三的最小值为 √(m一 容案 A.4 我后 C.8 D.2 三，填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 5.已知实数xy满足x十y十y=1,则x十y的最大植为 3-3 8的数y一2手有在区间.+)上的最大值为 13g 3 : C.2 D.3 3 10.当一≤r0时，关于x的不等式x十ar十15一a0恒成立，则实数4的取值范国 8,阿基米德有这样一句流传很久的名言，“给我一个支点，我就能毅起整个地球！“这每 是 话说的便是杠杆g理，即“动力×动力骨=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等 四、解答题（本题共3小题，共48分，解容应写出必要的文字说明，正明过程或前算步馨） 长的天平称黄金，一位颗客到钠里购买12：黄金，售货员先将8g的成码放在天平左 11,(木小题演分13分) 盘中，取出xg黄金故在天平右盘中使天平平衡：再将6g的砝码收在天平右组中，取 已知正实数r,y调足x十y=6, yg黄金放在天平左盘中使天平平商，显后将邪得的黄金交给顾客，则下列选项正确 (1)求广+y的最小值及此时，y的值， 的是 (2)求(r一1)(y一2)的最大值及此时r,y的值： A.-y>12 民x十y=12 （3)求十亡的最小值及玩时工y的恤。 C.x+y<12 D以上选项都有可能 数学[人整B极】必移第一母第1页其4页) 衡水金等·先享题·高一网步周测移回 数学（人较B版》多修第一留第2页（具4页） 12,(本小题满分15分) 13.《本小题满分0分) 已知a,4,c0,且a++e-1.求证t 某厂家拟任021年举行促肺活动，经祺查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产 1)(1=.》(1=)412)39a72: 量)作位：万作)与年促的费用mm>0)(单位：万元)之间满足=号一m气此中 (2)a十+5， k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年前售量只能是1万件.已知2023年生 产该产品的固定投人为8万元，每生产1万作该产品需要再投人1后万元，厂家将句 件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再 投入两部分资金， 《1)求常题。的值，并将2024年该产品的利润y万元表示为年促钠费用m万无的函 数 《2)该厂家的促销费用授人多少万元时，厂家的利润量大？量大利润为多少万元： 数学（人较B版）多棉第一卧第3页（其4页） 衡水常移·先京题·商一问步周测荐四 数学（人较B藏}必修据一瑞第《页[共1面1