第十三章三角形（大单元复习课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 第十三章 三角形 单元复习 知识框架 QING JING YIN RU 三角形 内角和定理 有关的角 外角的性质 外角和定理 性质 直角 三角形 判定 三角形 有关概念 分类 稳定性 定义、边、顶点、角 按边分、按角分 高 有关线段 中线 角平分线 垂心 重心 内心 A B C 考点精讲 FU XI HUI GU 底边和腰不相等的等腰三角形 2. 三角形的三边关系： 1. 三角形的分类 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 按边分 按角分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 3.只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 考点精讲 FU XI HUI GU 4. 三角形的高、中线与角平分线 高：过顶点向其对边所在直线引垂线， 所得垂线段为高.三条高或其延长线相交于一点， 如图①. 中线：连接顶点与其对边中点所得线段为中线. 三条中线相交于一点（重心）， 如图②. 角平分线：内角的平分线与其对边相交所得线段为角平分线.三条角平分线相交于一点， 如图③. 图① 图② 图③ 考点精讲 FU XI HUI GU 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高线 中线 角平分线 考点精讲 FU XI HUI GU 5. 三角形的内角和定理与外角的性质 (1) 三角形的内角和等于 180°； (2) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3) 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. 6. 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 三角形的分类与识别 题 型 一 例1 下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 其中正确的有 个. ①等边三角形是等腰三角形，正确； ②三角形按边分类可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形，故错误；③三角形的两边之差小于第三边，故错误； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确. 故其中正确的有2个. 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 例2 如图，共有6个三角形，其中以CD为边的三角形是 ________________________； 以∠A为内角的三角形有_________________________. 以CD为边的三角形是△ACD，△DEC，△BDC. 以∠A为内角的三角形有△ADC，△AEC，△ABC. 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 三角形的三边关系及稳定性 题 型 二 例1 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( ) A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D.美观漂亮 桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了利用三角形的稳定性,故选C. 回顾三角形的三边关系. 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 例2 把一条长为18米的细绳围成一个三角形， 其中两段长分别为x米和4米． (1)求x的取值范围； 解：(1)∵该三角形的周长是18米，其中两段长分别为x米和4米， ∴第三边的长度是18－4－x＝14－x(米)． ∴14－x－4＜x＜14－x＋4，解得5＜x＜9. ∴x的取值范围是：5＜x＜9. 出现等腰三角形，必须考虑分类讨论 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 例2 (2)①当边长为x米的边为等腰三角形的底时， x＋4＋4＝18，解得，x＝10， ∵10＞9，∴x＝10，不合题意，舍去． ②当边长为4米的边为等腰三角形的底时， 2x＋4＝18，解得，x＝7. 综上所述，x的值是7. 把一条长为18米的细绳围成一个三角形， 其中两段长分别为x米和4米． (2)若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值． 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 三角形中的线段 题 型 三 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 作边AB上的高，则是过点C作AB的垂线，故选D. CE⊥AB，∠BEC＝∠AEC＝40° 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 例2 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50° ＝100°. 写出哪些线段的和.思考是否需要分类讨论. 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 例3 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 解：如图，∵DB为△ABC的中线， ∴AD=CD， 设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12，解得x=4. BC+x=15，得BC=11. 此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7， 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7． 折叠前后对应角相等 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 与三角形有关的角度计算 题 型 四 例1 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F. (1)填空：∠AFC＝__________度； 解：(1)由折叠得∠DAF＝∠BAD＝30°， ∴∠BAF＝60°， ∴∠AFC＝∠B＋∠BAF＝110°； 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 与三角形有关的角度计算 题 型 四 例1 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F. (2)求∠EDF的度数． (2)由折叠得∠E＝∠B＝50°， 又∵∠DFE＝∠AFC＝110°， ∴∠EDF＝180°－∠E－∠DFE＝20°. 外角内角齐上阵，方程思想来相等 题型解构 XIN ZHI TAN JIU 例2 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠BAC = 63°，求∠DAC 的度数． 解： 设∠1 =∠2 = x，则∠4 =∠3 = 2x. ∵∠BAC = 63°， ∴∠2 +∠4 = 117°，即 x + 2x = 117°. ∴ x = 39°. ∴∠3 = ∠4 = 78°， ∠DAC = 180° - ∠3 - ∠4 = 24°. 7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11. 聚焦训练 XIN ZHI TAN JIU 练 1 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 A 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小. 解：AC >BC，理由如下： 在△BCD中，有 BD+DC >BC 又因为 AD = BD， 则BD+DC = AD+DC = AC， 所以 AC >BC. 练 2 三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分. 聚焦训练 XIN ZHI TAN JIU 练3 解：∵ 点 E 是 AD 的中点， ∴ S△DBE =S△ABD，S△DCE = S△ADC. ∴ S△DBE + S△DCE =S△ABC =×24 = 12，即 S△BCE = 12. ∵ 点 F 是 CE 的中点，∴ S△BEF = S△BCE =×12 = 6. 如图，D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，E、F 分别是线段 AD、CE 的中点，且△ABC 的面积为 24，求△BEF 的面积． 聚焦训练 XIN ZHI TAN JIU 练 4 如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. A B C E 解：∵AE是△ABC的角平分线， ∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°. ∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°， ∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°. ∴∠CAE=∠BAE=∠BAC. 聚焦训练 XIN ZHI TAN JIU 练 5 折叠必有对称美，寻找对应角和边 如图，已知长方形的每个角都是直角，将长方形ABCD沿EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE＝40°. (1)求∠HFA的度数； (2)求∠HEF的度数． 解：(1)由折叠得∠EHF＝∠B＝90°， ∴∠CHF＝90°＋40°＝130°，∵DC∥AB， ∴∠HFA＝∠CHF＝130°. (2)∵∠CEH＝180°－∠C －∠CHE＝50°， ∴∠HEB＝180°－∠CEH＝130°， 由折叠得∠HEF＝∠BEF，∴∠HEF＝∠HEB＝65°. 什么是平面几何三要素？ 聚焦训练 XIN ZHI TAN JIU 练 6 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. $$