专题03 立体几何中的截面问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020高二必修第三册

专题03 立体几何中的截面问题 目录 典例详解 类型一、正方体截面问题 类型二、棱柱截面问题 类型三、锥体、台体截面问题 压轴专练 类型一、正方体截面问题 立体几何图形中有关截面的做法： ①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 ②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点; ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点。 ④面面平行的性质定理。 ⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平而找出棱上的交点; 若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点. 例1．在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 【答案】 【分析】先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，然后结合正方体的性质可求截面的周长. 【详解】 如图，取的中点,连接,易得，则, 过点在平面内作,交于点，则； 再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得, 过点在平面内作,交于点，则， 连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行， 同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行， 故五边形即点的正方体的截面. 因则,， 由可得，则有：, 即得：,则,; 又由可得,则有：, 即得：，则 则. 故五边形截面的周长为： 故答案为：. 变式1-1．已知正方体的棱长为4，，分别是侧面和侧面的中心，过点的平面与直线垂直，平面截正方体所得的截面记为，则的面积为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答. 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连接， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连接， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，， 由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 变式1-2．已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为 .    【答案】 【分析】根据二面角的概念及正方体、球的对称性确定平面为多边形AMKQN，利用勾股定理求周长即可. 【详解】由题意，曲面为以C为球心落在正方体内的球面， 根据球和正方体的对称性可知，平面与平面所成二面角最小值时， 过点作平面与曲面相切时作纵截面，如图：长方形中，    过点A与以C为圆心半径为1的圆相切于点P，与交于点E，则，连接CP， 在中，，所以， 利用平面基本性质作出平面截正方体所形成图形，如图，多边形AMKQN即为所作截面.    因为，所以， 又，所以， 则， 又，且，所以，所以， 则， 又，所以， 由对称性知，， 所以截面周长为 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的难点主要在于截面的确定，根据二面角的概念分析，再结合球与正方体的对称性找到截面的位置，然后根据平面的性质确定即可. 变式1-3．已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面边形（其中）的周长的范围是 . 【答案】 【解析】先根据每条棱所在直线与平面所成的角相等，分析出平面的特征，再根据截面的形状分析对应的截面的周长的取值范围. 【详解】如图所示，因为正方体的棱是三组平行的棱，所以平面只需要和正方体某一个顶点引出的三条棱所成角相同即可； 取顶点，此时三棱锥为正三棱锥，显然与平面所成角相同， 所以平面平面，在棱上取一点，作交于， 同理依次可作出点，依次连接构成六边形， 记此时的六边形平面为，设，所以， ，所以截面的周长为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查正方体中的截面周长的求解，其中涉及到线面角的理解，对学生的分析与几何作图能力要求较高，难度较难. 变式1-4．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案. 【详解】当时，即Q为中点，如图， 可得， 故可得截面为等腰梯形， 由上图当点Q向C移动时，满足，只需在上取点M满足， 即可得截面为四边形，如图， 截面四边形在底面上投影为梯形APCD，面积恒为定值, 故当时，截面面积, 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方体的截面问题，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，属于中档题. 变式1-5．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 类型二、棱柱截面问题 解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系， （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；。 例2．在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解. 【详解】    如图，取的中点M，在上取一点H，使得，连接，如上图， 则，平面， 平面AEF，平面平面； 即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形， 其中， ， 故选：A. 变式2-1．正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为 ；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为 . 【答案】 / 【分析】取的中点，连接，则可得为异面直线EF与直线BC所成角，然后在中求解，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则四边形为截面四边形，然后求解其周长即可. 【详解】取的中点，连接， 因为点E为棱的中点，所以∥，， 所以为异面直线EF与直线BC所成角， 连接，因为平面，平面，所以， 因为为边长是2的正三角形，F为的中点，所以， 所以， ， 所以由余弦定理得， 所以直线EF与直线BC所成角的余弦值为， 连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 所以过点A，E，F的截面为四边形， 因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 过作∥，交于点，则为的中点， 因为∥，所以∽， 所以，所以为的中点，所以， 因为∥，所以∽， 所以，，所以，则， 所以， 在中由余弦定理得 ， 所以， 所以四边形的周长为， 即截面的周长为， 故答案为：，    【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查几何体的截面问题，解题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，考查空间想象能力，属于难题. 变式2-2．在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱于点M，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先结合截面为正方形，借助中位线转化得到的关系，再利用余弦定理分别求解底面对角线，然后由垂直关系及截面正方形，借助长度相等，利用勾股定理建立的方程组，求解转化即得所求比值. 【详解】 如图，设截面分别交，于点P，Q， 连接PQ，BM，设交点，连接，设交点， 由已知截面为正方形，则是，的中点， 底面ABCD为平行四边形，则是，的中点， 又，，则， 则是的中位线，也是四边形的中位线. 设，， 故， 由，得， 化简得（*），且， 由直四棱柱知，平面， 又平面，则 则四边形为直角梯形. 由，得， 在中，由余弦定理得， 解得，同理可得， 如图，在直角梯形中，在CQ上取点S，使， 则. 由，得， 即，化简得， 与（*）联立，解得，， 所以，则， 验证知，此时四边形为为正方形，满足题意. 则． 故选：B． 类型三、锥体、台体截面问题 作出符合题意的截面，利用空间位置关系、几何性质等，必要时采用分割、补形等思想. 例3．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 变式3-1．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】首先取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，连接，证明平面即为所求的截面，再证明四边形是矩形，，矩形面积加三角形面积之和即为所求. 【详解】 取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，依次连接， 可知，即，而， 所以共面，所以共面， 因为底面是边长为的正方形， 所以对角线，， 因为P在底面的射影为正方形的中心，可得面， 因为面， 所以， 因为，，所以， 因为、分别为、的中点， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面即为所求截面. 又因为平面平面，平面，所以， 因为为的中点，可得， 所以， ，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 因为，，，所以平面， 因为平面，可得，所以， 所以四边形是矩形， 所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为. 故答案为：. 变式3-2．在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题可知当球与和相切，且与母线相切时，球半径的最大，求出和的半径，根据截面图构建方程即可求解. 【详解】根据题意，当球与和相切，且与母线相切时，球半径的最大， 轴截面图如下，是边长为的等比三角形， 所以内切球的半径，设球的半径为，球的半径为， ， ， 则，， ，， 则， ， 即. 故答案为：. 变式3-3．在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 . 【答案】 【分析】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，可求得该四棱台的体积为，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时，，.取，的中点，，连接，，可得平面就是截面，求解即可. 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作， 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，. 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，. 取，的中点，，连接，，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面. 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为. 故答案为:. （3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解. 变式3-4．如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 变式3-5．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，. 在上下底面由勾股定理可知，. 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，. 取的中点，连接、，显然有，平面， 平面，所以平面，因此平面就是截面. 显然， 在直角梯形 中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：根据基本不等式求出体积最大值，结合线面平行判定定理判断截面的形状是解题的关键. 变式3-6．在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面截三棱锥所得截面为，给出下列结论： ①截面的形状为正方形； ②截面的面积等于； ③异面直线PA与BC所成角的余弦值为； ④三棱锥外接球的表面积等于． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据三棱锥的几何特征，取的中点为，利用线面垂直的判定定理即可证明截面的形状为正方形，且其面积等于，即①正确，②错误；利用平面向量数量积以及余弦定理可求出异面直线PA与BC所成角的余弦值为，可知③正确；利用垂直关系找出外接球球心位置，计算出半径即可得④正确. 【详解】取的中点为，连接， 因为点分别是棱的中点，所以，，可得； 又，，即； 所以四点共面，且四边形为平行四边形， 取的中点为，连接，如下图所示：    易知，又是等腰直角三角形，且，所以，可得； 又，平面，所以平面； 易知平面，可得； 又，，所以， 且，所以四边形为正方形， 即截面的形状为正方形，所以①正确； 由正方形面积公式可知，四边形的面积为，即②错误； 设，可得， 所以， 易知，， 在中，，所以，可得； 所以， 所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为，即③正确； 易知，，所以可得； 又，且，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； 所以可得外接球球心在上，设，半径为， 则，解得，； 所以三棱锥外接球的表面积等于，即④正确； 所有正确结论的序号是①③④. 故选：C 【点睛】方法点睛：关于球外接几何体的问题，首先根据几何体的结构特征，利用线面垂直判定定理等确定球心位置，再利用半径相等列出等量关系即可计算出半径的大小. 一、填空题 1．已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出过点的长方体的截面，再结合相似三角形求出截面面积. 【详解】在长方体中，连接并延长与的延长线交于点，直线交于，交的延长线于， 连接交于，连接，则五边形即为过点的长方体的截面， 由，为的中点，得是中点，，， 由，是中点，得，则， 则， 等腰底边上的高， 的面积， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，于是∽，同理，∽， ， 因此， 所以所得截面的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件，结合平面的基本事实作出截面多边形是解决本题的关键. 2．在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时， ． 【答案】 【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案. 【详解】根据题意，在平面内，过点作，交于点； 在平面内，过点作，交于点； 在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示， 因为，则，设其相似比为，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则， 即. 又平面，，平面，所以，. 又，则，. 因为，则，则， 因为，所以，即， 同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面， 即四边形为截面图形； 又平面，平面，则， 又，所以. 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：先作平行线作出题中的截面，再证明四边形为符合题意的截面图形，结合线面平行以及线面垂直说明四边形为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，利用二次函数求出最值得解. 3．已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】数形结合，作平面与平面平行，即可解决；令，用表示相关长度，整理得，结合二次函数即可解决. 【详解】取中点，连接，，依题意可得， 又，平面，可知平面， 当点在之间时，作分别交于点， 作分别交于点，连接，则平面与平面平行，得到的截面为五边形， 根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图至多为五边形. 要使截面多边形的面积最大，则当点在之间时， 令，则， 可得， 则， 可得， 所以， 又因为与的夹角为与夹角，而与垂直， 则， 可得， 可知：当时，取最大值. 当点在点时，此时截面即为，又， 当点在点，之间时，截面为与相似的三角形，且截面面积小于， 综上可得截面的面积的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解. 4．已知正方体的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是 . 【答案】 【分析】当点为线段的中点时，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，由此能求出线段的取值范围. 【详解】∵正方体的体积为8，棱长为2. 点在线段上（点异于两点）， 当点为线段的中点(如图（1）)， 可得∥， 平面截正方体所得的截面为四边形， 当时， (如图（2）)， 过作的平行线，交线段内点. 所以截面为四边形. 当时， (如图（3）)， 过作的平行线，交线段外与， 连结交于点，连结交于点. 所以截面为五边形. 所以平面截正方体所得的截面为五边形， 则线段的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 5．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 二、单选题 6．已知分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（    ） ①截面多边形可能是三角形或四边形. ②截面多边形周长的取值范围是. ③截面多边形面积的取值范围是. ④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直. A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断①；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断②；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断③；由③可判断④. 【详解】对于①，当平面过或时，截面为三角形. 易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时， 由对称性可知，此时平面与交于点，且， 此时截面为四边形，①正确； 对于②，设，由余弦定理得， ， 由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和， 当三点共线时取得最小值， 由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值， 所以截面多边形周长的取值范围是，所以②错误； 对于③，记与的交点为，由对称性，， 所以，， 因为， 所以，所以， 记， 则， 因为， 所以 ， 由二次函数性质可知，，即， 所以，③正确； 对于④，由③知，当截面为四边形时，对角线，垂直，所以④正确． 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求. 7．如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方体的性质证明平面，同样由正方体性质知时，截面与棱相交于它们的中点处，计算出，然后从1开始增加，平面逐渐平移，由棱锥平行于底面的截面的性质易得的表达式，，然后确定在时，是常数，与的情形相似可得．从而得出结论． 【详解】如图1，连接， ，平面，平面，则，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理，，平面，所以平面， 因此平面与平面重合或平行， 取的中点，连接，则，， 同理可证平面，由于，，所以三棱锥是正三棱锥， 与平面的交点是的中心， 正方体棱长为，则，， 所以，所以， 由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面从平面平移到平面时，，即， ，，显然，             图1 平面过平面再平移至平面时，如图2，把正方形沿旋转到与正方形在同一平面内，如图3，则共线，由正方形性质得，同理，， 因此此种情形下，截面的周长与截面的周长相等，平移平面，一直到平面位置处，由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到， 综上，的值域是． 故选：D.             图2                                               图3 【点睛】本题考查立体几何中截面的性质，考查线面垂直的判定与性质，解题关系是掌握棱锥的平面于底面的截面的性质，解题方法是利用正方体性质求出截面初始位置（）时，截面周长，然后由棱锥的性质求出（），再通过空间问题平面化的思想（结合对称性）求出时的值，由对称性可得时函数值的取值情况． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何中的截面问题 目录 典例详解 类型一、正方体截面问题 类型二、棱柱截面问题 类型三、锥体、台体截面问题 压轴专练 类型一、正方体截面问题 立体几何图形中有关截面的做法： ①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 ②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点; ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点。 ④面面平行的性质定理。 ⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平而找出棱上的交点; 若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点. 例1．在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 变式1-1．已知正方体的棱长为4，，分别是侧面和侧面的中心，过点的平面与直线垂直，平面截正方体所得的截面记为，则的面积为 . 变式1-2．已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为 .    变式1-3．已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面边形（其中）的周长的范围是 . 变式1-4．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是 ． 变式1-5．在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 类型二、棱柱截面问题 解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系， （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；。 例2．在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 变式2-1．正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为 ；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为 . 变式2-2．在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱于点M，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 类型三、锥体、台体截面问题 作出符合题意的截面，利用空间位置关系、几何性质等，必要时采用分割、补形等思想. 例3．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 变式3-1．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为 . 变式3-2．在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为 ． 变式3-3．在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 . 变式3-4．如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 变式3-5．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（    ） A． B． C． D． 变式3-6．在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面截三棱锥所得截面为，给出下列结论： ①截面的形状为正方形； ②截面的面积等于； ③异面直线PA与BC所成角的余弦值为； ④三棱锥外接球的表面积等于． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 一、填空题 1．已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 . 2．在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时， ． 3．已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 ． 4．已知正方体的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是 . 5．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 二、单选题 6．已知分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（    ） ①截面多边形可能是三角形或四边形. ②截面多边形周长的取值范围是. ③截面多边形面积的取值范围是. ④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直. A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 7．如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$