第2章 简单事件概率（复习讲义）数学浙教版九年级上册

第2章 简单事件概率（复习讲义） 课标要求：从生活实例抽象概率模型，通过推理掌握“等可能性”这一核心概念，培养决策理性； 中考命题：以基础题为主； 备考关键： ✅ 概念零混淆（必然事件P=1，随机事件0＜P＜1）； ✅ 步骤严规范（树状图/列表法需完整列举）； ✅ 应用重情境（实际约束条件不可忽略） 层级 训练重点 典型例题 基础层 单步概率计算、事件分类判断 布袋摸红球概率（3红2白） 进阶层 树状图解决两步实验、游戏公平性分析 修改转盘规则使双方概率相等 拓展层 概率与代数/几何综合（动态点、函数图象） 求点落在y=2x+1上方的概率 知识点 重点归纳 常见易错点 事件分类 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 随机事件：0＜P＜1 混淆“随机事件”与“可能事件”（如“明天下雨”是随机事件） 概率公式 等可能事件： 事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥时，结果总数记为n； 事件A包含其中的结果数（） 未验证等可能性（如转盘分区不等时仍用公式）计算n时遗漏情况 树状图法 步骤：① 分步列实验；② 标每步结果；③ 算路径概率 关键：放回（独立）→ 路径可重复；不放回（依赖）→ 路径减少 不放回实验误用放回模型（如抽两次牌未减少总数） 未列出所有等可能路径 列表法 适用场景：两个步骤的实验（如掷两枚骰子） 优点：清晰呈现所有结果组合 未标注行列对应关系（如行列均为骰子1和骰子2） 对角线处理错误（如“同点数”未标） 频率估计概率 原理：大量重复实验时频率趋近概率 公式：P≈频数/总实验次数 实验次数不足（如仅抛硬币10次）即下结论 混淆频率与概率概念 游戏公平性 判定标准：双方获胜概率相等 解题步骤：① 计算各方概率；② 比较概率值 未计算概率直接判断公平 忽略平局情况（如和为7时无胜负） 几何概率 公式：P=有利区域面积/总面积 适用：连续型随机事件（如点落区域） 未验证均匀分布（如转盘颜色区域不等） 面积计算错误 题型一 概率可能性 【例1】一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 【变式1-1】九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（　　） A．抽到女生的可能性小 B．抽到男生的可能性小 C．抽到女生和男生的可能性一样大 D．抽到女生和男生的可能性大小不能确定 【变式1-2】抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面可能有三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面，这三个事件发生的可能性（填“相等”或“不相等”）　 　 ． 【变式1-3】公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： a.10名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 b.10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 m n （1）写出表中m，n的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于246cm，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 题型二 概率公式计算 【例2】不透明的箱子中有3个红球和2个白球，小球除了颜色其余均相同．现随机从箱子中摸出一个球，这个球是白球的概率为　　 ． 【变式2-1】为响应近视防控宣传教育月活动，某校某班共有40名学生，其中15人近视，25人不近视，班主任随机抽取一名学生分享护眼经验，抽到不近视学生的概率是　　 ． 【变式2-2】口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【变式2-3】某社区组织A、B、C、D这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗． （1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则A小区居民被分在第一批的概率为 　　 ； （2）若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加． ①求A小区被分在第一批的概率； ②求A、B两个小区被分在第一批的概率． 题型三 频率与概率 【例3】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝　　 ，b＝　　 ； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 　 　 （精确到0.1）； （3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【变式3-1】某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 　　 （结果保留小数点后一位）． 排查车辆数n 20 40 100 200 400 1000 能礼让的车辆数m 15 32 82 158 324 800 能礼让的频率 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80 【变式3-3】某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为　　 （精确到0.1）． 题型四 概率与游戏 【例4】骰子是一种正方体玩具，它的六个面上各写有1，2，3，4，5，6，每面写一个数，每个数写一面，且相对两面的两个数的和为7．用七颗骰子投掷后，规定向上的七个面上的数的和是10时甲胜，如果向上的七个面上的数的和是39时则乙胜．则甲乙二人获胜的可能性是（　　） A．甲大 B．乙大 C．同样大 D．无法确定谁大 【变式4-1】哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 　　 （填“公平”或“不公平”）． 【变式4-2】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是 　　 ．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【变式4-3】 2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 题型五 概率综合 【例5】国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，一年过去了，为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　　 人． （2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为　　 度； （3）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率的是多少？ 【变式5-1】甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 【变式5-2】现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一画出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字． （1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一画出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率； （2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一画出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一画出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由． 【变式5-3】某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 （1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图 （2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01） （3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率． （4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 基础巩固通关测 1．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（　　） A． B． C． D． 2．全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是：《射雕英雄传：侠之大者》，《封神第二部：战火西岐》，《哪吒之魔童闹海》，《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A． B． C． D． 3．质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213 口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921 下面四个推断合理的是（　　） A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921 B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920 C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920 D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921 4．有以下四个事件： ①抛一枚匀质硬币，正面朝上； ②掷一枚匀质骰子，所得的点数为3； ③从一副54张扑克牌中任意抽出一张恰好为黑桃； ④从装有1个红球，2个黄球的袋中随意摸出一个球，这两种球除颜色外其他都相同，结果恰好是红球．按概率从小到大顺序排列的结果是（　　） A．①＜②＜③＜④ B．②＜③＜④＜① C．②＜①＜③＜④ D．③＜②＜①＜④ 5．如图，小辰订购鲜花给奶奶过生日，付款时忘了支付密码后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能支付成功的概率为　 　 ． 6．袋子里有7只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，红球的可能性　 　 白球的可能性．（填“大于”“小于”或“等于”） 7．袋里有红、绿、黄三种颜色的球共30个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是0.4，则袋子里绿球有　 　 个． 8．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　 　 （精确到0.1）． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中的次数m 40 60 111 134 175 219 360 投中的频率 0.80 0.60 0.74 0.67 0.70 0.73 0.72 9．主题为“礼让一步，苏城风度”的交通安全宣传在全市开展．为调查机动车在斑马线前礼让行人的情况，某实践小组在某路口进行观测，连续6天的记录数据如下： 机动车数量/辆 120 150 180 160 140 200 礼让车辆数/辆 108 138 166 149 129 184 礼让频率 0.90 0.92 0.92 0.93 0.92 n （1）求表格中n的值． （2）由此数据，估计机动车在该路口礼让行人的概率约为 　 　 ；（结果精确到0.01） （3）若某日通过该路口的机动车达800辆，预计礼让行人的车辆约有多少辆？ 10．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，七（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1260 1500 摸到白球的频数n 60 a 247 365 484 609 摸到白球的频率 0.400 0.42 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请估计：当次数s很大时，摸到的白球的频率将会接近　 　 （精确到0.1）； （3）请估算：摸到红球的概率是　 　 （精确到0.1）； （4）根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值． 能力提升进阶练 1．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（　　） A． B． C． D．1 2．小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A． B． C． D． 3．小明有两根长度分别为4cm和7cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为3cm、6cm、7cm、12cm．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　） A． B． C． D．1 4．如下表，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． a b c d e f g h 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 　 　 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 　 　 ． 5．有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程2有正整数解的概率为 　 　 6．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限的概率为　 　 ． 7．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为　 　 ． 8．集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1﹣20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球．摸前交1元钱且在1﹣﹣20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元． （1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由． （2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 9．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　 　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 10．小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒，如图，一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有木棒的长度2，3，5，8，10，12这6个数字．小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜． （1）小亮获胜的概率是　 　 ； （2）小颖获胜的概率是　 　 ； （3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的； （4）小颖发现，她连续转动转盘10次，都没转到5和8，能不能就说小颖获胜的可能性为0？为什么？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 简单事件概率（复习讲义） 课标要求：从生活实例抽象概率模型，通过推理掌握“等可能性”这一核心概念，培养决策理性； 中考命题：以基础题为主； 备考关键： ✅ 概念零混淆（必然事件P=1，随机事件0＜P＜1）； ✅ 步骤严规范（树状图/列表法需完整列举）； ✅ 应用重情境（实际约束条件不可忽略） 层级 训练重点 典型例题 基础层 单步概率计算、事件分类判断 布袋摸红球概率（3红2白） 进阶层 树状图解决两步实验、游戏公平性分析 修改转盘规则使双方概率相等 拓展层 概率与代数/几何综合（动态点、函数图象） 求点落在y=2x+1上方的概率 知识点 重点归纳 常见易错点 事件分类 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 随机事件：0＜P＜1 混淆“随机事件”与“可能事件”（如“明天下雨”是随机事件） 概率公式 等可能事件： 事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥时，结果总数记为n； 事件A包含其中的结果数（） 未验证等可能性（如转盘分区不等时仍用公式）计算n时遗漏情况 树状图法 步骤：① 分步列实验；② 标每步结果；③ 算路径概率 关键：放回（独立）→ 路径可重复；不放回（依赖）→ 路径减少 不放回实验误用放回模型（如抽两次牌未减少总数） 未列出所有等可能路径 列表法 适用场景：两个步骤的实验（如掷两枚骰子） 优点：清晰呈现所有结果组合 未标注行列对应关系（如行列均为骰子1和骰子2） 对角线处理错误（如“同点数”未标） 频率估计概率 原理：大量重复实验时频率趋近概率 公式：P≈频数/总实验次数 实验次数不足（如仅抛硬币10次）即下结论 混淆频率与概率概念 游戏公平性 判定标准：双方获胜概率相等 解题步骤：① 计算各方概率；② 比较概率值 未计算概率直接判断公平 忽略平局情况（如和为7时无胜负） 几何概率 公式：P=有利区域面积/总面积 适用：连续型随机事件（如点落区域） 未验证均匀分布（如转盘颜色区域不等） 面积计算错误 题型一 概率可能性 【例1】一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 【考点】可能性的大小 【分析】先分别求出摸出三种球的概率，再比较大小求解． 【解答】解：摸出红球的概率为：， 摸出黄球的概率为：， 摸出绿球的概率为：， ∴摸到红球的可能性大， 故选：D． 【点评】本题考查了可能性的大小，会求简单事件的概率是解题的关键． 【变式1-1】九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（　　） A．抽到女生的可能性小 B．抽到男生的可能性小 C．抽到女生和男生的可能性一样大 D．抽到女生和男生的可能性大小不能确定 【考点】可能性的大小 【分析】根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【解答】解：∵九年级一班有16名女生和20名男生， ∴从中随机抽取一名作为代表参加演讲比赛，男生当选的可能性为， 女生当选的可能性为， ∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性． 故选：A． 【点评】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 【变式1-2】抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面可能有三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面，这三个事件发生的可能性（填“相等”或“不相等”）　不相等　 ． 【考点】可能性的大小 【分析】首先利用列举法，可得抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得各概率，继而求得答案． 【解答】解：抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反， ∴P（全是正面），P（一正一反），P（全是反面）， ∴这三个事件发生的可能性不相等， 故答案为：不相等． 【点评】此题考查了列举法求概率的知识．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式1-3】公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： a.10名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 b.10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 m n （1）写出表中m，n的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于246cm，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 【考点】可能性的大小；算术平均数；中位数；众数 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）用样本中满分的8人除以样本总数10人计算出样本中的满分率，估计学校本次测试的满分率也是同样的满分率； （3）计算出甲的平均数和满分率，再计算出乙的平均数和满分率，比较大小即可． 【解答】解：（1）将10个数据从大到小排列：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243， 第5个数是251和第6个数是247，中位数即为（251+247）+2＝249； 247在数据中出现了3次，即众数是247， 故答案为：m＝249，n＝247； （2）由题意得，数据中满分的为8个，即样本中满分率是8+10＝80%，估计总体的满分率即为80%； （3）下次考试甲同学达标满分的可能性更大， 理由：根据题意得：甲的平均数为（248+246+244+248+246）+5＝246.4，满分率为：4+5＝80%； 乙的平均数为（240+256+242+244+246）÷5﹣245.6满分率为：2+5﹣40%； 故平均数甲高，满分率也是甲高，所以下次测试甲达满分的可能性高． 【点评】本题考查了平均数、中位数、众数，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型二 概率公式计算 【例2】不透明的箱子中有3个红球和2个白球，小球除了颜色其余均相同．现随机从箱子中摸出一个球，这个球是白球的概率为　　 ． 【考点】概率公式 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵有3个红球和2个白球，共有5个球， ∴随机从箱子中摸出一个球，这个球是白球的概率为． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式2-1】为响应近视防控宣传教育月活动，某校某班共有40名学生，其中15人近视，25人不近视，班主任随机抽取一名学生分享护眼经验，抽到不近视学生的概率是　　 ． 【考点】概率公式 【分析】直接利用概率计算即可． 【解答】解：抽到不近视学生的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【变式2-2】口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【考点】概率公式 【分析】（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走x个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解出x的值即可． 【解答】解：（1）∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y＝8， ∴x＝y＝4； （2）设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球（4﹣x）个，红球（4+x）个， 根据题意得，， 解得x＝3， 答：取走3个白球． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【变式2-3】某社区组织A、B、C、D这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗． （1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则A小区居民被分在第一批的概率为 　　 ； （2）若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加． ①求A小区被分在第一批的概率； ②求A、B两个小区被分在第一批的概率． 【考点】概率公式 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则A小区居民被分在第一批的概率为1÷4． 故答案为：； （2）画树状图如下： 从树状图可得，共有12种等可能结果，A小区被分在第一批的有6种，A、B两个小区被分在第一批的有2种， ①A小区被分在第一批的概率为； ②A、B两个小区被分在第一批的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 题型三 频率与概率 【例3】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝　0.58　 ，b＝　118　 ； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 　0.6　 （精确到0.1）； （3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【考点】利用频率估计概率 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【解答】解：（1）a＝58÷100＝0.58，b＝200×0.59＝118， 故答案为：0.58，118； （2）由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）15÷0.6﹣15＝10（个）， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【变式3-1】某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是 　0.8　 （结果保留小数点后一位）． 排查车辆数n 20 40 100 200 400 1000 能礼让的车辆数m 15 32 82 158 324 800 能礼让的频率 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近，再由频率估计概率，即可求解． 【解答】解：根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近， ∴能主动给行人让路的概率约是0.8． 故答案为：0.8． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键在于掌握：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【变式3-2】小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 　2400　 ． 【考点】利用频率估计概率 【分析】因为摸到黑球的频率在0.6附近波动，所以摸出黑球的概率为0.6，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程解答即可． 【解答】解：设黑球的个数为x， ∵黑球的频率在0.6附近波动， ∴摸出黑球的概率为0.6，即0.6， 解得x＝2400． 所以可以估计黑球的个数为2400． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 【变式3-3】某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为　0.8　 （精确到0.1）． 【考点】利用频率估计概率 【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，从而得到结论． 【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右， ∴该油菜籽发芽的概率为0.8， 故答案为：0.8． 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 题型四 概率与游戏 【例4】骰子是一种正方体玩具，它的六个面上各写有1，2，3，4，5，6，每面写一个数，每个数写一面，且相对两面的两个数的和为7．用七颗骰子投掷后，规定向上的七个面上的数的和是10时甲胜，如果向上的七个面上的数的和是39时则乙胜．则甲乙二人获胜的可能性是（　　） A．甲大 B．乙大 C．同样大 D．无法确定谁大 【考点】游戏公平性 【分析】根据题意列出和10与和39的所有可能情况，然后再求出各自的概率就可以求出结论． 【解答】解：向上的七个面上的数的和是10的情况有： 1，1，1，1，1，1，4 1，1，1，1，1，2，3 1，1，1，1，2，2，2 向上的七个面上的数的和是39的情况有： 6，6，6，6，6，6，3 6，6，6，6，6，5，4 6，6，6，6，5，5，5 ∴共有6种情况，其中和为10的有3种情况，和为39的有3种情况． ∴P（向上的七个面上的数的和是10），P（向上的七个面上的数的和是39）， ∴P（向上的七个面上的数的和是10）＝P（向上的七个面上的数的和是39）． 故选：C． 【点评】本题考查了列举法求概率的运用，概率大小比较的运用，解答时列举出所有可能情况是难点，正确计算概率是关键． 【变式4-1】哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 　不公平　 （填“公平”或“不公平”）． 【考点】游戏公平性 【分析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得哥哥赢的概率，进而求得弟弟赢的概率，比较即可． 【解答】解：列树状图得： 共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以该游戏对双方不公平． 【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A），注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【变式4-2】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是 　随机　 ．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【考点】游戏公平性 【分析】（1）共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4，所以小明胜的概率，即可求解； （2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平． 【解答】解：（1）共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率， 故小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； （2）这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 而， 所以这个游戏对双方不公平． 【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 【变式4-3】 2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【考点】游戏公平性 【分析】（1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据“用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的”列出关于x的方程，解之即可得出答案． 【解答】解：（1）∵红球有2x个，白球有3x个， ∴P（红球），P（白球）， ∴P（红球）＜P（白球）， ∴这个办法不公平； （2）∵2个白球换成红球后，红球有（2x+2）个，白球有（3x﹣2）个， ∴P（红球），P（白球），x为正整数， ∵用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的， ∴2x+2＝3x﹣2， 解得x＝4， ∴袋子中原来有红球8个，白球12个． 【点评】此题考查了概率公式和游戏公平性问题．注意判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 题型五 概率综合 【例5】国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，一年过去了，为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　300　 人． （2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为　108　 度； （3）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率的是多少？ 【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数； （2）根据条形统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据可以求得从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率． 【解答】解：（1）由题意可得， 被调查的学生有：60÷20%＝300（人）， 故答案为：300； （2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为：360°108°， 故答案为：108； （3）由题意可得， 从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是：0.4， 即从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是0.4． 【点评】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 【变式5-1】甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可； （2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果． 【解答】解：（1）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3）， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种； （2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种， ∴P（甲）＜P（乙）， 则该游戏对甲乙双方不公平． 【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【变式5-2】现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一画出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字． （1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一画出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率； （2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一画出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一画出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】（1）列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可． （2）概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【解答】解：（1）如图所示： 共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P（数字之积为6）． （2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率，小王赢的概率，故小王赢的可能性更大． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式5-3】某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 （1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图 （2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01） （3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率． （4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表；频数（率）分布折线图 【分析】（1）利用表格或者折线图即可； （2）用样本估计总体的思想解决问题； （3）根据概率公式计算即可； （4）构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）如图， （2）由题意，这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是0.95． （3）P（摸出一个球是黄球）． （4）设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，则，解得x＝5． 答：取出了5个黑球． 【点评】本题考查频数分布表、频数分布折线图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 基础巩固通关测 1．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式；七巧板 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率． 故选：D． 【点评】本题考查概率公式以及七巧板，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 2．全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是：《射雕英雄传：侠之大者》，《封神第二部：战火西岐》，《哪吒之魔童闹海》，《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式 【分析】直接利用概率公式可得答案． 【解答】解：由题意可得，小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是． 故选：B． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 3．质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213 口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921 下面四个推断合理的是（　　） A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921 B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920 C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920 D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921 【考点】利用频率估计概率 【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可． 【解答】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近， 所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920． 故选：C． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，难度不大． 4．有以下四个事件： ①抛一枚匀质硬币，正面朝上； ②掷一枚匀质骰子，所得的点数为3； ③从一副54张扑克牌中任意抽出一张恰好为黑桃； ④从装有1个红球，2个黄球的袋中随意摸出一个球，这两种球除颜色外其他都相同，结果恰好是红球．按概率从小到大顺序排列的结果是（　　） A．①＜②＜③＜④ B．②＜③＜④＜① C．②＜①＜③＜④ D．③＜②＜①＜④ 【考点】概率公式 【分析】分别根据概率公式求出每个选项的概率，再进行比较即可． 【解答】解：∵①抛一枚匀质硬币，正面朝上的概率为：； ②抛一枚匀质骰子，所得的点数为3的概率为：； ③从一副54张扑克牌中任意抽一张恰好为黑桃的概率为：； ④从装有1个红球、2个黄球的袋中随意摸出一个球，这两种球除颜色外其他都相同，结果恰好是红球的概率为：． ∴②＜③＜④＜①， 故选：B． 【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是根据概率公式来解答． 5．如图，小辰订购鲜花给奶奶过生日，付款时忘了支付密码后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能支付成功的概率为　　 ． 【考点】概率公式 【分析】由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【解答】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6．袋子里有7只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，红球的可能性　大于　 白球的可能性．（填“大于”“小于”或“等于”） 【考点】可能性的大小 【分析】根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”直接确定答案即可． 【解答】解：∵袋子里有7只红球，3只白球， ∴红球的数量大于白球的数量， ∴从中任意摸出1只球，是红球的可能性大于白球的可能性． 故答案为：大于． 【点评】本题考查了可能性的大小，解题的关键掌握可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 7．袋里有红、绿、黄三种颜色的球共30个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是0.4，则袋子里绿球有　12　 个． 【考点】概率公式 【分析】利用概率公式计算即可． 【解答】解：∵任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是0.4， ∴袋子里绿球有30×0.4＝12（个）． 故答案为：12． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 8．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　0.7　 （精确到0.1）． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中的次数m 40 60 111 134 175 219 360 投中的频率 0.80 0.60 0.74 0.67 0.70 0.73 0.72 【考点】利用频率估计概率 【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解． 【解答】解：观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.7附近， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为0.7． 故答案为：0.7． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 9．主题为“礼让一步，苏城风度”的交通安全宣传在全市开展．为调查机动车在斑马线前礼让行人的情况，某实践小组在某路口进行观测，连续6天的记录数据如下： 机动车数量/辆 120 150 180 160 140 200 礼让车辆数/辆 108 138 166 149 129 184 礼让频率 0.90 0.92 0.92 0.93 0.92 n （1）求表格中n的值． （2）由此数据，估计机动车在该路口礼让行人的概率约为 　0.92　 ；（结果精确到0.01） （3）若某日通过该路口的机动车达800辆，预计礼让行人的车辆约有多少辆？ 【考点】利用频率估计概率 【分析】（1）用184÷200即可求出n的值； （2）根据表格数据，随着抽查车辆数的增加，能礼让的频率逐渐稳定在0.92附近，从而得出答案； （3）利用总数乘样本中的概率求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，n＝184÷200＝0.92； （2）根据表格数据，随着抽查车辆数的增加，能礼让的频率逐渐稳定在0.92附近，则可估计经过该斑马线的机动车驾驶员“礼让行人”的概率为0.92， 故答案为：0.92； （3）800×0.92＝736（辆）， 答：预计礼让行人的车辆约有736辆． 【点评】本题考查用频率估计概率、用样本估计总体，正确估计概率值是解答关键． 10．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，七（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1260 1500 摸到白球的频数n 60 a 247 365 484 609 摸到白球的频率 0.400 0.42 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的a＝　126　 ，b＝　0.406　 ； （2）请估计：当次数s很大时，摸到的白球的频率将会接近　0.4　 （精确到0.1）； （3）请估算：摸到红球的概率是　0.6　 （精确到0.1）； （4）根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值． 【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表 【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a、b的值即可； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右； （3）摸到红球的概率为1﹣0.4＝0.6； （4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可． 【解答】解：（1）a＝300×0.42＝126，b＝609÷1500＝0.406； 故答案为：126，0.406； （2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40； 故答案为：0.4； （3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6； 故答案为：0.6； （4）设红球有x个，根据题意得： 解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解， 【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1． 能力提升进阶练 1．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（　　） A． B． C． D．1 【考点】概率公式；全等三角形的判定 【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是， 故选：B． 【点评】本题主要考查概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 2．小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【解答】解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学4页， ∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为． 故选：B． 【点评】题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 3．小明有两根长度分别为4cm和7cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为3cm、6cm、7cm、12cm．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　） A． B． C． D．1 【考点】概率公式；三角形三边关系 【分析】根据三角形的三边关系得出恰好能够组成一个三角形的结果有2种，再利用概率公式求解即可． 【解答】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好能够组成一个三角形的结果有2种，即6cm、7cm， ∴恰好能够组成一个三角形的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式和三角形的三边关系是解题的关键． 4．如下表，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． a b c d e f g h 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 　乙　 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 　e、f　 ． 【考点】概率公式 【分析】（1）由于甲首次取走写有b、c、d的三个球，那么剩下a、e、f、g、h，而乙首次也取走三个球，但必须相邻，由此分类讨论即可加解决问题； （2）由于甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、h，而乙可以取的球分为①若乙取三个球；②若乙取两个球：在这两个前提之下讨论解决问题． 【解答】解：（1）∵甲首次取走写有b、c、d的三个球， ∴还剩下a、e、f、g、h， 又∵乙首次也取走三个球，但必须相邻， ∴乙可以取e、f、g或f、g、h， 若乙取e、f、g只剩下a、h， ∵它们不相邻， ∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜； 同理，若乙取f、g、h，只剩下a、e， ∵它们不相邻， ∴甲只能拿走一个， 故乙拿走最后的一个，故乙胜； 故答案为：乙． （2）∵甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、h， ①若乙取三个球， 若乙取c、d、e或f、g、h，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜； 若乙取d、e、f，此时甲取g，则c、h不相邻，则甲胜； 若取e、f、g，此时甲取d，则ch不相邻，则甲胜； ②若乙取两个球： 若乙取c、d，此时甲取f、g，那么剩下e、h，不相邻，则甲胜； 若乙取d、e，此时甲取f、g，则c、h不相邻，则甲胜； 若乙取e、f， 此时甲取c、d或g、h，则乙胜； 若甲c或d，那么乙取g或h，则乙胜； 若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下两个球不相邻，则乙胜； 因此，乙一定要获胜，那么它首次取e、f． 故答案为：e、f． 【点评】本题主要考查了概率公式以及逻辑推理与论证，同时也利用了分类讨论的思想，比较麻烦，对于学生的能力要求比较高． 5．有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程2有正整数解的概率为 　　 【考点】概率公式；分式方程的解 【分析】易得分式方程的解，看所给6个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：解分式方程得：x， ∵分式方程的解为正整数， ∴2﹣a＞0， ∴a＜2， ∴a＝0，1， ∵分式方程的解为正整数， 当a＝1时，x＝2不合题意， ∴a＝0， ∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 6．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限的概率为　　 ． 【考点】概率公式；分式方程的解；一次函数的性质 【分析】直接利用分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质得出m可能的取值，进而得出答案． 【解答】解：解分式方程得：x＝﹣m﹣3， ∵方程的解为负数， ∴﹣m﹣3＜0且﹣m﹣3≠﹣1， 解得：m＞﹣3且m≠﹣2， 又∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象不经过第一象限， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3， 则﹣3＜m＜3且m≠﹣2， 在﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中符合﹣3＜m＜3且m≠﹣2的有﹣1，0，1，2这4个数， ∴使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率公式以及分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质，熟练应用分式方程有解的意义得出k的值是解题关键． 7．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为　　 ． 【考点】概率公式；解一元一次不等式组 【分析】由关于x的不等式组有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：， 由①得：x≥3， 由②得：x， ∵关于x的不等式组有解， ∴3， 解得：a＞5， ∴使关于x的不等式组有解的概率为：． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 8．集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1﹣20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球．摸前交1元钱且在1﹣﹣20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元． （1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由． （2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 【考点】游戏公平性 【分析】（1）求出概率，即可说明；（2）求出理论上的收益与损失，再比较． 【解答】解：（1）P（摸到红球）＝P（摸到同号球），故不利； （2）每次的平均收益为（5+10）﹣10，故每次平均损失元． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 9．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【考点】利用频率估计概率 【分析】（1）根据题意容易得出结果； （2）由60×0.25＝15，60﹣15＝45，即可得出结果； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25； 故答案为：0.25； （2）60×0.25＝15，60﹣15＝45； 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝15； 经检验x＝15是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【点评】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中． 10．小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒，如图，一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有木棒的长度2，3，5，8，10，12这6个数字．小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜． （1）小亮获胜的概率是　　 ； （2）小颖获胜的概率是　　 ； （3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的； （4）小颖发现，她连续转动转盘10次，都没转到5和8，能不能就说小颖获胜的可能性为0？为什么？ 【考点】游戏公平性；三角形三边关系；等腰三角形的判定；概率公式 【分析】（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，则3＜x＜13，由在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，利用概率公式计算可得； （2）由2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，利用概率公式计算可得； （3）只要是两人获胜的概率相等即可得； （4）由随机事件的可能性大小解答即可得． 【解答】解：（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x， 则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13， ∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个， ∴小亮获胜的概率是， 故答案为：； （2）∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个， ∴小颖获胜的概率是； （3）小亮转动转盘一次，停止后指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜； 小颖转动转盘一次，停止后指针指向的数字为偶数，则小颖获胜； （4）不能， 她连续转动转盘10次，都没转到5和8，只是说明可能性小，但并不一定为0． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$