专题05 基本不等式证明以及柯西、权方和不等式的秒杀应用（压轴题4大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题05 基本不等式证明以及柯西、权方和不等式的秒杀应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、利用基本不等式证明 1 类型二、二维柯西不等式 6 类型三、三维柯西不等式 10 类型四、权方和不等式 15 压轴专练 19 类型一、利用基本不等式证明 基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 一、解答题 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论； （2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）已知，且， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，证毕； （2）因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 2．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）已知，，.求证：. （2）已知正数满足，求的最小值 【答案】（1）证明见解析；（2）18 【分析】（1）由基本不等式的乘“1”法得到即可； （2）先将条件等式变形为，再利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）由题意可得， 所以， 当且仅当时取等号； （2）由可， 即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为18. 6．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设、、、为正实数，证明不等式：； （2）若正实数、满足：，求的最小值； （3）若，，当时，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【分析】（1）只需证明即可，不等式左边展开后结合基本不等式即可得证； （2）直接由（1）中结论即可求解； （3）结合条件等式对目标式子进行变形可得，然后由基本不等式即可求解. 【详解】（1）设、、、为正实数， 则， 故，等号成立当且仅当； （2）由（1）可知，， 等号成立当且仅当， 所以的最小值为； （3） ， 等号成立当且仅当或， 所以的最大值为. 类型二、二维柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思 3、二维形式的柯西不等式的变式 一、单选题 1．设，且，则的最小值为 A． B．9 C．10 D．0 【答案】B 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】（x2）（y2）≥（x）2＝9． 当且仅当xy即xy= 时取等号． 故选B． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题． 2．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可. 【详解】解:利用柯西不等式，得, ， 解得. 故选:B 【点睛】本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式. 3．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由得，运用柯西不等式有，进而得解. 【详解】解：实数x、y满足， ， ， ， 当且仅当时取等号， 的最小值是. 故选：A. 【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题. 4．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值. 【详解】由题意，， 当且仅当时等号成立， 当，时， 故的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题. 二、填空题 5．已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】由柯西不等式的二元形式即可求得最小值. 【详解】由柯西不等式 而，所以时等号成立， 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知，是否存在正实数，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，比较与的大小并说明理由； (3)利用（2）的结论解决下面问题：已知，均为正数，且，求的最大值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由基本不等式说明即可； （2）用作差法比较大小即可； （3）由（2）的结论得，即可求解． 【详解】（1）不存在，∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴不存在、使得． （2），证明如下： ， 当且仅当时等号成立， ∴． （3）由（1）得， ∴， ∴， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最大值为． 7．设实数，满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由柯西不等式（1），可以通过构造作为一个因式而得到证明． 【详解】由柯西不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 类型三、三维柯西不等式 ， 当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 一、单选题 1．已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用柯西不等式即可求解. 【详解】由柯西不等式可得： ， 即 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 2．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 3．已知，则的取最小值时，为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用柯西不等式求出的最小值，从而可求出，进而可求出的值 【详解】由柯西不等式得： 则．则根据等号成立条件知，，， 所以 故选：B 4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可得，即求. 【详解】解：由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 二、填空题 5．已知、、，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用柯西不等式可求得的最小值. 【详解】因为、、，且满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 6．已知为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】36 【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的条件． 【详解】由柯西不等式得 当且仅当，即，，时，等号成立； 所以当，，时，取得最小值36． 故答案为：36. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 三、解答题 8．（2025高一·全国·专题练习）设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由三维形式的柯西不等式知： ． ，， 当且仅当，即，时，取最小值． （2）由柯西不等式知： ， 所以． 9．（2025高一·全国·专题练习）设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． 类型四、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 注：1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 一、单选题 1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可求最小值. 【详解】根据柯西不等式，有 ， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 二、填空题 2．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 3．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 4．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用基本不等式或权方和不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】（1）方法一：∵，，∴， ∴，即， 同理可的，， 将以上各式相加得：，即. 当且仅当时，取等号. 方法二：，，， 由权方和不等式可得：， 当且仅当，即时，取等号. 方法三：，，， 由柯西不等式可得： ， ∴ ， 当且仅当时，取等号. （2）方法一：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号. 方法二：∵，，， 由权方和不等式可得：， ∴ 当且仅当时，取等号. 方法三：∵，，， 由柯西不等式可得： ，整理得， 当且仅当时，取等号. 一、单选题 1．实数，，，满足，，那么的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据柯西不得式，直接计算结果. 【详解】由柯西不等式 等号成立的条件是 ， 所以的最大值是. 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型. 2．已知、，，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用柯西不等式可求得的最大值. 【详解】，由柯西不等式可得，即，. 当且仅当，时，取得最大值. 因此，的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题. 3．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题. 4．已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由,根据三维柯西不等式可得的最小值. 【详解】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以 所以，当且仅当时取等, 所以的最小值为：2 故选：C 5．已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值. 【详解】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题. 二、填空题 6．（23-24高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 7．已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 8．已知，，均为非负数，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意得到，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为，，均为非负数，且，则， 所以由柯西不等式可得： ， 所以； 当且仅当，即， 由解得：， 即时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型. 9．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【分析】运用柯西不等式计算即可. 【详解】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 11．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知 ，，则 的最小值为 ． 【答案】10 【分析】利用已知条件将，化简为，然后利用柯西不等式求解最小值即可． 【详解】由,得 所以 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强. 三、解答题 12．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案； （2）变换，展开利用均值不等式即可证明. 【详解】（1）因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； （2）证明： ， 当且仅当，即时取等号，所以. 13．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）由基本不等式即可直接求证； （2）由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，，且，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故，当且仅当时，等号成立. （2）解：因为，所以. 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是16. 14．（2024·四川成都·二模）已知. (1)证明：； (2)已知，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合作差比较法，即可求解； （2）由（1）得，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：由， 所以，当且仅当时取等号. （2）解：由（1）可得，所以，即，当且仅当时取等号， 又由，解得或. 15．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 【答案】(1)李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确，理由见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）李雷用了2次基本不等式，需判断2次等号成立的条件是否成立； （2）（ⅰ）利用基本不等式即可证明；（ⅱ）由条件变形为，再将转化为关于的式子，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中用了2次基本不等式，一次是，等号成立的条件是，，即 第二次是，等号成立的条件是，，即， 这与矛盾，所以两根等号不能同时取到，所以最小值也不正确； （2）（ⅰ）由基本不等式可知，，，， 所以， 即 等号成立的条件是当且仅当，即时，等号成立， 所以 （ⅱ）由已知，且， 则，即， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为 【点睛】关键点点睛：本题的关键是掌握基本不等式的条件“一正，二定，三相等”，最后一问的关键是转化思想的应用. 16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)27 【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明； （2）首先由柯西不等式证明，再构造柯西不等式，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，故． （2）由柯西不等式得， 当且仅当时上式等号成立，所以． 再由柯西不等式得， 所以， 当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27． 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式变形为，再利用基本不等式， （2）对已知条件两边同除可得，再利用柯西不等式求证. 【详解】（1）由均值不等式可知，即，（当且仅当时，“=”成立）. 整理得，故的最小值为4． （2）由（1）知，即证，由可得， 即有， 由柯西不等式可知， 取等条件为，即．故， 即：得证. 18．已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）运用基本不等式证明即可； （2）构造，，，采用叠加法即可证明. 【详解】（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，则， 同理由可得， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为x，y，，所以，，， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为x，y，，且，所以，， 所以，，所以． 【点睛】本题第（2）问通过，，相加得到，这种方法为叠加法，叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 19．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解； （2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解. 【详解】 解：（1）由题意，令，解得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由题意，令，可得， 因为，可得，即， 又由柯西不等式，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以实数的最大值为. 20．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，最小值为 (3)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得，不等式相加即可完成证明； （2）先证明不等式，然后根据可证明，再将原式变形为结合证明的结论可计算出最小值； （3）先通过换元令，然后将不等式左边各部分利用基本不等式可变形为，相加即可完成证明，注意等号不可取. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 【点睛】结论点睛：当均大于时，，当且仅当时取等号；当均大于时，，当且仅当时取等号. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 基本不等式证明以及柯西、权方和不等式的秒杀应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、利用基本不等式证明 1 类型二、二维柯西不等式 2 类型三、三维柯西不等式 4 类型四、权方和不等式 5 压轴专练 7 类型一、利用基本不等式证明 基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 一、解答题 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 2．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证： (1)； (2)． 4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）已知，，.求证：. （2）已知正数满足，求的最小值 6．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设、、、为正实数，证明不等式：； （2）若正实数、满足：，求的最小值； （3）若，，当时，求的最大值. 类型二、二维柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思 3、二维形式的柯西不等式的变式 一、单选题 1．设，且，则的最小值为 A． B．9 C．10 D．0 2．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 4．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 二、填空题 5．已知正实数满足，则的最小值为 ． 三、解答题 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知，是否存在正实数，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，比较与的大小并说明理由； (3)利用（2）的结论解决下面问题：已知，均为正数，且，求的最大值． 7．设实数，满足，求证：． 类型三、三维柯西不等式 ， 当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 一、单选题 1．已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．已知，则的取最小值时，为（    ） A． B． C．3 D． 4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 二、填空题 5．已知、、，且满足，则的最小值为 . 6．已知为正实数，且，则的最小值为 ． 7．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 三、解答题 8．（2025高一·全国·专题练习）设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 9．（2025高一·全国·专题练习）设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 类型四、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 注：1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 一、单选题 1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 二、填空题 2．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 3．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为 . 4．已知正数，，满足，则的最小值为 三、解答题 5．（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 一、单选题 1．实数，，，满足，，那么的最大值为（    ）． A． B． C． D． 2．已知、，，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 4．已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 二、填空题 6．（23-24高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 7．已知，求的最小值为 8．已知，，均为非负数，且，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知 ，，则 的最小值为 ． 三、解答题 12．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 13．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 14．（2024·四川成都·二模）已知. (1)证明：； (2)已知，，求的最小值. 15．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 18．已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 19．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 20．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$