专题06 一元二次不等式中的参数问题（含分类讨论）（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题06 一元二次不等式中的参数问题（含分类讨论） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、根与系数关系和一元二次不等式 2 类型二、按二次项系数的符号分类 6 类型三、按方程的根、的大小分类 8 类型四、按判别式的符号分类 11 类型五、分类讨论综合问题 14 类型六、整数解问题 17 压轴专练 21 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 类型一、根与系数关系和一元二次不等式 1、一元二次方程求根公式 的根为： 2、韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【详解】令， 则由韦达定理可得，故. 故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 4．（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A 5．（24-25高一上·贵州毕节·月考）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，及根与系数的关系，求出，从而求出不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， 和是的解， ， 解得， ， 整理的， ， 故不等式的解集为：， 故答案为：B. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 8．（24-25高一上·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 类型二、按二次项系数的符号分类 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【详解】原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 二、多选题 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 三、填空题 3．（24-25高一上·北京·月考）若，则关于的不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】解出方程的两根，即可得解不等式的解集. 【详解】因为，方程的两根为和， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 类型三、按方程的根、的大小分类 一、解答题 1．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. （2）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. 2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可. 【详解】不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得，， 当时，解不等式得，， ∴当时，解集为， 当时，解集为. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 4．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式即可； （2）由题意得方程的两根为1和2，利用韦达定理和判别式求解； （3）分类讨论解一元二次不等式即可． 【详解】（1）当时，不等式为， ∴，解得或， ∴不等式的解集为或． （2）不等式，即， ∵不等式的解集为， ∴方程的两根为1和2， ∴，解得． （3）不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 5．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知关于的不等式. (1)当时，求关于的不等式的解集; (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)或. (2)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式，计算可得； （2）讨论函数开口方向，两根的大小关系可得答案. 【详解】（1）解:当时，不等式为或， 当时，不等式的解集是或. （2）当时，由， 可得， 当时，不等式为； 当时，或; 当时，或. 综上，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集是. 类型四、按判别式的符号分类 一、解答题 1．解下列关于的不等式：（）； 【答案】答案见解析 【分析】分别研究、、时不等式的解集即可. 【详解】， 当时，，无实数解， 当时，，的无实数解， 当时，，的解为， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 2．解关于实数的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类讨论求解. 【详解】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 4．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，由，不等式的解集是. （2）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （3）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （4）当时，因为， 方程的两相等根为，不等式的解集是. （5）当时，因为， 方程无实根，所以不等式的解集是. 综上所述： 当时， 不等式的解集是. 当时， 不等式的解集是. 当时，不等式的解集是. 当时，不等式的解集是；. 当时， 不等式的解集是. 类型五、分类讨论综合问题 一、解答题 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 2．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 3．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可. （2）由一元二次不等式恒成立求出的范围. （3）分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. （2）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. （3）不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 类型六、整数解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 2．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【详解】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏连云港·月考）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解两个不等式，就第二个含参的不等式分类讨论其解集，借助于数轴表示即可求得参数的范围. 【详解】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高一上·陕西西安·月考）设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 . 【答案】或 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，利用解一元二次不等式结合题意验证，即可求得答案. 【详解】若，则原不等式为，即，原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故. 设，其图象为抛物线， 由题意可知此抛物线开口向下才能满足条件，故. 因为0为其中一个解，所以，即， 所以，又，故或. 若，则不等式为，解得， 因为为整数，所以，符合题意； 若，则不等式为，解得3， 因为为整数，所以，符合题意， 所以的取值是 或， 故答案为：或. 6．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分为，，，四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，方程有两个不同的实数根，进而求解出方程的两个解，再根据的不同取值范围，讨论两根的分布情况，从而得出结果. 【详解】恰有两个整数解   方程有两个不相等的实数根 ，解得，，且方程的两根可写为 时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意； 时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意； 时，，. 当时，，即，解得，; 当时，不等式最多一个整数解，不合题意. 综上，. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期中）若不等式的解集是或，则a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】是方程的两个根，由韦达定理得到答案. 【详解】由题意得是方程的两个根， 故，解得. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集为，则（    ） A．或1 B．1 C．或1 D．或或1 【答案】B 【分析】将和5代入方程，求解即可. 【详解】解：由题意知方程的实数根为和5， 代入得，解得. 故选：B. 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】∵， ∴，又， 所以不等式的解为或． 故选：C． 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 6．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的解集，得到，，，进而可求解； 【详解】∵不等式的解集为或， 可得,是方程的两根， 由韦达定理可得： ，，且， 所以的解集，即， 所以解集为， 故选：A. 7．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 8．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故选：C 9．（24-25高一上·山东泰安·月考）关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】整理可得，分、和三种情况解不等式，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，即为， 令，解得或，且， 若，不等式的解集为， 由题意可得：； 若，不等式的解集为，不合题意； 若，不等式的解集为， 由题意可得：，解得； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故选：B. 10．（24-25高一上·河南驻马店·月考）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 故选：A 二、填空题 11．（24-25高一上·安徽合肥·期中）关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有两个整数，从而得到不等式，求出答案. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有2个，则有且有，故有， 令即得， 故不等式的解集为， 因为，所以， 所以解集中恰有两个整数，可得，解得． 故答案为：． 12．（23-24高一上·四川成都·月考）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，对于不等式，按照的取值进行分类比较两根的大小，求得不等式的解集，再根据题意，借助于数轴表示即可求出的取值范围. 【详解】由可得，解得或， 由可得（*）. ① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意； ② 若，即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，故，解得； ③ 若， 即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，则，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 13．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）分，和讨论即可； （2）计算得，分和或讨论即可； （3）因式分解得，分 ，和讨论即可； （4）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 14．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知不等式． (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，，解不等式，得到答案； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【详解】（1）当时，，解得或， 故该不等式的解集为或； （2）， 当时，，解得； 若，则的两根分别为和3， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，不等式解集为或； 当时，，不等式解集为或； 综上，时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为或； 时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 15．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于x的不等式.当时，求此不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】先根据二次项系数进行分大类，再对时，根据方程的根的大小进行分小类，逐一求解不等式即得. 【详解】当时，即为，解得； 当时，由方程，解得或 当时，即为，解得 当时，即为， ① 若，即时，解得或； ② 若，即时，解得或； ③ 若，即时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 17．解下列关于的不等式的解集 (1)（）. (2)（）. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由求根公式求出方程的两根，分和两种情况讨论即可. （2）首先讨论时的情形，然后由求根公式求出方程的两根，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）方程： 且 解得方程两根：； 当时，原不等式的解集为： 或； 当时，原不等式的解集为： 综上所述, 当时，原不等式的解集为： 或； 当时，原不等式的解集为： （2）当时，，∴，则的解集为. 当时，解，得， ①当时，，则的解集为. ②当时，（1），即，则可化简为，此时不等式无解； （2），即，则的解集为； （3），即，则的解集为； 综上：（1）时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当时，无解； （4）当时，解集为； （5）当时，解集为. 18．（23-24高一上·浙江金华·月考）（1）已知关于的不等式的解集是，求的解集； （2）求关于的不等式 的解集. 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）利用韦达定理得，代入化简即可解出不等式； （2）分类讨论即可. 【详解】（1）由题意知，则有 代入不等式, 得 . 即 , 解得或， 所以所求不等式的解集为. （2）①当时，不等式为，解得，则此时解集为， ②当时，令，， （i）若，即时，此时不等式解集为， （ii）若，即时，， 解得，则此时不等式解集为， ③当时， （i）若，即时，此时不等式解集为， （ii）若，即时，此时不等式为， 解集为， （iii）若，即时，则不等式解集为. 综上所述，时，不等式解集为； 时，则不等式解集为， 时，则不等式解集为， 时，则不等式解集为， 时，此时不等式解集为. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次不等式中的参数问题（含分类讨论） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、根与系数关系和一元二次不等式 2 类型二、按二次项系数的符号分类 3 类型三、按方程的根、的大小分类 4 类型四、按判别式的符号分类 5 类型五、分类讨论综合问题 6 类型六、整数解问题 6 压轴专练 7 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 类型一、根与系数关系和一元二次不等式 1、一元二次方程求根公式 的根为： 2、韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州毕节·月考）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 8．（24-25高一上·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 类型二、按二次项系数的符号分类 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（24-25高一上·北京·月考）若，则关于的不等式的解集为 . 类型三、按方程的根、的大小分类 一、解答题 1．解下列不等式： (1)； (2)． 2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 4．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式 5．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知关于的不等式. (1)当时，求关于的不等式的解集; (2)当时，求关于的不等式的解集. 类型四、按判别式的符号分类 一、解答题 1．解下列关于的不等式：（）； 2．解关于实数的不等式：． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 4．解关于x的不等式. 类型五、分类讨论综合问题 一、解答题 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 2．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 3．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 类型六、整数解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏连云港·月考）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一上·陕西西安·月考）设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 . 6．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期中）若不等式的解集是或，则a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集为，则（    ） A．或1 B．1 C．或1 D．或或1 3．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东泰安·月考）关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 10．（24-25高一上·河南驻马店·月考）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．（24-25高一上·安徽合肥·期中）关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是 . 12．（23-24高一上·四川成都·月考）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 三、解答题 13．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 14．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知不等式． (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集． 15．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于x的不等式.当时，求此不等式的解集. 17．解下列关于的不等式的解集 (1)（）. (2)（）. 18．（23-24高一上·浙江金华·月考）（1）已知关于的不等式的解集是，求的解集； （2）求关于的不等式 的解集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$