4.2 第2课时一次数与正比例函数 教案2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该教案聚焦一次函数与正比例函数的概念、关系及应用，通过知识链接复习函数定义与表示方法，结合钟表秒针运动情境导入，衔接旧知引出新知，搭建学习支架。 以汽车耗油、工人收入等实际情境驱动探究，引导抽象概念，培养抽象能力与模型意识。含参数函数判断等例题强化运算与推理，配套课件和PPT辅助教学，提升学生应用意识，方便教师高效授课。

4.2　第2课时 一次函数与正比例函数 1.通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用，发展学生的抽象思维能力、数学建模思想. 2.能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想. 3.能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题，培养运算能力和应用能力. 重点：一次函数、正比例函数的定义及解析式的特点. 难点：一次函数与正比例函数的关系. 知识链接 1.什么是函数？ 2.函数有哪些表示方法？ 创设情境——见配套课件 　　生活中，我们常常见到各式各样的钟表.时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min…… 那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？ 探究点一：一次函数与正比例函数的概念 某辆汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶50km耗油9L. （1）完成下表： 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量y/L 100 91 82 73 64 55 （2）写出x与y之间的关系.　y＝100－x. 思考：上述问题中得到的关系式有什么共同特点？写出一个具有这种特点的式子. 总结：若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数. 下列y关于x的函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ （1）y＝－x－4；　　　　（2）y＝5x2－6；　　　　（3）y＝2πx； （4）y＝－； （5）y＝； （6）y＝8x2＋x（1－8x）. 解：（1）是一次函数，不是正比例函数.（2）不是一次函数，也不是正比例函数.（3）是一次函数，也是正比例函数.（4）是一次函数，也是正比例函数.（5）不是一次函数，也不是正比例函数.（6）是一次函数，也是正比例函数. 【针对训练】 已知函数y＝（m－5）＋m＋1（m为常数）. （1）若它是一次函数，求m的值； （2）若它是正比例函数，求m的值. 解：（1）因为y＝（m－5）＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0.所以m＝±5且m≠5.所以m＝－5.所以若该函数为一次函数，则m的值为－5. （2）因为y＝（m－5）＋m＋1是正比例函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1.则这样的m不存在，所以函数y＝（m－5）＋m＋1不可能为正比例函数. 探究点二：列一次函数关系式 　　某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个零件，增加收入1.5元.写出该工人一天的收入y（元）与他生产的零件x（个）的函数关系式.　y＝1.5x－2. 总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解. 某中学要添置某种教学仪器，有两种方案可选择.方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元.设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元.分别求出y1，y2关于x的函数关系式. y1＝8x，y2＝4x＋120. 【针对训练】写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数. （1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系； （2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系. 解：（1）由题意得y＝2.5x，y是x的一次函数，且是正比例函数. （2）由题意得y＝πx2，y与x不是一次函数，也不是正比例函数. 1.下列函数中，是正比例函数的是（　A　） A.y＝－8x B.y＝－ C.y＝5x2＋6 D.y＝－0.5x－1 2.某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为　V＝10＋20t　，该水池注满水需　4　h. 3.如图，△ABC的边BC长为10cm，BC边上的高为6cm，D点在BC上运动.设BD长为xcm，则△ACD的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数关系式为　y＝30－3x　，此函数是　一次　函数（填“正比例”或“一次”）. 4.已知函数y＝（m－1）x＋1－3m. （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）当m为何值时，y是x的正比例函数？ 解：（1）由题意得m－1≠0，所以m≠1. （2）由题意得m－1≠0且1－3m＝0，所以m＝. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 一次函数 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$