精品解析：江西省南昌市麻丘高级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学素养测试卷 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. 0.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A． ，计算正确． B． ，化简正确． C． ，符合乘法法则，计算正确． D． 无法合并为 ，因为二次根式相加需为同类根式，而 与 不同类，实际值 ，故计算错误． 综上，错误的是选项D． 故选：D． 3. ★下列关系式中与是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例关系的定义，若两个变量的乘积为常数，则它们成反比例关系，对各选项进行变形，判断是否满足该条件即可． 【详解】A． 是正比例函数，与 的比值为常数4，不符合反比例关系，不符合题意； B． 可变形为 ，即 ，仍是正比例关系，不符合题意； C． 可变形为，满足为常数，符合反比例关系，符合题意； D． 是一次函数，不满足反比例关系，不符合题意； 故选：C． 4. 规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误； B．正方形的最小旋转角度是90°，故此选项错误； C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确； D．正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误； 故选C． 5. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于（m，0）和（m+3，0） ∵抛物线经过四个象限，且a=1>0 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④，其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④不正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是夹角，所以与不一定相似，故③不正确． 因此有2个正确． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．利用平方差公式可得原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 8. 一组数据0，3，，5，的极差是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了极差：一组数据中最大数与最小数的差；根据极差概念即可求解． 【详解】解：极差为：； 故答案为：8． 9. 如图，矩形中，点在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点，若的面积为2，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，先求出的面积，利用的面积减去的面积，即可求出的面积，设点D的坐标为，根据与反比例函数交于点，即可得到． 【详解】解：矩形中，点在反比例函数的图象上， 矩形的面积为6， 的面积为， 的面积为2， 的面积为， 设点D的坐标为， ， ， 与反比例函数交于点， ， 故答案为：2． 10. 如图，平行四边形中，，如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，进而由得，再根据解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】π﹣ 【解析】 【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E， ∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°， ∵AD＝CD， ∴△ACD是正三角形， ∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2， ∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣， 故答案为：π﹣． 【点睛】本题主要考查扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握面积公式及计算法则是解题关键. 12. 图，正六边形的边长为6，，分别为，的中点，点在正六边形的边上，且在直线的右侧，则当为等腰三角形时，长为________． 【答案】，9， 【解析】 【分析】分三种情况讨论，分别对应关系求解即可． 【详解】解：如图，连接BE，与MN交于点G， 由正六边形的对称性可知，BE⊥MN，∠ABE=∠CBE=60°， ∵M、N为AB、BC中点，边长为6， ∴BM=BN=3， ∴BG=，MG=NG=，△BMN是顶角为120°的等腰三角形， ∴MN=； ①当M为顶点时，P1是AF中点， ∴MP1=MN=； ②当N为顶点时，P2是CD中点， 易得△BMN∽△NMP2， ∴， ∴MP2=9； ③当P为顶点时，此时P3与E重合， 由正六边形的性质，易得BP3=2AF=12， GP3=， ∴MP3=； 故答案为：，9，． 【点睛】本题考查分类讨论问题，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，理清思路，分清楚情况是解题的关键． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）或（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识点，解题的关键是掌握以上求解的步骤． （1）利用直接开方法求出方程的解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 或 或； （2） 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，该不等式组的解集为：． 14. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：设，则， ． 【小问2详解】 设，则， ， ， 解得， ，， ． 15. 创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，计划种植树木2400棵，由于志愿者的加入，实际每天种植树木的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，求原计划每天种植多少棵树？ 【答案】100棵 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植x棵树，则 ， 解得， 经检验得是原方程的根，且符合题意， 答：原计划每天种植100棵树． 16. 图1和图2均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，不要求写出作法） （1）如图1，在格线上确定一点Q，使与的长度之和最小； （2）如图2，在四边形的对角线上确定一点P，使． 【答案】（1）点即为所求： （2） 点即为所求； 【解析】 【分析】（1）如图1，作B关于的对称点，连接，交于Q，Q点即为所求； （2）如图2，作B关于的对称点，连接并延长交于P，P点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，作B关于的对称点，连接，交于Q，此时，根据两点之间线段最短，此时最小； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 17. 某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式： 方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠； 方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠． （备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同；转盘乙中，B、C区域的圆心角均为；②若指针指向分界线，则重新转动转盘．） （1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为______； （2）两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】（1） （2） 解：将转盘乙中A区域平均分成两份，则此转盘乙转动可能出现4种等可能的情况，其中有2个A、1个B，1个C，则转动两个转盘，所有可能的结果如下： A C A A B 由表可知共有12种等可能结果，其中转到两个字母相同的有4种种结果， ∴顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为：； ∴两种方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大． 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由转动转盘甲共有三种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得答案． 【小问1详解】 解：若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 略 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及等角的补角相等，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意得和，进一步可得即可； （2）由得，结合平行四边形的性质可得即可求得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． （1）求，的值； （2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】（1），； （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解； （2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为2， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数的解析式为， 令，则， ∴点， 设点，则点， ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得或， 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 由得， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴点； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 【答案】任务：； 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． 【解析】 【分析】任务：利用待定系数法，把，代入，即可求出的值； 任务：将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， 任务：略 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 江西师大附中为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从八、九年级中各随机抽取了名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀）统计、整理如下： 九年级抽取的学生的初赛成绩：． 八九年级抽取的学生的初赛成绩统计表： 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 八年级抽取的学生的初赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为八、九年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八、九年级进入复赛的学生总人数． 【答案】（1），， （2）九年级的学生初赛成绩更好，理由见解析 （3）名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数、众数、方差的意义，样本估计总体等知识，从统计图获取出信息是解题的关键． （）根据中位数的定义、众数的定义及条形统计图解答即可； （）根据优秀率和方差比较即可求解； （）根据样本估计总体，用乘以满分人数的占比即可求解； 【小问1详解】 解：∵九年级抽取的学生的初赛成绩：， ∴中位数， 由条形统计图可知，八年级初赛成绩分的学生人数最多， ∴众数， ∵八年级分及以上的人数有人， ∴八年级优秀率， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：九年级的学生初赛成绩更好，理由如下： 由统计表可知，九年级的优秀率高于八年级的，且九年级成绩的方差较小，成绩更稳定，所以九年级的学生初赛成绩更好； 【小问3详解】 解：， 答：估计八、九年级进入复赛的学生总人数为名． 22. 如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝4，AE＝8． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：OC2＝OE•OP； （3）求线段EG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB＝∠ADO，再由已知条件得出∠ADO＝∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论； （2）证明△ODE∽△OPD，得出OD2＝OE•OP，由OC＝OD，即可得出OC2＝OE•OP； （3）连接DG，由垂径定理得出DE＝CE＝4，得出CD＝8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可． 【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵OA＝OD， ∴∠DAB＝∠ADO， ∵∠DAF＝∠DAB， ∴∠ADO＝∠DAF， ∴OD∥AF， 又∵DF⊥AF， ∴DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：由（1）得：PF⊥OD， ∴∠ODP＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠OED=90° ∴∠ODP=∠OED 又∠DOE=∠POD ∴△ODE∽△OPD， ∴，即OD2＝OE•OP， ∵OC＝OD， ∴OC2＝OE•OP； （3）连接DG，如图2所示： ∵AB⊥CD， ∴DE＝CE＝4， ∴CD＝DE+CE＝8， 设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴CG＝2OA＝10， ∵CG是⊙O的直径， ∴∠CDG＝90°， ∴DG＝＝＝6， ∴EG＝＝＝2． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解决问题的关键． 六、综合与探究（12分） 23. 如图1，在菱形中，于点，为的中点，延长交的延长线于点，已知，．点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足，设，． （1）求证：． （2）求关于的函数表达式． （3）如图2，连结．当与的一边垂直时，求的值． 【答案】（1）见详解 （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数以及全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，即可得到结论； （2）先证明，即有，进而可得，，则有，即有，结合，，可得，整理即可得到答案； （3）分类讨论，当时，先表示，即有，结合（2）的结论有，解方程即可； 当时，证明，则有，即有，即可得，解方程即可； 当时，可得，此与相交矛盾． 【小问1详解】 证明：在菱形中，，，，，， 在中，， ， 为的中点， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ， 在中，，， ， 又， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ，， ， ， 点分别在线段上（不与端点重合）， ， ， 即：， ，； 【小问3详解】 解：由（1）、（2）得，，， 即，，当时，如图， ，， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 当时， ， ， 又、相交， 的情况不存在； 综上所述：的值为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养测试卷 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. 0.5 B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. ★下列关系式中与是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正十边形 5. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④，其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算的结果为_____． 8. 一组数据0，3，，5，的极差是________． 9. 如图，矩形中，点在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点，若的面积为2，则的值是______． 10. 如图，平行四边形中，，如果，则______． 11. 如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于______． 12. 图，正六边形的边长为6，，分别为，的中点，点在正六边形的边上，且在直线的右侧，则当为等腰三角形时，长为________． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）解不等式组：． 14. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 15. 创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，计划种植树木2400棵，由于志愿者的加入，实际每天种植树木的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，求原计划每天种植多少棵树？ 16. 图1和图2均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，不要求写出作法） （1）如图1，在格线上确定一点Q，使与的长度之和最小； （2）如图2，在四边形的对角线上确定一点P，使． 17. 某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式： 方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠； 方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠． （备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同；转盘乙中，B、C区域的圆心角均为；②若指针指向分界线，则重新转动转盘．） （1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为______； （2）两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2． （1）求，的值； （2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 江西师大附中为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从八、九年级中各随机抽取了名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀）统计、整理如下： 九年级抽取的学生的初赛成绩：． 八九年级抽取的学生的初赛成绩统计表： 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 八年级抽取的学生的初赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为八、九年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八、九年级进入复赛的学生总人数． 22. 如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝4，AE＝8． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：OC2＝OE•OP； （3）求线段EG的长． 六、综合与探究（12分） 23. 如图1，在菱形中，于点，为的中点，延长交的延长线于点，已知，．点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足，设，． （1）求证：． （2）求关于的函数表达式． （3）如图2，连结．当与的一边垂直时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $