精品解析：山东省滕州市北辛中学2024—2025学年九年级上学期第二次月考（12月）数学试题

九年级数学达标试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 4. 如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 5. 如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 0.95米 6. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ） A. 86 B. 84 C. 80 D. 78 7. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 在中，，，， 是的高， 则的值是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（ ） A. 22 B. 21 C. 20 D. 18 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________． 13. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 15. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 16. 如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________． 三、解答题：（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）已知为锐角，，计算的值． 18. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 19. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 20. 通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 21. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F． （1）求的正切值； （2）求的值． 22. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表（高约3.27米）垂直圭，冬至正午日影长为，此时太阳高度角为，夏至正午日影长为，此时太阳高度角为．测得夏至正午日影长约为1米． （1）试计算该市夏至正午太阳高度角（即的度数； （2）已知夏至日正午太阳高度角与冬至日正午太阳高度角的差约为（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为，取近似数约为．请计算的长．（结果精确到0.1米．参考数据，，， 23. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），点在边的延长线上，且满足，连接，，与边交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）交于点，若，求的值（用含的代数式表示）． 24. 如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学达标试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 2. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 3. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故选：D． 4. 如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 【答案】A 【解析】 【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案. 【详解】解：假设为， 为， . ， . 故选：A. 【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小 5. 如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 0.95米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．过点N作于点H，则的长为车门底边上点N到车身的距离，根据三角函数作答即可． 【详解】解：过点N作于点H，则的长为车门底边上点N到车身的距离， 在中，米，， ∴米， 故选：A． 6. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ） A. 86 B. 84 C. 80 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 8. 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答． 如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB， 在Rt△AOC中， CO=； AC=； 则sinA===． 考点：(1)、锐角三角函数的定义；(2)、勾股定理． 9. 如图， 在中，，，， 是的高， 则的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（ ） A. 22 B. 21 C. 20 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，再证明，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形的周长是， 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系．直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，， ． 故答案为：2． 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=， ∴AB=， ∴cosA=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义． 13. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形． 过点作轴于轴于，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义即得结果． 【详解】解：如图，过点作轴于轴于， ， ， ， ， ∵的面积为，则， ， ， ， ， 由图可知， ， 故答案为：． 15. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 16. 如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分线AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，进而得到，由相似求出BD的长即可． 【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8， ∴BC=AB=4， ∵∠B＝36°， ∴， 作∠BAC的平分线AD， ∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B， ∴AD=BD，， ∴AD=BD=AC， 设， ∵∠DAC＝∠B＝36°， ∴， ∴， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴， 此时(s)， 故答案为：. 【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明． 三、解答题：（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）已知为锐角，，计算的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的四则运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先计算乘方和三角函数值，再计算加减法即可； （2）先由特殊角的三角函数值计算出，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵为锐角，， ∴． ∴． ∴ 18. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：在中，，， ， ． 19. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1）加热时与的函数关系式为，停止加热后与的函数关系式为 （2）当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． （1）停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式，再求出当时，，从而得到，加热时，设，将，代入得，求出的值即可； （2）在材料加热时，当时，解得：；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解． 【小问1详解】 解：停止加热后，设， 将代入得：， ， 停止加热后与的函数关系式为， 当时，， 解得：， ， 加热时，设， 将，代入得，， 解得：， 加热时与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在材料加热时，函数解析式为，当时，， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为，当时，， 解得：， ， 当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 20. 通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】数学思考：D；解决问题： 【解析】 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 数学思考：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； 解决问题：根据题意可得出，，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】【数学思考】：解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， ∴y与x之间函数关系的图象大致为D， 故答案为：D； 【解决问题】：解：， ，， ∴，， 又，，，，， ∴， ∴， ，， ∴， 解得：， ∴灯杆的高度为． 21. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F． （1）求的正切值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于（1），在中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，然后根据得出答案； 对于（2），过点D作，交于点G，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【小问1详解】 在中，， ∴， 解得． 根据勾股定理，得． ∵点E是的中点， ∴． 在中，； 【小问2详解】 如图所示，过点D作，交于点G， ∴. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表（高约3.27米）垂直圭，冬至正午日影长为，此时太阳高度角为，夏至正午日影长为，此时太阳高度角为．测得夏至正午日影长约为1米． （1）试计算该市夏至正午太阳高度角（即的度数； （2）已知夏至日正午太阳高度角与冬至日正午太阳高度角的差约为（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为，取近似数约为．请计算的长．（结果精确到0.1米．参考数据，，， 【答案】（1） （2）5.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 ， ， 在中，米，米， ， ， 该市夏至正午太阳高度角（即的度数约为； 【小问2详解】 由题意得：， 在中，米， （米， 米， （米， 的长约为5.7米． 23. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），点在边的延长线上，且满足，连接，，与边交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）交于点，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，由“”可证，可得； （2）由题意可得，，即可证，即可证； （3）如图，过点作交于点，设，可得，，由，可得，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作交于点，设， ， ， ， 即，， ， ∴，， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，综合运用相关知识是解本题的关键． 24. 如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）首先利用的面积求出的面积为4，然后得到的面积为8，然后根据题意分两种情况：点D在x轴负半轴和点D在x轴正半轴，然后利用求解即可． （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， ∴ 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点E， 令，则，令，则， ∴， ∴的面积 ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积为8 设，如图所示，当点D在x轴正半轴时，连接，， 则， ∴ ∴ 解得 ∴； 如图所示，当点D在x轴负半轴时，连接，， 则， ∴ ∴ 解得 ∴； 综上所述，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $