专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（3个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型三 有理数的乘方运算 题型四 有理数乘方的逆运算 题型五 乘方运算的符号规律 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 算24点 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 有理数的四则混合运算 题型十 乘方的应用 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算： ． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）的值等于 ． 知识点三： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）我国国土面积9600000平方千米，这个数字用科学记数法表示应记作 ． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．表示8个2相乘 B．25表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 1．（24-25七年级上上·湖南岳阳·期中）算式可表示为（　　） A． B． C． D．以上都不正确 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ． 3．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【经典例题二 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例2】（2025·湖南常德·模拟预测）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知光的速度大约为千米/秒，经过m秒后所走过的路程用科学记数法表示为千米，则m的值可能是（   ） A．8 B．20 C．60 D．450 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）月球与地球的平均距离约为384000千米，将数384000用科学记数法表示为 ． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为 亿． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【经典例题三 有理数的乘方运算】 【例3】（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列算式中，计算结果是负数的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算 ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第个数分别是________，________，________； (2)用如图所示的“”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住个数，是否存在某个位置，使得个数的和为，若存在，请求圈住的这个数，若不存在，请说明理由； (3)取每行数的第个数，这个数中最大的数记为，最小的数记为，若，直接写出的值 【经典例题四 有理数乘方的逆运算】 【例4】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）若，则 ． 3．（2024七年级·湖南湘潭·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【经典例题五 乘方运算的符号规律】 【例5】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024·湖南怀化·模拟预测）观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·湖南·专题练习）观察下列数的规律，填上合适的数：1，，9，，25，，49， ． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【经典例题六 程序流程图与有理数计算】 【例6】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）将分数输入如图所示的流程图，则输出的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）（学习情境•程序框图）如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【经典例题七 算24点】 【例7】（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（2024七年级上·湖南·专题练习）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·开学考试）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 4．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 【经典例题八 含乘方的有理数混合运算】 【例8】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）探究： 请你找规律，并计算：（   ） A．0 B．2 C． D．1 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的题数有（    ） 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． A．3道 B．2道 C．1道 D．0道 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）用“”定义一种新运算：．如．则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，① 则，② ，得． 通过阅读，请用你学到的方法计算： ． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）计算： (1) (2) (3) 【经典例题九 有理数的四则混合运算】 【例9】（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知：则（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·开学考试）甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶85千米，经过7小时两车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了70千米，则乙车的速度为每小时 千米． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【经典例题十 乘方的应用】 【例10】（2024·湖南株洲·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）《庄子》中记载：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，4天一共截取木棍的长度是 ． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【经典例题十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例11】（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 1．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示．小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离．他此次停车所需支付的费用可能为（   ） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段(8：00-20：00)首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段(20：00-次日8：00)每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A．8.5元 B．15.5元 C．8.5元或15.5元 D．9元或15.5元 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 3．（2025·湖南·模拟预测）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 ；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）这是一堆苹果，用十进制表示是19，若用二进制表示应是 ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）    A．16 B．9 C．4 D．1 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）应用题 (1)为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ (2)典典打算每天跳绳600下，一天，前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下表给出了初中某班5名男同学身高情况（单位：厘米） 编号 A B C D E 身高 a 160 164 161 c 与全年级男同学平均身高的差值 （该生身高－全年级男同学平均身高） b 0 (1)由表中信息可知，______，______，______． (2)身高最高的同学和身高最低的同学相差多少厘米？ (3)求这5名男同学身高的平均值． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）拟建造某电站，估计容量将达16780000千瓦，用科学记数法表示容量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下列说法正确的是（   ） A．与的指数相同，底数不同 B．一定是负数 C．在数轴上，距离原点越远的点表示的数越大 D．减去一个数等于加上这个数的倒数 3．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 4．（2025七年级上·湖南常德·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 5．（2025·湖南·模拟预测）年某单位举行春节联欢会，其中有四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表所示： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这位演员的候场时间之和最小，则节目彩排的先后顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·开学考试）年是 年，全年共 天． 7．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 8．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制是 ，将十进制数转换成二进制是 ． 9．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为 ． 10．（2025·湖南益阳·模拟预测）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 11．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）简便计算． (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 13．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 14．（24-25七年级上·湖南常德·期末）观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 15．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：__________；__________； （2）关于除方，下列说法错误的是__________． A．任何非零数的圈次方都等于    B．对于任何大于等于的整数， C．                  D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________，__________； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型三 有理数的乘方运算 题型四 有理数乘方的逆运算 题型五 乘方运算的符号规律 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 算24点 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 有理数的四则混合运算 题型十 乘方的应用 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的含义计算即可． 【详解】解：， 故选：C 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 首先逆用同底数幂的乘法法则将原式变形为，再提取公因式，再进行计算即可． 【详解】解： ，故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点三： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）我国国土面积9600000平方千米，这个数字用科学记数法表示应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，根据方法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．表示8个2相乘 B．25表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、表示8个2相乘的相反数，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 1．（24-25七年级上上·湖南岳阳·期中）算式可表示为（　　） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的定义即可得出答案．． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ． 【答案】 2 3 2的3次方的相反数/的相反数 【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，是幂． 【详解】解：根据乘方的概念，则的底数是，指数是，表示2的3次方的相反数． 故答案为；；2的3次方的相反数． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念，注意和的区别，前者底数是，后者底数是，正确区分乘方运算的底数是解题的关键． 3．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³；（3）(ab)n＝，理由见解析 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) (ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 【经典例题二 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例2】（2025·湖南常德·模拟预测）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故选C． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知光的速度大约为千米/秒，经过m秒后所走过的路程用科学记数法表示为千米，则m的值可能是（   ） A．8 B．20 C．60 D．450 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．分别将四个选项代入，然后进行判断即可． 【详解】解：A．，因此m的值不可能是8，故A不符合题意； B．，因此m的值不可能是20，故B不符合题意； C．，因此m的值可能是60，故C符合题意； D．，因此m的值不可能是450，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）月球与地球的平均距离约为384000千米，将数384000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值． 确定a（满足）为，确定n（小数点移动的位数）为5，从而写出科学记数法的形式． 【详解】解析：科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．对于384000，将小数点向左移动5位得到，此时小数点移动了5位，故， ∴． 故答案为：． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为 亿． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：6710亿亿． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】(1)34900双 (2)棵 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． 【详解】（1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点睛】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【经典例题三 有理数的乘方运算】 【例3】（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列算式中，计算结果是负数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，加法运算，根据乘方法则，加法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，计算结果为正，不符合题意； B、，计算结果是负数，符合题意； C、，计算结果为正，不符合题意； D、，计算结果为正，不符合题意； 故选B． 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断． 【详解】解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为， ∴计算， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算 ． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，结合题意令①，②，然后计算即可． 【详解】解：令① ∴②， ∴得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数乘方运算，由，可判断a，b，c，必有两正一负，据此化简绝对值，求出，代入计算，即可求解；能化简绝对值求出是解题的关键． 【详解】解：，， a，b，c，必有两正一负， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期末）观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第个数分别是________，________，________； (2)用如图所示的“”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住个数，是否存在某个位置，使得个数的和为，若存在，请求圈住的这个数，若不存在，请说明理由； (3)取每行数的第个数，这个数中最大的数记为，最小的数记为，若，直接写出的值 【答案】(1)，，； (2)不存在，理由见解析； (3)的值为． 【分析】（）观察所给三行数，发现它们的变化规律，表示出第个数即可解决问题； （）设“”形框框住的下一行的中间数为，再结合（）中发现的规律分别表示出其他数，最后建立方程即可解决问题； （）对为奇数和偶数时进行分类讨论，再结合（）中发现的规律分别表示出和，最后建立方程即可解决问题； 本题考查了数字变化的规律及有理数乘方，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：观察第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是，所以第一行的第个数可表示为； 观察第二行数可知，第二行的每一个数比第一行相应位置的数小，所以第二行的第个数可表示为； 观察第三行数可知，第三行的每一个数是第二行相应位置数的倍，所以第三行的第个数可表示为， 当时，，，， 即每行的第8个数分别是：，，， 故答案为：，，； （2）解：不存在，理由， 设“”形框框住的下一行的中间数为， 则这五个数为：，，，，， ∴， 整理得：， ∴， ∴无正整数解， ∴不存在； （3）解：由（）知，每行数的第个数分别为，，， 当为奇数时，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， ∴， ∴， 解得； 当为偶数时，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， ∴， ∴， ∴， 此方程无正整数解， 综上所述，的值为． 【经典例题四 有理数乘方的逆运算】 【例4】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级·湖南湘潭·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 【经典例题五 乘方运算的符号规律】 【例5】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 1．（2024·湖南怀化·模拟预测）观察下列一行数：，…，则第16个数与第17个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第16个数与第17个数，然后将它们相加即可． 【详解】∵，… ∴这列数的第偶数个数都是1，第奇数个数是， ∴当n=16时，这个数为1， 当n=17时，这个数为， ∴第16个数与第17个数的和为：， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求数字的和． 2．（2024七年级上·湖南·专题练习）观察下列数的规律，填上合适的数：1，，9，，25，，49， ． 【答案】 【分析】先观察总结规律，再根据规律求解．本题考查了正负数认识，规律型问题，正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，列表如下： 序号数 奇偶性 序号数的平方 结果呈现 1 奇数 1 1 2 偶数 4 3 奇数 9 9 4 偶数 16 5 奇数 25 25 6 偶数 36 7 奇数 49 49 8 偶数 64 由此得到规律是：序号是奇数时，其对应的结果是序号的平方，是正数；序号是偶数时，其对应的结果是序号的平方的相反数，是负数； ∴第八个数是的相反数即， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 4．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【详解】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 【经典例题六 程序流程图与有理数计算】 【例6】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，根据所给数值转换机列式计算即可，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 第一次：， 第二次： ， ∴输出的结果y为， 故选：A． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）将分数输入如图所示的流程图，则输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据流程图计算即可求解，理解流程图是解题的关键． 【详解】解：∵是负数， ∴输出的结果为， 故选：C． 2．（2024七年级上·湖南株洲·专题练习）（学习情境•程序框图）如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图，有理数的混合运算，熟练掌握带乘方的混合运算是解题的关键； 根据操作步骤列式计算即可求解； 【详解】解：由题意得：； 故答案为： 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了程序图与有理数的混合运算，分当时和当时两种情况列式计算即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ． ． 所以输入的数a是或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或11 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 【经典例题七 算24点】 【例7】（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．（2024七年级上·湖南·专题练习）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 【答案】 【分析】认真读题，完全掌握，，，各数之间的相互计算的结果，培养学生的计算能力． 首先将12与相加得8，然后和2与1的和相乘，结果得24． 【详解】解：，， ． 故答案为： 3．（24-25七年级上·湖南常德·开学考试）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及题目的要求． 【详解】解：根据题意可知答案不唯一： 如：； 或； 或； 或等； ∴凑成24的算式是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据有理数的四则运算法则求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【经典例题八 含乘方的有理数混合运算】 【例8】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）探究： 请你找规律，并计算：（   ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据前几个式子找出规律，再根据结论的逆运算将原式整理计算即可，熟练掌握数字的变化规律是解决此题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的题数有（    ） 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． A．3道 B．2道 C．1道 D．0道 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：甲、错误，不能先算减法． 正确结果为：； 乙、错误，乘方计算错误． 正确结果为：； 丙、错误，同级运算要按从左往后进行，不能先计算后面的． 正确结果为：； 丁、错误，除法没有分配律． 正确结果为：； 故做对的题数有0道， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）用“”定义一种新运算：．如．则的值为 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题．根据，即可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，① 则，② ，得． 通过阅读，请用你学到的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给定的方法，设，则，两式相减后即可得出结果． 【详解】解：设，① 则，② ，得 ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号； （3）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题九 有理数的四则混合运算】 【例9】（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知：则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的新定义运算，解题关键是依据新运算规则准确代入有理数进行计算．根据新运算的定义将，代入到中，按照先计算乘方，再计算减法的顺序进行计算． 【详解】解：根据题意得： 将，代入 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·开学考试）甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶85千米，经过7小时两车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了70千米，则乙车的速度为每小时 千米． 【答案】 【分析】本题考查相遇问题，经过个小时两车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了千米可求出甲车每小时比乙车多行驶度多少千米，由此即可求出乙车的速度． 【详解】解：(千米/小时)， (千米/小时)， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 【经典例题十 乘方的应用】 【例10】（2024·湖南株洲·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据乘方的意义和乘法的意义，根据个3相乘为，个5相加为，即可得出结果为． 【详解】解：个3相乘为，个5相加为， ， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：. 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键． 【详解】观察可得规律：的个位数字每4次一循环， ∵余2，， ∴的个位数字是4． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）《庄子》中记载：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，4天一共截取木棍的长度是 ． 【答案】 【分析】根据题意依次求出每一天剩余木棍的长度，即可求得4天一共截取的长度． 【详解】解：∵第一天截取后剩：（米）； 第二天截取后剩：（米）； 第三天截取后剩：（米）； 第四天截取后剩：（米）； ∴4天一共截取木棍的长度是 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【答案】（1）①121，；②，；（2）①两；②三；（3）； 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据有理数的乘方运算得出结论即可； （2）通过观察底数的小数点移动的位数与结果的小数点移动的位数得出规律即可求出结果； （3）根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）①已知，那么，； ②已知，那么，． （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位． （3）①； ②． 【经典例题十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例11】（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）学校要买40盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同，甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（   ）商店最合算． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据优惠方式列式计算出三家商店所需费用，比较大小即可． 【详解】解：甲商店：（元）， 乙商店：（元）， 丙商店：（元）， ， 因此选择丙商店最合算． 故选C． 1．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示．小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离．他此次停车所需支付的费用可能为（   ） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段(8：00-20：00)首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段(20：00-次日8：00)每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A．8.5元 B．15.5元 C．8.5元或15.5元 D．9元或15.5元 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意和表格中的数据，可以分别计算出小明爸爸此次停车所需支付的费用，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：， 当在工作日时，小明爸爸此次停车所需支付的费用为： 元， 当在非工作日时，小明爸爸此次停车所需支付的费用为： 元， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 【答案】5或 【分析】本题考查了分数混合运算的应用，读懂题意，列式计算是解题的关键．分两种情况：①C在A、B两站之间；②A在C、B两站之间，列式求解即可． 【详解】①当C在A、B两站之间时， （小时）； ②当A在C、B两站之间时， =（小时）； ∴从A站出发到C站停止一共用了5或小时， 故答案为：5或． 3．（2025·湖南·模拟预测）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 ；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．节目D的演员的候场时间为；先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：节目D的演员的候场时间为， 由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】(1)310单； (2)1760元； (3)够买扫地机器人． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】(1)①，②1.331，1331000 (2)移动规律：①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位，②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据所给材料中的方法进行计算即可； （2）根据题意找到规律即可； （3）根据得到的规律将原式变形，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2）根据题意可得：； （3） ． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题关键是灵活运用材料中得出的规律． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】根据题意，，，根据规律可知最高位应是，故可求共有位数． 【详解】解：∵，， ∴最高位应是， 故共有位数． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）这是一堆苹果，用十进制表示是19，若用二进制表示应是 ． 【答案】10011 【分析】本题考查了数的十进制和二进制数的转换，根据二进制记数结合解题即可． 【详解】解：∵， ∴19二进制表示应是10011． 故答案为：10011． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别列出等式，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）    A．16 B．9 C．4 D．1 【答案】D 【分析】由“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”即可求解． 【详解】解：由图可得：对角线上的数之和为： 第三行第三列的数字为： 故， 故选：D 【点睛】本题考查了幂．“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”是解题关键． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：， 第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：， 第二行第一列数字为：， 所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：， 第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：； 补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴， 解得， 又∵，且数字不重复， ∴或， 当时， ∴； 当时， ∴； 综上，的值为或111． 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期末）应用题 (1)为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ (2)典典打算每天跳绳600下，一天，前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 【答案】(1)可以提前2天修完 (2)还要跳3分钟才能完成任务 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系式来解答． （1）根据工作总量工作效率工作时间，来进行解答； （2）根据跳绳的总数每分钟跳的数量所要的时间，来进行解答． 【详解】（1）解： （天， （天， 答：可以提前2天修完． （2）解： （分钟）， 答：还要跳3分钟才能完成任务． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 【答案】(1)小李这一周平均每天销售405单 (2)小李这一周的总收入为2102元 【分析】（1）由400单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案； （2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 【详解】（1）解： (单). 答：小李这一周平均每天销售405单． （2）解：(元) ． 答：小李这一周的总收入为2 102元． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下表给出了初中某班5名男同学身高情况（单位：厘米） 编号 A B C D E 身高 a 160 164 161 c 与全年级男同学平均身高的差值 （该生身高－全年级男同学平均身高） b 0 (1)由表中信息可知，______，______，______． (2)身高最高的同学和身高最低的同学相差多少厘米？ (3)求这5名男同学身高的平均值． 【答案】(1)，， (2) (3)厘米 【分析】本题考查正负数的意义以及有理数的加减运算的实际应用，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）先由C同学的身高和差值求得全部同学的平均身高，即可求解其他值； （2）由（1）及表格数据求解即可； （3）根据平均数的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：全部同学的平均身高为：（厘米）， 则，，， 故答案为：，，； （2）解：（厘米）， 答：身高最高的同学和身高最低的同学相差厘米； （3）解：（厘米）， 答：这5名男同学身高的平均值为厘米． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）拟建造某电站，估计容量将达16780000千瓦，用科学记数法表示容量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）下列说法正确的是（   ） A．与的指数相同，底数不同 B．一定是负数 C．在数轴上，距离原点越远的点表示的数越大 D．减去一个数等于加上这个数的倒数 【答案】A 【分析】本题考查了指数的定义，负数，数轴及有理数的减法有关知识，根据相关定义一一判断即可得到答案． 【详解】解：A、与的指数相同，底数不同，正确，故此选项符合题意； B、当时，，所以不一定是负数，故此选项错误，不符合题意； C、在数轴上与原点距离越远的点表示的数的绝对值越大，故此选项错误，不符合题意； D、减去一个数等于加上这个数的相反数，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相反数的性质，根据题意得到a和互为相反数，进而求解即可． 【详解】∵ ∴a和互为相反数 ∴． 故选：D． 4．（2025七年级上·湖南常德·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 5．（2025·湖南·模拟预测）年某单位举行春节联欢会，其中有四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表所示： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这位演员的候场时间之和最小，则节目彩排的先后顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． 将四种彩排的候场时间计算出来，进行比较找到最小值即可． 【详解】解：A、按“”的顺序，候场时间之和为； B、按“”的顺序，候场时间之和为； C、按“”的顺序，候场时间之和为； D、按“”的顺序，候场时间之和为； 因为， 所以按“”的顺序，这位演员的候场时间之和最小， 故选：C． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·开学考试）年是 年，全年共 天． 【答案】 平 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因为不是整百年，又因为，不是整百年又不能被整除，所以年是平年；平年的月有天，其中、、、、、、月都有天，、、、月有天，列式计算即可求出年全年的天数． 【详解】解：年不是整百年， 且， 年不是闰年，是平年； 平年的月有天， 其中、、、、、、月都有天，、、、月有天， 年全年的天数共有天， 故答案为：平 7．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制是 ，将十进制数转换成二进制是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题中二进制数化为十进制数的方法计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 将十进制数21转换成二进制是 故答案为：， 9．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，根据对数的定义计算即可，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·湖南益阳·模拟预测）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 11．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）简便计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)400 (2)25 (3) (4) 【分析】本题考查了小数，分数，百分数之间的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将原算式变形为，再进行计算； （2）将原算式变形为，先利用乘法分配律进行括号内计算，再计算除法； （3）括号内先利用乘法分配律进行计算，再计算除法； （4）将原算式变形为，再由乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序流程图，进行运算，根据流程图，按照有理数混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：根据题意得 ． 13．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25七年级上·湖南常德·期末）观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）不难看出奇数项是正数，偶数项是负数，其数字部分是，据此进行作答即可； （2）第②行的数是第一行对应的数减去2，第③行的数是第①行对应的数除以，据此即可求解； （3）根据（1）（2）的规律，写出每行的第10个数再相加即可． 【详解】（1）解：∵∴第①行的第8个数是， 第n个数是； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴第②行的第n个数是； ∵， ∴第③行的第n个数是； 故答案为：；； （3）解：根据题意得：第①行的第10个数是，第②行的10个数是，第③行的第10个数是， ∴这三个数的和为 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的乘方，解答的关键是分析清楚所存在的规律． 15．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：__________；__________； （2）关于除方，下列说法错误的是__________． A．任何非零数的圈次方都等于    B．对于任何大于等于的整数， C．                  D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________，__________； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为__________． 【答案】（1），；（2）C；（3），；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）A、，即任何非零数的圈次方都等于，故该选项正确； B、，故该选项正确； C、，， ，故该选项错误； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项正确， 故选：C； （3）， ， 故答案为：，； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$