专题06 代数式章末45道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年湘教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学代数式章末复习讲义以“规律探索—运算化简—综合应用”为主线，构建了从基础到压轴的完整知识体系。通过思维导图清晰呈现九类核心题型的内在逻辑，用表格对比数字类与图形类规律的解题策略，借助错题集锦提炼常见误区，帮助学生系统梳理整式加减、新定义运算、数轴绝对值等重难点内容，实现知识结构化与方法可视化。 讲义的亮点在于融合“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”三大核心素养，设计具有梯度的典型例题。如第1题数字规律探索引导学生从特殊到一般归纳通项公式，第25题“降次小魔方”创新性训练符号运算与逻辑推理，第34题数轴距离问题强化几何直观与代数表达的转化。每类题型均配备解题模板与易错警示，既助力基础薄弱学生掌握规范步骤，又为学优生提供拓展空间，教师可据此精准定位学情，实施分层教学与个性化指导。

专题06 代数式章末45道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数字类规律探索 题型二 图形类规律探索 题型三 整式的加减运算压轴题 题型四 整式加减中的化简求值压轴题 题型五 整式加减中的无关型问题 题型六 整式加减的新定义问题 题型七 代数式与数轴综合 题型八 代数式与绝对值综合 题型九 整式加减的综合应用 【经典例题一 数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）有一列数：，，，，，… (1)请按前5个数的规律写出这列数的第个数字（用含的代数式表示）； (2)这列数从第多少个开始为负数? (3)用表示这列数前个数的和，你认为是有最大值呢，还是有最小值？说明理由，并求出当取最大值或最小值时的值． 2．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列等式： ；；；；… (1)仿写：____________；第个式子是__________________． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：=____________； (3)计算：（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 4．（2025·湖南株洲·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 5．（2025·湖南怀化·模拟预测）将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【经典例题二 图形类规律探索】 6．（24-25七年级上·湖南常德·随堂练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断）．如图所示，这样的捏合，到第多少次后可拉出128根细面条？捏合了10次后可拉出多少根细面条？ 7．（2025七年级上·湖南邵阳·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1    4 2    7 3    10 4    13 …… …… …… (1)每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． (2)摆20个正方形需要多少根小棒？ 8．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 9．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （1）请用含 n 的式子填空： 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个； 第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个； 第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个； 第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个； …… 第n个图案中“★”有 个， “▲”有 个； 【规律应用】 （2）在第2025个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； (3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 【经典例题三 整式的加减运算压轴题】 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图所示的是四张卡牌①、②、③、④，它们分别代表一种运算． (1)经过②→①→④→③的顺序所得的运算结果为______； (2)a经过③→①→④的顺序所得的运算结果记为M，经过④→③→②的顺序所得的运算结果记为N，比较M与N的大小，并说明理由． 12．（2025·湖南湘潭·模拟预测）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” (1)嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ (2)小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 13．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读材料：我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似地，我们把看成一个整体，则． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)把看成一个整体，合并=_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是_______； ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误． (2) 任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 15．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【经典例题四 整式加减中的化简求值压轴题】 16．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）（1）填写运算依据： 第一步：            （    ） 第二步：    （    ） 第三步：        （    ） 第四步： （2）先化简，再求值：，其中，． 17．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 18．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知，． (1)化简：； (2)当时，求（1）代数式的值； (3)数学中有一种比较两数（式）大小的方法叫做比差法，即通过计算两个数的差值，根据查的符号来比较两个数的大小，试通过比差法判断M、N的大小关系并说明理由． 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）如果代数式：，求代数式的值？小颖同学提出了一种解法如下：原式，把式子两边同时乘以2，得． 仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）根据合并同类项法则，易知，若将代入，得，这种解决问题的方法渗透了数学的“整体思想”．请运用“整体思想”解答下列问题： (1)把看成一个整体，计算； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 21．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知，（A，B为关于x的多项式），的结果中不含一次项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 22．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 23．（24-25七年级上·广东梅州·期末）已知：； (1)化简A； (2)若关于x的多项式的值与x无关； ①求m、n的值； ②求A的值． 24．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 25．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【经典例题六 整式加减的新定义问题】 26．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 27．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 28．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 29．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 30．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： (1)___________，___________． (2)___________． (3)计算：． 【经典例题七 代数式与数轴综合】 31．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，如图所示，设点A，B，C所对应的数分别为a，b，c， (1)若以点B为原点，则______，______，并计算 m的值； (2)若原点O在点B的右侧，且，设，求n的值． 32．（24-25七年级上·山西运城·期中）点，在数轴上分别对应有理数，，则，两点之间的距离表示为．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)_______，______ (2)点，同时在数轴上运动，若点向左移动了个单位长度，点向右移动了个单位长度，求． (3)点，，同时在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 33．（24-25七年级上·湖南常德·单元测试）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点表示的数分别为，观察数轴，与点之间的距离为3的点表示的数是_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)在（2）的情况下，若此数轴上两点间的距离为在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求出两点表示的数； (4)若数轴上两点间的距离为在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，两点表示的数分别为_____，______（用含的式子表示这两个数）． 34．（24-25七年级上·广东佛山·期中）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为________，点表示的数为________； ②当为何值时，，两点之间的距离为3？ 35．（24-25七年级上·广东广州·期末）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令  ①， 则  ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：______；______； (2)已知，且，求的值； (3)设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 【经典例题八 代数式与绝对值综合】 36．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，与的和是．” (1)分别求出，，的值． (2)求的值． 37．（2025七年级上·湖南常德·专题练习）请根据图示的对话解答下列问题． (1)___________，___________． (2)已知，求的绝对值． 38．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）阅读下面的材料，完成相关的问题． 在学习绝对值时，我们已经知道绝对值的几何含义，如 表示 ， 在数轴上对应的两 点之间的距离； ，所以 表示 ， 在数轴上对应的两点之间的距离；， 所以 表示 在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点 ， 在数轴上分别表示数 ，， 那么点 ， 之间的距离等于．如图，点 ，  是数轴上的点，点 是原点，．动 点 ，  分别从 ，  同时出发，沿数轴正方向运动，速度分别为每秒   个单位长度和每秒   个单位长度．设运动时间为 秒 ，解答下列问题： (1)点表示的数是 ，距点的距离为个单位长度的点表示的数是 ，点表示的数是 ，点 表示的数是 ．点， 表示的数用含 的式子表) (2)当 为何值时，点与点相距个单位长度？ 39．（24-25七年级上·湖北随州·期中）图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．    (1)如图1所示，第100层有_____个小圆圈，从第1层到第n层共有_____个小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第6个数是_____； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第10层的所有数的绝对值的和_____． 40．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题： (1)若数x在数轴上对应点的位置如图所示，在数轴上画出表示与的点； (2)题（1）中 ； ； ；（用代数式表示） (3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题： ①若表示数x的点在表示与1的两点之间，则 ； ②若表示数x的点在表示﹣3的点的左边，则 ； (4)根据以上探究直接写出的最大值是 ． 【经典例题九 整式加减的综合应用】 41．（25-26七年级上·湖南株洲·开学考试）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”． (1)若一个“递减数”为，则这个数为_________． (2)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是_________． 42．（25-26七年级上·湖南岳阳·单元测试）如图，在某月的日历表中用方框任意框出4个数． (1)分别写出与之间的关系； (2)判断的值是否发生变化．请说明理由； (3)比较与的大小． 43．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中；然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数；再作这两个数的差．只要知道和，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． (1)用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗?你能再写出一个这样的式子吗? ；；_____；_____；…… 写出你的式子：_____． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． (2)芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82_____－__________． 44．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 45．（24-25七年级上·湖南常德·期中）用作差法可以比较两个数或代数式的大小．如为有理数，且，则．当时，；当时，，． (1)已知，直接写出的大小关系，则_______． (2)已知正方形的边长为2，、、、分别是、、、上的点，且．图1中，点是的中点，四边形的面积记为，图2中，点不是的中点，四边形的面积记为． ①直接写出的值___________； ②设，用含的代数式表示； ③比较和的大小关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 代数式章末45道压轴题型专训（9大题型） 题型一 数字类规律探索 题型二 图形类规律探索 题型三 整式的加减运算压轴题 题型四 整式加减中的化简求值压轴题 题型五 整式加减中的无关型问题 题型六 整式加减的新定义问题 题型七 代数式与数轴综合 题型八 代数式与绝对值综合 题型九 整式加减的综合应用 【经典例题一 数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）有一列数：，，，，，… (1)请按前5个数的规律写出这列数的第个数字（用含的代数式表示）； (2)这列数从第多少个开始为负数? (3)用表示这列数前个数的和，你认为是有最大值呢，还是有最小值？说明理由，并求出当取最大值或最小值时的值． 【答案】(1) (2)这列数从第个开始为负数 (3)有最大值，理由见解答，取最大值的值为 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题目中的数据，可以写出这列数的第个数字； （2）令（2）中的第个数小于0，即可求得的值； （3）先判断是否有最大值和最小值，然后根据题意和（2）中的结果，即可说明理由． 【详解】（1）解：由题目中的数据可得， 每两个数字相差4，数字由大变小， ∴第个数为：， 即第个数字为； （2）解：令， 可得， ∴这列数从第个开始为负数； （3）解：由题意可得， 有最大值， 理由：这列数从开始变小，每两个相邻数之间相差4，从第个开始为负数， 故取最大值的值为． 2．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）下列等式： ；；；；… (1)仿写：____________；第个式子是__________________． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：=____________； (3)计算：（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知两个相邻正整数的乘积的倒数等于这两个正整数的倒数的差，据此求解即可； （2）根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可； （3）①先把所求式子变形为，再根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可；②先把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 4．（2025·湖南株洲·模拟预测）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 【答案】(1)20 (2)20 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可； （3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：20； （2）猜想：， 故答案为：20； （3）解：由图表可得，，， 则 ， ∴，正确． 5．（2025·湖南怀化·模拟预测）将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【答案】【初探】 【猜想与验证】该猜想正确，见解析，常数的值为6 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数阵发现数字排列的规律是解题的关键． 【初探】根据所给排列方式，发现上下，左右数之间的关系即可解决问题． 【猜想与验证】根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：【初探】根据题意可知，， ，，，，． 【猜想与验证】根据题意，设，则， ，，，， ， 该猜想正确，常数的值为6． 【经典例题二 图形类规律探索】 6．（24-25七年级上·湖南常德·随堂练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断）．如图所示，这样的捏合，到第多少次后可拉出128根细面条？捏合了10次后可拉出多少根细面条？ 【答案】捏合7次后有128根细面条，捏合10次后有1024根细面条 【分析】本题考查有理数乘方的意义，乘方的意义可以利用乘法的运算来解释． 利用有理数乘方的意义进行求解即可． 【详解】解：设第n次捏合后有128根细面条． 则，因此． 捏合10次后有（根）细面条． 答：捏合7次后有128根细面条，捏合10次后有1024根细面条． 7．（2025七年级上·湖南邵阳·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1    4 2    7 3    10 4    13 …… …… …… (1)每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． (2)摆20个正方形需要多少根小棒？ 【答案】(1)3 (2)61根 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键； （1）仔细观察表中的数据，需要小棒的根数随着个数而增加，且每次都是增加3根，所以，每增加一个正方形，就增加3根小棒，据此可解． （2）根据表格找出规律，然后代入求值即可． 【详解】（1）由列表可知，摆1个小正方形需要4根小棒；摆2个小正方形需要根小棒；摆3个小正方形需要根小棒；摆4个小正方形需要根小棒…… 所以，每多摆1个正方形，就增加3根小棒． 故答案为：3． （2）根据表格，可以得出： 1个正方形需要4根小棒； 2个正方形需要7根小棒，； 3个正方形需要10根小棒，； …… 由此，可得规律：每增加一个正方形，就会增加3根小棒，则摆n个正方形需要根小棒，n为正整数． 当时 （根） 答：摆20个正方形需要61根小棒． 8．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 【答案】(1) (2)2500 (3)1500 (4)14，91 【分析】本题考查数字类、图形类规律探究，找到变化规律并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例子直接写出等式即可； （2）根据所给几个等式，发现规律，进而求解即可； （3）把变形为，然后利用（2）中规律求解即可； （4）根据图①、②、③中正方形个数发现规律为：在的大正方形网格中包含个正方形，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ∴ （3）解： ； （4）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形， 故答案为为：14，91． 9．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （1）请用含 n 的式子填空： 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个； 第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个； 第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个； 第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个； …… 第n个图案中“★”有 个， “▲”有 个； 【规律应用】 （2）在第2025个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 【答案】（1）； （2）2024 【分析】本题考查了图形个数规律题，发现“★”的数量与“▲”的数量的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量，作差即可得到答案． 【详解】解：（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； ， 第个图案中“★”有个，“▲”有个； 故答案为：；． （2）第2025个图案中，“★”的数量为：（个， “▲”的数量为：（个， （个， 答：在第2025个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少2024个． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； (3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 【答案】(1)2 (2)40，5 (3) 【分析】本题主要考查了学习类比能力，数形结合的数学思想，有理数的运算，列代数式等知识点，解题的关键是理解题意进行列式求解． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）根据题意列出算式进行求解即可； （3）根据题意找出规律列出代数式即可． 【详解】（1）解：，， 此时，矩形的长和宽相等，图形为正方形， 所以，折叠阶数为2； （2）解：根据题意得， ， 所以，圆矩形的邻边长为40,5； （3）解：根据题意得， ． 【经典例题三 整式的加减运算压轴题】 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图所示的是四张卡牌①、②、③、④，它们分别代表一种运算． (1)经过②→①→④→③的顺序所得的运算结果为______； (2)a经过③→①→④的顺序所得的运算结果记为M，经过④→③→②的顺序所得的运算结果记为N，比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的减法运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． （）根据运算顺序列出算式计算即可； （）根据运算顺序分别表示出，再利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：1； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ∴， ， ∴， ∴， 即． 12．（2025·湖南湘潭·模拟预测）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” (1)嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ (2)小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 【答案】(1) (2)小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式的求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设淇淇把式中的一次项系数看成了，由题意可得，整理可得，再代入计算即可得解； （2）先求出的值，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：设淇淇把式中的一次项系数看成了， 根据题意，淇淇的计算结果为， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， 淇淇把式中的一次项系数看成了． （2）解：，， 当时，原式， 与互为相反数， 小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数． 13．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）阅读材料：我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如，类似地，我们把看成一个整体，则． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)把看成一个整体，合并=_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，掌握整体的思想是解本题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）把变形为，整体代入进行计算即可得到答案； （3）把先去括号，再变形为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是_______； ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误． (2)任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 【答案】(1)①乘法分配律；②二 (2)， 【分析】本题考查了整式的加减运算——化简求值，熟练掌握去括号以及合并同类项法则是解题的关键． （1）①观察第一步变形的过程，确定出依据即可；②找出出错的步骤，分析其原因即可； （2）原式去括号再合并同类项得到最简的结果，再把和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：①第一步依据的运算律是乘法分配律． 故答案为：乘法分配律 ②以上化简步骤中，第二步开始出现错误，具体错误是去括号时，括号前面是“－”号，括号内的第二项没有变号． 故答案为：二 （2） ． 当，时，原式． 15．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【答案】（1）15（2）见详解（3）（4）15 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． （1）根据题意，先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）理解题意，进行作图即可． （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于，的等式，并把用含的式子表示即可； （4）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于的等式，求出，再列出含有和的等式，求出即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）依题意，如图所示： 6 7 2 1 5 9 8 3 4 （3）由题意得： ， ， ； （4）由题意得： ， ， ， ∵幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． ， ， ， ． 【经典例题四 整式加减中的化简求值压轴题】 16．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）（1）填写运算依据： 第一步：            （    ） 第二步：    （    ） 第三步：        （    ） 第四步： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）加法交换律，加法结合律，合并同类项法则；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据所给运算过程结合加法运算律和合并同类项法则求解即可； （2）先仿照题意合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） 第一步：（加法交换律） 第二步：（加法结合律） 第三步：（合并同类项法则） 第四步： 故答案为：加法交换律，加法结合律，合并同类项法则； （2） ， 当，时，原式． 17．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 【答案】(1)一，完全平方公式用错 (2)，20 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． （1）观察解答过程可得答案； （2）先算括号内的，再算除法，化简后将x，y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是完全平方公式用错； 故答案为：一，完全平方公式用错； （2）解： ∴原式． 18．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知，． (1)化简：； (2)当时，求（1）代数式的值； (3)数学中有一种比较两数（式）大小的方法叫做比差法，即通过计算两个数的差值，根据查的符号来比较两个数的大小，试通过比差法判断M、N的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值．熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）由题意知，； （2）将代入计算求解即可； （3），由，可得，即． 【详解】（1）解：由题意知， ； （2）解：将代入，原式； （3）解：，理由如下：， ∵， ∴，即． 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）如果代数式：，求代数式的值？小颖同学提出了一种解法如下：原式，把式子两边同时乘以2，得． 仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2)11 (3) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）已知等式变形，代入所求式子计算即可求出值； （2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴原式． 故答案为：1； （2）解：∵， ∴原式 ； （3）解：∵， ∴原式 ． 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）根据合并同类项法则，易知，若将代入，得，这种解决问题的方法渗透了数学的“整体思想”．请运用“整体思想”解答下列问题： (1)把看成一个整体，计算； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)13 (3)26 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，会把整式正确化简及运用“整体思想”是解决问题的关键． （1）利用“整体思想”和合并同类项法则进行计算即可； （2）先得出，再根据，再把整体代入，计算即可； （3）方法一：可根据已知求出，，再整体代入求解即可；方法②：先变形，再整体代入，计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：由，得， ∴ ． （3）解：方法一： ∵，，， ∴， ． ∴原式． 方法二： ． ∵，， ∴原式． 【经典例题五 整式加减中的无关型问题】 21．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知，（A，B为关于x的多项式），的结果中不含一次项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)9 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． （1）先计算得，即得，，即得答案； （2）将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的结果中不含一次项和常数项， ，， ，； （2）解：当，时， ． 22．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 23．（24-25七年级上·广东梅州·期末）已知：； (1)化简A； (2)若关于x的多项式的值与x无关； ①求m、n的值； ②求A的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—化简求值、整式的加减—无关题型，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简； （2）①根据题意可得，，求解即可；②将①中求出的值代入计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：①， ∵关于x的多项式的值与x无关， ∴，， ∴，； ②当，时，． 24．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 25．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可． 【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得； （3），， 又 ∴， ∴， ∵方程有无数个解， ∴方程有无数个解， ∴，， ∴，． 【经典例题六 整式加减的新定义问题】 26．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1)23；8 (2)0 (3)6 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，进行运算和的值，即可作答． （2）根据，进行运算化简，即可作答． （3）根据，进行运算得，再结合，得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：因为， 所以， 所以 ． 27．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ；；     ；． (1)求的值； (2)请你想一想：__________； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】本题主要考查新定义下的运算，规律探索，整式加减运算，去括号，合并同类项，理解题目中的运算法则是解题关键． （1）根据题目中的式子即可得到的结果； （2）根据题目中的式子即可得到的结果； （3）根据（2）中的结果化简，再将a、b的值代入计算． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ， 当时，原式． 28．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 【答案】(1) (2) (3)B 【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算． （1）根据题意可得新运算法则为； （2）先计算，再计算，据此计算即可； （3）根据题意，根据新运算法则和整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且定义的新运算满足交换律， ∴， 整理得， ∴． 故选：B． 29．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及代数式求值，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可求解； （2）①根据定义，求得；②根据定义求得，再根据题意取的最小值，代入代数式求值即可求解． 【详解】（1）解：，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． 故答案为： （2）解：①∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ②∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ∴， ∵ m，n均为不大于9的正整数，根据“互异数”的定义可得， 所以当时，最小，最小值为． 30．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： (1)___________，___________． (2)___________． (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)0 (3)2 【分析】本题主要考查了新定义运算、数字规律、整式的加减混合运算等知识点，根据新定义运算发现规律成为解题的关键． （1）根据题中给出的例子进行计算即可； （2）先根据题中给的新定义化简，然后再进行计算即可； （3）先根据题中给的新定义化简，然后再根据整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，； （2）解： ． 故答案为：0． （3）解： ． 【经典例题七 代数式与数轴综合】 31．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，如图所示，设点A，B，C所对应的数分别为a，b，c， (1)若以点B为原点，则______，______，并计算 m的值； (2)若原点O在点B的右侧，且，设，求n的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据，及点B为原点求出a和c即可解决问题． （2）根据题意分别求出a，b，c的值即可解决问题． 【详解】（1）解：因为，，且点B为原点， 所以，，， 则 故答案为：， （2）因为原点O在点B的右侧，且， ∴， ∵， ∴，， 则 32．（24-25七年级上·山西运城·期中）点，在数轴上分别对应有理数，，则，两点之间的距离表示为．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)_______，______ (2)点，同时在数轴上运动，若点向左移动了个单位长度，点向右移动了个单位长度，求． (3)点，，同时在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)3，5 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，列代数式，整式的加减，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． （）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据数轴上两点间距离公式解答即可 （）根据题意列出代数式，再利用整式的加减计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）点向左移动了个单位长度后表示的数为，点向右移动了个单位长度后表示的数为． 所以． （3）的值不会随着运动时间的变化而改变． 由题意得，移动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ． ． ． 的值不会随着运动时间的变化而改变，． 33．（24-25七年级上·湖南常德·单元测试）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点表示的数分别为，观察数轴，与点之间的距离为3的点表示的数是_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)在（2）的情况下，若此数轴上两点间的距离为在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求出两点表示的数； (4)若数轴上两点间的距离为在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，两点表示的数分别为_____，______（用含的式子表示这两个数）． 【答案】(1)4或 (2)0.5 (3)点表示的数为点表示的数为 (4) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离，进行求解即可； （2）根据对称中心到两点之间的距离相等，先求出对称中心，进而求出另一个数即可； （3）同法（2）计算即可； （4）同法（2）列出代数式即可． 【详解】（1）解：观察可知，点之间的距离为3的点表示的数是4或； 故答案为：4或； （2）因为点与点重合， 所以在表示的数为的点处折叠， 所以与点重合的点表示的数是 （3）由（2）得在表示的数为的点处折叠， 所以点表示的数为点表示的数为． （4）因为表示数的点到两点的距离相等，将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对称中心为表示的数即为：， 因为两点间的距离为在左侧）， 所以两点表示的数分别为． 34．（24-25七年级上·广东佛山·期中）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为________，点表示的数为________； ②当为何值时，，两点之间的距离为3？ 【答案】[归纳概括]（1），；（2） ；[解决问题]（3），；（4）；（5）①；；②或 【分析】[归纳概括]（1）根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答； （2）根据绝对值的意义，即可求解； [解决问题]（3）根据绝对值的意义，即可求解； （4）根据表示到与的距离和，即可求解； （5）①根据题意列出代数式即可求解； ③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【详解】解：[归纳概括]（1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是，数轴上表示数与6的两点之间的距离是； 故答案为：，． （2）用，表示，两点之间的距离是， 故答案为：． [解决问题]（3）的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离； 故答案为：，． （4）表示到与的距离和，数的点在与3之间移动时， 故答案为：． （5）①依题意，秒时，点表示的数为；点表示的数为 故答案为：；． ②，两点之间的距离为 依题意， 解得：或 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，列代数式，一元一次方程的应用．用有理数表示数轴上的点．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 35．（24-25七年级上·广东广州·期末）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令  ①， 则  ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：______；______； (2)已知，且，求的值； (3)设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 【经典例题八 代数式与绝对值综合】 36．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，与的和是．” (1)分别求出，，的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接利用相反数、绝对值的定义分别得出，，的值即可； （2）将，，的值代入原式计算即可． 【详解】（1）解：的相反数是2， ； ，且的绝对值是5， ； 与的和是，即， ． （2）解：由（1）知，，，， 原式 37．（2025七年级上·湖南常德·专题练习）请根据图示的对话解答下列问题． (1)___________，___________． (2)已知，求的绝对值． 【答案】(1)；； (2)6 【分析】本题考查相反数、倒数的意义和求法，理解和掌握相反数、倒数的计算方法是解决问题的关键． （1）根据相反数和倒数的定义可得结果； （2）根据绝对值的非负数性质解答即可． 【详解】（1）解：2的相反数为，故；的倒数是，故； 故答案为：；； （2）解：由题意，得，而，， 所以，， 所以． 因为， 所以的绝对值为6． 38．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）阅读下面的材料，完成相关的问题． 在学习绝对值时，我们已经知道绝对值的几何含义，如 表示 ， 在数轴上对应的两 点之间的距离； ，所以 表示 ， 在数轴上对应的两点之间的距离；， 所以 表示 在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点 ， 在数轴上分别表示数 ，， 那么点 ， 之间的距离等于．如图，点 ，  是数轴上的点，点 是原点，．动 点 ，  分别从 ，  同时出发，沿数轴正方向运动，速度分别为每秒   个单位长度和每秒   个单位长度．设运动时间为 秒 ，解答下列问题： (1)点表示的数是 ，距点的距离为个单位长度的点表示的数是 ，点表示的数是 ，点 表示的数是 ．点， 表示的数用含 的式子表) (2)当 为何值时，点与点相距个单位长度？ 【答案】(1)；或；； (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据题意得出点表示的数，进而根据两点距离求得距点的距离为个单位长度的点，根据题意列出点,点在秒时，表示的数，即可求解． （2）根据（1）的结论，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点 是原点，，点在的右侧． ∴点表示的数是， 距点的距离为个单位长度的点表示的数是或 ∵动 点 ，  分别从 ，  同时出发，沿数轴正方向运动，速度分别为每秒   个单位长度和每秒   个单位长度，运动时间为 秒 ∴点表示的数是，点 表示的数是 故答案为：；或；；． （2）解：依题意， ∴或 解得：或 39．（24-25七年级上·湖北随州·期中）图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．    (1)如图1所示，第100层有_____个小圆圈，从第1层到第n层共有_____个小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第6个数是_____； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第10层的所有数的绝对值的和_____． 【答案】(1)100， (2)196 (3)4675 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第6个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第10层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第10层所有数的绝对值和． 【详解】（1）图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号周期变化，绝对值依次加， 则第层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第层所有数的绝对值和为： 故答案为：4675． 40．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题： (1)若数x在数轴上对应点的位置如图所示，在数轴上画出表示与的点； (2)题（1）中 ； ； ；（用代数式表示） (3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题： ①若表示数x的点在表示与1的两点之间，则 ； ②若表示数x的点在表示﹣3的点的左边，则 ； (4)根据以上探究直接写出的最大值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)①；②4 (4)4 【分析】本题考查列代数式、数轴、绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）将表示x的点向左平移1个单位长度为的点，向右平移3个单位长度为的点； （2）根据去绝对值符号即可； （3）①根据去绝对值符号即可； ②根据去绝对值符号即可； （4）根据以上的计算结果直接写出答案即可． 【详解】（1）解：表示与的点如图所示： （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：，，． （3）①∵， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：4． （4）根据以上探究，的最大值是4． 故答案为：4． 【经典例题九 整式加减的综合应用】 41．（25-26七年级上·湖南株洲·开学考试）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”；又如：四位数5324，，不是“递减数”． (1)若一个“递减数”为，则这个数为_________． (2)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是_________． 【答案】(1)4312 (2)8165 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． （1）根据递减数的定义进行求解即可； （2）根据递减数的定义得到一个关于能被9整除，再进行讨论找出最大值即可． 【详解】（1）解：是递减数， ， ， 这个数为4312； 故答案为：4312． （2）一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ， ， ，能被9整除， 能被9整除， 各数位上的数字互不相等且均不为0， ，，，，，，，， 最大的递减数， ，即：， 最大取6，此时， 这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 42．（25-26七年级上·湖南岳阳·单元测试）如图，在某月的日历表中用方框任意框出4个数． (1)分别写出与之间的关系； (2)判断的值是否发生变化．请说明理由； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2)的值不变，为 (3) 【分析】（1）根据日历中数字规律，同行左右相差1，同列上下相差7，列式计算即可； （2）根据前面的计算，代入计算解答即可； （3）作差法比较大小即可． 本题考查了日历的应用，整式的乘除混合运算，整式的大小比较，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据日历中数字规律，同行左右相差1，同列上下相差7，得． （2）解：的值不变． 理由如下： ， ， ，为定值． （3）解： ， ． 43．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中；然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数；再作这两个数的差．只要知道和，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． (1)用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗?你能再写出一个这样的式子吗? ；；_____；_____；…… 写出你的式子：_____． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． (2)芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82_____－__________． 【答案】(1)（1）①；②运算结果一定是9的倍数，见解析； (2)4,4,6 【分析】此题考查有理数的规律探究，读懂题目信息，理解交换后的三位数与原三位数的差是9的倍数是解题的关键． （1）①根据已知等式，找出一般性规律，写出即可； ②设原来的三位数是，交换位置后的三位数是，求出两数的差即可得出结论； （2）由被减数的百位数可以确定减数的个位数，减数的个位数确定被减数的百位数，相减即可． 【详解】（1）解：①；；；；； 故答案为：； ②正确，理由如下：设原来的三位数是，交换位置后的三位数是， ∴， 所以结果一定是9的倍数； （2）， 故答案为4,4,6． 44．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 【答案】(1)C (2)①；② (3)正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积 【分析】本题考查了整式的加减，读懂题意理解求差法，并会运用是解答本题的关键． （1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了，，三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论； （2）①用分别表示出正方形和圆的周长，利用求差法进行比较即可； ②①用分别表示出正方形和圆的面积，利用求差法进行比较即可； （3）正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 【详解】（1）解：“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较， 体现出的数学思想是转化思想， 故选：C； （2）解：①，， ， ； ②，， ， ； （3）解：正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 45．（24-25七年级上·湖南常德·期中）用作差法可以比较两个数或代数式的大小．如为有理数，且，则．当时，；当时，，． (1)已知，直接写出的大小关系，则_______． (2)已知正方形的边长为2，、、、分别是、、、上的点，且．图1中，点是的中点，四边形的面积记为，图2中，点不是的中点，四边形的面积记为． ①直接写出的值___________； ②设，用含的代数式表示； ③比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②；③，见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、列代数式、整式的大小比较等知识点，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （1）依据题意，运用作差法进行判断即可； （2）①根据图1，根据图形的面积列代数式即可；②根据图2，根据图形的面积列代数式即可；③依据题意运用作差法进行判断即可解答． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴． 故答案为：． （2）解：①由题意：． 故答案为：2． ②由题意∶ =2x2-4x+4． ③，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $