专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）已知“”是一个三位数乘两位数的算式，它的乘积可能是（    ） A．2802 B．9424 C．23772 D．30822 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算： ． 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）计算： ． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）化简（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）计算： ． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·湖南怀化·开学考试）两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知a、b是有理数，且，同时，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）约定：三个正整数m，n，a，若满足，称m，n是关于a的“和谐数组”，将这个“和谐数组”记为．如：关于3的“和谐数组”共有2组，分别是．已知关于正整数c的“和谐数组”为，其中的x，y满足，则关于正整数c的“和谐数组”的组数共有 组． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列说法∶①则a一定是负数；②的最大值是3；③ 2019个有理数相乘，其中负数有1949个，那么所得的积为负数∶④ 满足的整数的值有7个．其中正确的结论有（　　） A．① ② ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 2．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）如果4个不等的整数m，n，p，q满足，那么 ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算： ； ； ； ． 4．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算： 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列各对数中，互为倒数的一对是（    ） A．4和 B．和 C．和 D．0和0 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列各数的倒数中，最大的是（   ） A． B． C．3 D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）2023的倒数的相反数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）的倒数的绝对值的相反数为 ． 4．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）下列变形不正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）利用乘法分配律计算时，下列变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）若a，b，c，d均不为0，，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）将十进制数36化为七进制数为 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 4．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数．所以原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)计算：______． (3)请你选择合适的解法计算：． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算的结果是（     ） A． B．7 C． D． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； ； 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则__________； (2)__________；__________．； (3)计算：． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）（正方形与长方形）小芳用2平方分米的正方形纸片测量自己课桌的面积（如图），小芳课桌的面积是（     ）平方分米． A．14 B．28 C．56 D．72 1．（2025·湖南·模拟预测）小明在银行中存入10000元，活期月利率为．存入足够长的时间后，通过网络银行他获取了每个月的总存款（包含利息）信息，他惊奇的发现总存款（包含利息）中首数字为a的最多．则a为多少？（    ） A．1 B．2 C．5 D．9 2．（24-25七年级上·湖南·开学考试）两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米，两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车的车长是 米． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间（分钟） 若每台车床停产一分钟造成经济损失元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：；；中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）近年来，我县以“庄子故里·逍遥蒙城”为载体，扎实推进全县文化旅游工作高质量发展．十一期间，一旅游接待车从P处出发，在东西走向的公路上来回行驶，如果规定该车向东行驶为正，向西行驶为负，则该车一天上午的行驶记录如下：（单位：千米）． ． (1)当该车将最后一名乘客送达目的地后，他在P处的哪个方向？距离P处多远？ (2)若该车耗油量为0.06升/千米，若该车将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问该车今天上午总共消耗了多少升油？ 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·湖南永州·期中）把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）某辆新能源车每次充电都会把电充满，下表记录了该车相邻两次充电时的情况．（注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 充电时间 充电量（度） 充电时的累计里程（千米） 2024年9月30日 10 35000 2024年10月2日 25 35200 在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为（   ） A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）如图①，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图②放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐的刻度尺是1.8，点C对齐的刻度尺是，则数轴上点B所对应的数b为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）如图，数轴上两点所表示的数分别是和2，点到点和点的距离相等，则点在数轴上所表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)请写出与，两点距离相等的点所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动．出发秒后，另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向左运动，某一时刻两只电子蚂蚁在数轴上相距，求此时点对应的数是多少？ 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）若互为倒数，互为相反数，的绝对值是，是最大的负整数，请分别直接写出，，的值； （1） ， ， ， （2） 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____； ②求的最小值； 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 2．（2025七年级上·湖南·专题练习）公顷= 平方千米 千米米= 米 小时 小时 分 吨千克 吨 千克 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）某研究所为测试新研制的一台机器人的性能，让机器人在一条东西走向的直线路上来回走动．测试前给机器人充能焦耳（焦耳是能量单位），并把机器人放置在线路上P处，规定：机器人向东走5米记为+5米，机器人从P点出发连续10次行走的路程（单位：米）记录如下： (1)10次行走结束后，机器人在什么位置？ (2)在行走过程中，机器人距离出发点P最远多少米？ (3)机器人每走1米要消耗焦耳的能量，机器人如果不再充能，能否走回到出发点P？ 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 3．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：①②，③若，则或，其中结论正确的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D．15 2．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（    ） A． B． C．4 D． 5．（24-25七年级上·湖南永州·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算： ； 7．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读把十进制的11转化为二进制的方法，，，，，所以，把27转化为二进制为 ． 8．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 10．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 11．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算： (1)． (2)． 12．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）回答下列问题设，与是什么关系？比较它们的大小． 13．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式    ①     ② ．    ③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错因是______，第二处是第______步，错因是______． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式    …………第一步     …………第二步         …………第三步         …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示（记运进为正，运出为负，单位：吨）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 进出数量 5 3 2 进出次数 2 1 3 2 1 2 2 (1)该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）已知“”是一个三位数乘两位数的算式，它的乘积可能是（    ） A．2802 B．9424 C．23772 D．30822 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法，确定”的范围是解题的关键． 先确定“”的范围，再根据个位相乘的积确定个位数，据此即可解答． 【详解】解：三位数的最小值为203，最大值为293． 两位数的最小值为14（十位不为0），最大值为94． 最小值：；最大值：． 因此，乘积应在2842到27542之间． ∵的个位数为3，的个位数为4， ∴乘积的个位数是的个位数为2． ∴C选项符合题意． 故选C． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为： 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）计算： ． 【答案】8 【分析】利用有理数的乘法分配律计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义即可得到答案． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，根据倒数的定义（两个数乘积为1，则这两个数互为倒数）解答即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴， 故答案为：． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）化简（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则以及将分数与除法相结合． 原式约分即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是有理数的除法运算，先确定符号，再把绝对值相除即可． 【详解】解：， 故答案为： 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·湖南怀化·开学考试）两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据因数与积的变化规律，两个因数同时扩大相同倍数，积扩大倍数为各因数扩大倍数的乘积． 【详解】解：设原两个因数为和，则原积为，当每个因数扩大到原来的3倍后，变为和，新积为，即积扩大到原来的9倍． 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知a、b是有理数，且，同时，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0是解题的关键．根据，知道，同号，又根据，知道，都为负数． 【详解】解： ，同号， 又， ，都为负数， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：根据新定义运算法则可得， 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）约定：三个正整数m，n，a，若满足，称m，n是关于a的“和谐数组”，将这个“和谐数组”记为．如：关于3的“和谐数组”共有2组，分别是．已知关于正整数c的“和谐数组”为，其中的x，y满足，则关于正整数c的“和谐数组”的组数共有 组． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，正确的分解质因数是本题解题的关键 根据新定义写成两数相乘等于一个数，然后分解质因数，求出x，y的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或3或5或9或15或25或31或45或75或93或155或225或279或465， ∴关于正整数c的“和谐数组”的组数共有14组． 故答案为：14． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘法运算；理解新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； （2）按照新定义分步表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列说法∶①则a一定是负数；②的最大值是3；③ 2019个有理数相乘，其中负数有1949个，那么所得的积为负数∶④ 满足的整数的值有7个．其中正确的结论有（　　） A．① ② ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，非负数的性质：绝对值与偶次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用绝对值的代数意义，非负数的性质：绝对值及偶次幂，有理数的乘方、乘法法则判断即可． 【详解】解：①若，则a一定是正数，不符合题意； ②的最大值是3，符合题意； ③2019个有理数相乘，其中负数有1949个，那么所得的积为负数或0，不符合题意； ④满足的整数a的值有，共7个，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）如果4个不等的整数m，n，p，q满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题意得出四个因数分别是，，，，进而即可求解． 【详解】解：因为，每一个因数都是整数且都不相同，那么只可能是，，，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：12 3．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）计算： ； ； ； ． 【答案】 30 【分析】本题考查多个有理数乘法运算，解答时除了正确运用乘法法则外，还需注意利用运算律进行简便运算．先确定积的符号，再计算绝对值即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ． 故答案为：，，30， 4．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列各对数中，互为倒数的一对是（    ） A．4和 B．和 C．和 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了倒数，根据0没有倒数，以及互为倒数的两个数的乘积为1，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、4和不是倒数，故该选项不符合题意； B、，和互为倒数，故该选项符合题意； C、，和不是倒数，故该选项不符合题意； D、0没有倒数，故该选项不符合题意； 故选：B 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列各数的倒数中，最大的是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较和倒数，结合已知条件求得各数的倒数是解题的关键．求得各数的倒数后再比较大小即可． 【详解】解：的倒数为，的倒数为，的倒数是，的倒数是， 则， 倒数最大的数是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）2023的倒数的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数、相反数等知识点，掌握乘积为的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数成为解题的关键． 先求出2023的倒数，再求出其相反数即可． 【详解】解：2023的倒数为，其相反数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）的倒数的绝对值的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、绝对值、相反数，根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可求解，掌握倒数、绝对值、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数为， ∴的倒数的绝对值为， ∴的倒数的绝对值的相反数为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）下列变形不正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律，根据乘法运算律即可判断，掌握乘法运算律是解题的关键． 【详解】解：、，根据乘法交换律可得，原选项变形正确，不符合题意； 、，根据乘法交换律可得，原选项变形正确，不符合题意； 、，根据乘法分配律可得，原选项变形不正确，符合题意； 、，根据乘法交换律和结合律可得，原选项变形正确，不符合题意； 故选：． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）利用乘法分配律计算时，下列变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】． 故选：A． 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键； 将化为，然后乘以，即可求解； 【详解】解：， ， 故答案为： 3．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1)张明，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）若a，b，c，d均不为0，，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值得性质，判断a，b，c，d中有个负数，个正数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a，b，c，d中有个负数，个正数， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意求出的值，再代入计算即可求解 ，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）将十进制数36化为七进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”． 把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘除运算，根据题意列出算式，然后通过法则即可求解，解题的关键是明确题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】由题意可得，， 故答案为：． 4．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数．所以原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)计算：______． (3)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2)15 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握倒数法，是解题的关键： （1）除法没有分配律，解法一错误； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用倒数法进行计算即可。 【详解】（1）解：除法没有分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （2）； （3）原式的倒数 ， 所以原式． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算的结果是（     ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合运算．先确定符号，再算除法，然后算乘法即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将化为即可计算． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 【答案】60 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及正方形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：正方形的面积边长边长． 首先根据正方形的面积边长边长，求出边长3分米的方砖的面积，然后用它乘240，求出这间房间的底面积，最后用这间房间的底面积除以边长6分米的方砖的面积，求出需要边长6分米的方砖多少块即可． 【详解】解： （块）． 答：若选用边长6分米的方砖，需60块． 故答案为：60． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； ； 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则__________； (2)__________；__________．； (3)计算：． 【答案】(1)4 (2)27， (3)48 【分析】本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：4； （2）解：， 故答案为：27； ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）（正方形与长方形）小芳用2平方分米的正方形纸片测量自己课桌的面积（如图），小芳课桌的面积是（     ）平方分米． A．14 B．28 C．56 D．72 【答案】C 【分析】本题考查长方形的面积，由图可知长方形的长为个小正方形的长，宽为个小正方形的长，然后利用面积公式计算即可． 【详解】解：课桌的面积为（平方分米）． 故选C． 1．（2025·湖南·模拟预测）小明在银行中存入10000元，活期月利率为．存入足够长的时间后，通过网络银行他获取了每个月的总存款（包含利息）信息，他惊奇的发现总存款（包含利息）中首数字为a的最多．则a为多少？（    ） A．1 B．2 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是理解总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多，总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多，即可判断． 【详解】解：根据活期月利率为，则每个月存款的增长量大约是元，考虑到利息是不断累加的，存款的数额会越来越大，并且随着存入的时间越久，增长的越快， 故总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多， 首数字为1比首数字为2出现的次数多， 总存款由元到元所需要的月份比元到元的月份数多， 首数字为2比首数字为3出现的次数多， 同理可得； 首数字为8比首数字为9出现的次数多， 所以总存款中首数字为1，出现的次数最多， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南·开学考试）两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米，两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车的车长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了相遇问题，有理数的混合运算的实际应用，题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇．即和乙车的车尾相遇．路程和就是乙车的车长．先换算甲、乙车的速度单位，再根据相遇问题解题即可． 【详解】解：甲车的速度（米/秒）， 乙车的速度（米/秒）， 根据题意可知甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇．即和乙车的车尾相遇．路程和就是乙车的车长． 所以乙车的车长（米）， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间（分钟） 若每台车床停产一分钟造成经济损失元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：；；中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 【分析】本题考查了逻辑推理，有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （）一名修理工修按的顺序修，另一名修理工修按，修复时间最短，据此计算即可； 【详解】解：（）要使经济损失最少，就要使总停产最短即可， 则先修复时间短，让机器尽快回复运转， ∴，即修复车床的顺序：， 故答案为：； （）一名修理工修理5分钟，分钟，分钟，另一名修理工修理7分钟，理分钟， ∴五台机器总停产时间为（分）， ∴则最少经济损失为（元）， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）近年来，我县以“庄子故里·逍遥蒙城”为载体，扎实推进全县文化旅游工作高质量发展．十一期间，一旅游接待车从P处出发，在东西走向的公路上来回行驶，如果规定该车向东行驶为正，向西行驶为负，则该车一天上午的行驶记录如下：（单位：千米）． ． (1)当该车将最后一名乘客送达目的地后，他在P处的哪个方向？距离P处多远？ (2)若该车耗油量为0.06升/千米，若该车将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问该车今天上午总共消耗了多少升油？ 【答案】(1)西方，2千米 (2)7.2升 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数的混合运算，明确题意，正确列式，是解题的关键． （1）通过计算这10次车辆行驶记录结果的和就能得到此题结果； （2）计算出该车的路程之和，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：（千米）， 所以当该车将最后一名乘客送达目的地后，他在P处的西方，距离P处2千米； （2）解： （升）， 答：该车今天上午总共消耗了7.2升油． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·湖南永州·期中）把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，根据把一根长度为5米的绳子平均分成4段，得出每一段绳子的长度是米，即可作答． 【详解】解：∵把一根长度为5米的绳子平均分成4段， ∴（米）， ∴每一段绳子的长度是米， 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）某辆新能源车每次充电都会把电充满，下表记录了该车相邻两次充电时的情况．（注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 充电时间 充电量（度） 充电时的累计里程（千米） 2024年9月30日 10 35000 2024年10月2日 25 35200 在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为（   ） A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度 【答案】B 【分析】本题考查了有理数除法的应用．需要学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．由表格信息，得到该车跑了200千米，用电度，由此得到该车每100千米平均耗油量． 【详解】解：由表格信息，跑了千米，用电度， 所以该车每100千米平均耗电量（度）． 故选：B． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 3．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据用6辆小客车和两辆大客车每次可运送学生数减去1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生去除以多的小客车数得到每辆小客车能坐人数，然后计算每辆大客车能坐人数解答即可． 【详解】解：每辆小客车能坐人数为名， 每辆大客车能坐人数为名， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【答案】(1)后开始获胜，方法见解析 (2)先开始的人有必胜策略，方法见解析 【分析】本题考查了博弈策略，整数的除法运算及余数概念，熟练掌握整数的除法运算及余数概念是解题的关键； （1）根据每轮两人戳洞的总数情况，得出选择控制每轮两人一共戳3个洞（一人戳1个时另一人戳2个，或者一人戳2个时另一人戳1个）．根据不管先开始的人第一次戳1个还是2个圆圈，后开始的人都可以通过相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共3戳个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳3个圆圈，这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈获胜． （2）根据两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，同样要从24个圆圈总数出发，找到合适的每轮戳洞总数，让其能整除（或结合余数来控制局面），以确定必胜策略．分别计算除以每轮可能总数的情况发现，如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 【详解】（1）解：后开始的必胜， ∵每人一次可戳一个或两个圆圈， ∴两人一轮戳洞的数量之和存在三种可能情况： 若两人都戳一个圆圈，一轮共戳2个圆圈； 若一人戳一个，另一人戳两个，一轮共戳3个圆圈； 若两人都戳两个圆圈，一轮共戳4个圆圈． 通过计算分别除以每轮可能的总数情况： （轮）； （轮）； （轮）． 发现24能被3整除，这意味着如果能保证每轮两人一共3戳个圆圈，经过8轮就能戳完所有圆圈，并且可以通过先后手的策略来控制局面． 具体操作如下： 先开始的人先戳洞，不管先开始的人第一次戳1个还是1个圆圈，后开始的人都可以相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共戳3个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共3戳个圆圈．这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈，从而获胜． （2）先开始的人有必胜策略． ∵游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个）， ∴两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈， ∴； ； ； ； ； ； ． 发现，即如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 具体操作如下： 先开始的人先戳4个圆圈，此时剩下个圆圈．然后不管后开始的人戳1个、2个、3个还是4个圆圈，先开始的人在后续的每一轮中，都根据后开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳5个圆圈．这样经过4轮后，先开始的人就可以戳到最后一个圆圈，进而获胜． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）如图①，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图②放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐的刻度尺是1.8，点C对齐的刻度尺是，则数轴上点B所对应的数b为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的概念，有理数的混合运算，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字0对齐数轴上的点，点B对齐刻度，点C对齐刻度， ， ， 解得， 故选：C． 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）如图，数轴上两点所表示的数分别是和2，点到点和点的距离相等，则点在数轴上所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴，数轴上两点间的距离公式．根据A、B两点所表示的数分别为和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是和2， ∴线段的中点所表示的数． 即点C所表示的数是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)请写出与，两点距离相等的点所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动．出发秒后，另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向左运动，某一时刻两只电子蚂蚁在数轴上相距，求此时点对应的数是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)点表示的数为或． 【分析】本题主要考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题，解决本题的关键是要熟练掌握行程问题的等量关系． (1)先求出长度，由两点间距离即可求出点对应的数； (2)先求出电子蚂蚁的相遇时间，进而求得相遇时点运动的路程，即可得出点对应的数； (3)分点在点左面，相距个单位时，和当点在点左面，相距个单位时两种情况，利用有理数的混合运算进行计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点表示的数为：， （2）解：两之电子蚂蚁共同行走的路程为：， 它们的相遇时间是（秒）， 即相遇时点运动的路程为：， 因此点表示的数为：． （3）解：当点在点左面，相距个单位时， 两只蚂蚁的运动时间为：（秒）， 即点运动的路程为：， 因此点表示的数为：； 当点在点左面，相距个单位时， 两只蚂蚁的运动时间为：（秒）， 即点运动的路程为：， 因此点表示的数为：； 综上，点表示的数为或． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）若互为倒数，互为相反数，的绝对值是，是最大的负整数，请分别直接写出，，的值； （1） ， ， ， （2） 【答案】 【分析】本题考查了倒数、相反数，绝对值的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：①；②；③；④⑤ ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____； ②求的最小值； 【答案】(1) (2)或 (3)①，；② 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，绝对值的最小值，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值最小值的特点和意义是解题的关键． （1）利用距离公式，计算即可； （2）根据绝对值的意义化简计算即可； （3）①根据，得到，确定整数解即可；根据，当时，取得最小值，且为； ②根据可得，中间的一个式子是，故当时，取得最小值． 【详解】（1）解：数的点和表示数3的点之间的距离是， 故答案为：8． （2）解：∵， ∴或， 故答案为：或5． （3）解：①∵当时，， ∴符合题意的整数有共有6个， ∵当时，取得最小值， 此时； ②根据可得，中间的一个式子是， 故当时，取得最小值．且最小值为，计算得结果为， 故最小值为． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（    ）分钟小华可追上小明． A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】先求出5分钟后，两人相距多少米，用相距路程(甲的速度乙的速度)来计算；再用追及时间相距路程(乙的速度甲的速度)来求乙追上甲经过的时间． 【详解】解：（米）； （分钟）． 故选D． 【点睛】本题考查行程问题．解题的关键是熟练掌握计算方法． 2．（2025七年级上·湖南·专题练习）公顷= 平方千米 千米米= 米 小时 小时 分 吨千克 吨 千克 【答案】 【分析】本题考查了单位换算，根据平方千米公顷，千米米，小时分，吨千克，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算，需要计算的计算即可．其中单名数换复名数，只换算小数部分即可；复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（平方千米）；（米）；（米） （分）；（吨）、（吨）； （千克）、（千克），公顷平方千米； 千米米米，小时小时分；吨千克吨千克， 故答案为：，，，，，． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）某研究所为测试新研制的一台机器人的性能，让机器人在一条东西走向的直线路上来回走动．测试前给机器人充能焦耳（焦耳是能量单位），并把机器人放置在线路上P处，规定：机器人向东走5米记为+5米，机器人从P点出发连续10次行走的路程（单位：米）记录如下： (1)10次行走结束后，机器人在什么位置？ (2)在行走过程中，机器人距离出发点P最远多少米？ (3)机器人每走1米要消耗焦耳的能量，机器人如果不再充能，能否走回到出发点P？ 【答案】(1)机器人在P点以东米处； (2)16米； (3)机器人如果不再充能，不能走回到出发点P． 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将所给的有理数相加，即可解答； （2）计算每次行走后离出发点的距离即可得到答案； （3）将所给数据和最后离P点的距离的绝对值相加再乘以即可解决问题． 【详解】（1）解：（米）， 即10次行走结束后，机器人在P点以东米处； （2）米， （米）； （米）； （米）； （米）； （米）； （米）； （米）； （米）； （米）； 答：在行走过程中，机器人距离出发点P最远16米； （3）（米）， 则共消耗能量， ∵， ∴机器人如果不再充能，不能走回到出发点P． 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给式子进行变形求解即可； （2）结合（1）中的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 故答案为： （2） ． 【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 3．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ＝1 ＝1 ； 【点睛】本题考查了有理数的加减，根据例题掌握裂项相减是解题的关键． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：①②，③若，则或，其中结论正确的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：，故①正确； ， ∴，故②错误； ， ∴或， ∴或；故③正确； 故选B 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 【答案】(1)①③， (2) (3) 【分析】（1）根据已知新运算公式分别计算，再根据“开心数对”的定义判断即可； （2）根据已知新运算公式，结合有理数混合运算法则，即可计算求值； （3）根据“开心数对”的定义，将代数式变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，， ，， ，即，是“开心数对”； ②，， ，， ，即，不是“开心数对”； ③， ，， ，即，是“开心数对”； 故答案为：①③； （2）解： ； （3）解：两个连续的非零整数都是“开心数对”， ． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，有理数的混合运算，正确理解“开心数对”的定义，掌握相关运算法则是解题关键． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D．15 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法运算进行求解即可 【详解】解：； 故选：C ． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现这列数从开始按，，循环是解题的关键． 根据所给差倒数的定义，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， … 由此可见，这列数从开始按，，循环， ， ， 故选A． 5．（24-25七年级上·湖南永州·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了数轴动点问题，有理数的除法的应用，根据数轴上数字在正方形滚动过程中的对应规律，找到滚动过程中数字的对应方式即可解答． 【详解】解：， ∴正方形到达数轴上的数字2024时，正方形滚动253圈后再滚动1次， 正方形的顶点每次循环一次，即第一次为点C，第二次为点B，第三次为点A，第四次为点D，； ∴数轴上的数字2024将与字母C重合， 故选：C． 6．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南常德·期中）阅读把十进制的11转化为二进制的方法，，，，，所以，把27转化为二进制为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算算，根据题意列式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴把27转化为二进制为． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【详解】解：， （元）； 故答案为： 10．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 11．（24-25七年级上·湖南常德·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）回答下列问题设，与是什么关系？比较它们的大小． 【答案】与互为倒数，大小见详解 【分析】本题考查了倒数，有理数大小比较，掌握相关定义是解题的关键． 根据倒数的定义解答即可，注意分情况讨论． 【详解】解：∵， ∴与互为倒数． 当时，，即， 当时，， 当时，，即， 13．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式    ①     ② ．    ③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错因是______，第二处是第______步，错因是______． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)②；乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序；③；两数相除，同号为正； (2)过程见解析， 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算： （1）根据同级运算应从左到右的顺序依次进行计算以及两数相除，同号为正，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一处是第②步，错因是乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序，第二处是第③步，错因是两数相除，同号为正， 故答案为：②；乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序；③；两数相除，同号为正； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式    …………第一步     …………第二步         …………第三步         …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配； (2)二； (3)见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：分配； （2）解：她在第二步出错了，因为除法没有分配律， 故答案为：二； （3）解： ． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示（记运进为正，运出为负，单位：吨）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 进出数量 5 3 2 进出次数 2 1 3 2 1 2 2 (1)该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)该周仓库的原料比原来增加了吨 (2)方案二所需运费少，更合适 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）求出进出数量乘以进出次数之和，进行判断即可； （2）求出两种方案所需的总运费，进行比较即可． 【详解】（1）解：（吨）； 答：该周仓库的原料比原来增加了吨； （2）方案一：（元）； 方案二：（元）； ∵， 故方案二所需运费少，更合适． 学科网（北京）股份有限公司 $$