专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 有理数加法在生活中的应用 题型八 有理数减法的实际应用 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）（   ） A． B． C． D．3 2．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）利用有理数的加法法则，的结果符号应确定为 ，（填“” “”）计算结果是 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）（1）有理数加法运算，一般是先把 的数相加． （2）在运用加法交换律交换加数的位置时，各加数要 ． 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）的值是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算的结果等于 ． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习） ． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是（   ） A． B．6或 C．4 D．或4 1．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）设表示不超过的最大整数，如：，．计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）已知，且，则值等于 ． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 4．（24-25七年级上·湖南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中，错误的个数为（   ） ①；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）计算19+（﹣20）= = ．（请写出中间步骤） 3．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）写出一个算式，满足“两数的和是，且这两数异号”的条件，则算式为 ． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法： 解：16+（-25）+24+（-35） =（16+24）+[（-25）+（-35）] =40+（-60）=-20 从而使运算简化，他根据的是 ． 4．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（    ） A．5 B．4 C． D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）若，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； (3)若x表示一个有理数，且，则__________； 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列式子可读作：“负1，负3，正6，负8的和”的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·湖南·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为(   ) -1 △ c 0 a d -5 b -3 A．2 B． C． D．6 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知，，，且，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数学小组对校园部分建筑物的高度进行测量，并把建筑物的高度差记作（如：比高1米，则米；比低1米，则米）．该小组将已测量的，六座建筑物的高度，整理出如下表所示的相关数据，则 米． 建筑物的高度差 测量结果（米） 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）设表示不超过的最大整数，例如，， (1)求的值 (2)令，求的值 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 1．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·课后作业）计算： ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）观察下列式子：，，，…请计算( ) 4．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【经典例题七 有理数加法在生活中的应用】 【例7】（24-25七年级上·湖南张家界·期中）小明同学的微信钱包在某段时间内的账单明细如图所示，表示支出元，表示收入元．对于小明该段时间内的收支情况，下列说法正确的是（   ） A．合计收入元 B．合计支出元 C．合计收入元 D．合计支出元 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）青龙县城某天早晨气温是，到中午气温上升了，这天中午气温是 ℃． 3．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是 ，现有另一零件的标注为其零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为，，，，，，，则该零件的标准尺寸可能是 （写出一个满足条件的尺寸，结果保留一位小数）． 4．（24-25七年级上·湖南永州·期中）2024年国庆节，湖南株洲放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【经典例题八 有理数减法的实际应用】 【例8】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（  ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）生活中经常看到用正负数表示允许偏差的情形，在某个范围内，只要不影响使用，都属于合格品．如图、某品牌排球的产品参数标明球质量是，这表示排球的标准质量是，偏差是，下列质量的排球属于合格的是（    ） 型号 尺寸 5号 质量 周长 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例9】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）小亮和小帅在游戏中规定：长方形表示减，圆形表示加，结果大者为胜．如图，列式计算，小亮和小帅谁为胜者？ 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下(单位：千米)：， (1)求收工时距A地多远？ (2)若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？ (3)第几次行驶小组距点A最远？ 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）刘明利用业余时间进行射箭训练，上星期日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 当天训练的平均成绩/环 9.5 9.7 9.5 9.7 9 平均成绩变化/环 (1)请补全表中数据； (2)本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了还是下降了？其变动的环数是多少？ 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）符号“f”表示，一种定义新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，   ． 3．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）若，，，…，照此规律试求： (1)计算：__________； (2)计算：； (3)计算： 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．小超在草稿纸上画了一条数轴，并剪下包含线段一段纸条（点，表示的数分别为，），然后把这个纸条按如图方式折叠，在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，那么折痕处对应的点所表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）情境  如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 操作：（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______． （2）如图2，有一根小木棒，其中点C和原点重合，点D表示的数为3，现将木棒沿着数轴以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时木棒也沿着该数轴以个单位长度的速度向右运动，求这两根木棒运动4秒后的距离（即点D到点A的距离）． 探究：一天，嘉嘉去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年后才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”那么嘉嘉再过5年的年龄是多少？（借助数轴解题更方便） 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）规定一种新运算：，例如：， （1）请计算： ． （2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）． 3．（24-25七年级上湖南娄底·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）第33届夏季奥运会于当地时间2024年7月26日19时30分在法国巴黎开幕，巴黎与北京的时差为时，即同一时刻比北京晚6个小时． (1)求第33届夏季奥运会开幕时的北京时间． (2)第24届冬季奥运会是2022年2月4日20时在北京开幕的，求这一时刻法国巴黎的时间． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）四川省渠县中学为了提高足球运动员快速转身抢断能力，教练设计了折返跑训练．在足球场上画一条东西方向的直线，如果约定向东为正，向西为负，一运动员折返跑训练的记录如下（单位：米）： ，，，，，，，，，．请解答下列问题： (1)该运动员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)在这次训练过程中，该运动员最远处离出发点多远？ (3)该运动员本次训练结束，共跑了多少米？ 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 1．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 2．（24-25七年级上·湖南益阳·开学考试）如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南娄底·模拟预测）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 6．（24-25七年级上·湖南常德·期末）计算： ． 7．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如试求的值为 ． 8．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是 日． 10．（2025·湖南永州·模拟预测）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 11．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）计算： 12．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列两个有理数相加：①两个正数；②两个负数；③一正一负，但正数的绝对值较大；④一正一负，但正数的绝对值较小；⑤零与正数；⑥零与负数；那么， （1）和为正数的是（填入代号，下同）_____________； （2）和为负数的是_____________； （3）和的绝对值等于加数绝对值的和的是_____________； （4）和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是_____________； （5）和等于其中一个加数的是_____________ 13．（24-25七年级上·湖南常德·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．    14．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 15．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）随着互联网的普及，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明也把自己家的冬枣放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周冬枣的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：)； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出 ___ ； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 ___； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量？ (4)若每千克冬枣按8元出售，每千克冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 有理数加法在生活中的应用 题型八 有理数减法的实际应用 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）利用有理数的加法法则，的结果符号应确定为 ，（填“” “”）计算结果是 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算法则，掌握其运算法则即可求解，根据有理数加法运算法则可得，计算结果的符号与绝对值较大数的符号相同，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴结果的符号与的符合相同， ∴， 故答案为：①；② ． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可． 【详解】解：，利用的加括号法则，故选项A不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）（1）有理数加法运算，一般是先把 的数相加． （2）在运用加法交换律交换加数的位置时，各加数要 ． 【答案】 同号 连同符号一起交换 【解析】略 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数的相反数就等于加上这个数即可． 【详解】解：， 故选A． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，能把减法变成加法是解此题的关键，先根据有理数的减法法则把减法变成加法，再把加号和括号去掉即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·开学考试）数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是（   ） A． B．6或 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的间的距离，解题的关键注意分类讨论． 数轴上到数所表示的点的距离为5的点有两个，故得到或． 【详解】解：由题意得：或， ∴数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是或4， 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）设表示不超过的最大整数，如：，．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数比较大小，新定义，根据新定义可得，据此根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）已知，且，则值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则与性质是解题的关键． 根据绝对值的性质求出、的值，再判断出、的对应情况，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据九宫格特点“同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等”列数等式解题即可． 【详解】解：如图所示， 则 ∴ 解得：， ∴正中间的方格中的数字为 如图所示， ∵， ∴ ∴中间一行的和为 ∴所有数字的和为 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·湖南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （2）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （3）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； （4）根据有理数的加法法则和加法运算律计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中，错误的个数为（   ） ①；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较大小，有理数的减法，绝对值的意义，根据数轴可得，，再据此逐个推理即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴，，，， 因此①正确，②错误，③错误，④错误， 本题错误的个数有3个， 故选：C． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）计算19+（﹣20）= = ．（请写出中间步骤） 【答案】 ﹣（20﹣19） -1 【分析】根据有理数的加法法则解答即可． 【详解】19+（﹣20）=﹣（20﹣19）=﹣1， 故答案为：﹣（20﹣19）；﹣1． 【点睛】本题考查了有理数的加法，关键是根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值解答． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·课后作业）写出一个算式，满足“两数的和是，且这两数异号”的条件，则算式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用有理数的加法法则和两数异号的条件解答即可． 【详解】解：两数的和是，且这两数异号，则算式为（答案不唯一）． 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的加法运用，灵活运用有理数的加法法则是解答本题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 【答案】(1)； (2)>；<；< (3)． 【分析】本题考查了相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简； （1）根据，与原点的距离判断其相反数在数轴上的位置即可； （2）根据数轴上右边的数比左边的数大；同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， 计算求值即可； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可； 【详解】（1）解：∵离原点的距离要大于离原点的距离， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，，， ∴的符号为负， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可得：，，； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴ ； 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键．根据同分母分数可以利用凑整法，解答即可． 【详解】观察分母，在计算时， 中可以填， 得 ． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法： 解：16+（-25）+24+（-35） =（16+24）+[（-25）+（-35）] =40+（-60）=-20 从而使运算简化，他根据的是 ． 【答案】加法交换律和加法结合律 【分析】分析运算过程解答即可． 【详解】解：16+(-25)+24+(-35) =(16+24)+[(-25)+(-35)]（加法交换律和加法结合律） =40+(-60)=-20． 故答案为：加法交换律和加法结合律． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法的加法交换律和加法结合律是解答本题的关键． 4．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法计算，用点A表示的数减去移动的距离即可得到答案． 【详解】解：∵点A表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B， ∴点B表示的数为， 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，如何表示数轴上两点之间的距离及绝对值的化简，得出是解题的关键．根据表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离，当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，且，可得绝对值方程，从而求出b的值． 【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离， 当点P在点A、点B两点之间时，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴或9． 故选：C． 2．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的减法，熟练掌握绝对值的意义，有理数的减法计算法则是解题的关键．由可得，，再分类计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，根据图以及图所表示的算式，领会图中圆所表示的意义，根据图所表示的规律得到图表示的算式． 【详解】解：由图可知，左边有个带有“”号的圆，表示， 又增加了个带有“”号的圆，表示增加了， 然后与抵消， 还剩下个带“”号的圆，表示还剩下， 这个算式应表示为：． 故答案为： ． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； (3)若x表示一个有理数，且，则__________； 【答案】(1)2，7，6 (2) (3)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （2）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （3）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和3两点之间的距离是； 数轴上表示2和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是 故答案为：2；7；6； （2）解：因为在数轴上、两点之间的距离 所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．； 故答案为：； （3）解：表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和， ∵， ∴． 故答案为：6． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列式子可读作：“负1，负3，正6，负8的和”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和减法计算；理解有理数加减法的定义和法则是解题的关键． 【详解】解：A、，可以读作“负1，负3，正6，正8的和”，不符合题意； B、，可以读作“负1，负3，正6，负8的和”，符合题意； C、，可以读作“负1，正3，负6，正8的和”，不符合题意； D、，可以读作“负1，负3，负6，正8的和”，不符合题意； 故选：B． 1．（2025七年级上·湖南·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为(   ) -1 △ c 0 a d -5 b -3 A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）已知，，，且，则 ． 【答案】6或10或 【分析】本题考查了去绝对值及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据去绝对值的方法求出，，再分四种情况讨论是否符合，然后再代入求值计算即可． 【详解】解：，，， ，， 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，，不符合题意； 综上所述，的值为：6或10或； 故答案为：6或10或． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数学小组对校园部分建筑物的高度进行测量，并把建筑物的高度差记作（如：比高1米，则米；比低1米，则米）．该小组将已测量的，六座建筑物的高度，整理出如下表所示的相关数据，则 米． 建筑物的高度差 测量结果（米） 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，减法的应用，观察表格，若将表格中的所有数加起来，即是的值，结合相反数的含义可得的值． 【详解】解：∵ ， 而 ， ∴， ∴， 故答案为： 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）设表示不超过的最大整数，例如，， (1)求的值 (2)令，求的值 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义的理解应用问题以及有理数的混合计算、有理数的大小比较，明确不超过就是小于或等于，即“”，认真领会新定义，并能根据新定义化成一般的有理数混合计算的式子，再计算． （1）根据新定义得：，，，再代入计算即可； （2）根据新定义得：，，，再代入原式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 1．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·课后作业）计算： ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了有理数的减法，先把减法转化为加法，再按加法法则计算． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·阶段练习）观察下列式子：，，，…请计算( ) 【答案】/ 【分析】该题考查了有理数的加减运算，观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题七 有理数加法在生活中的应用】 【例7】（24-25七年级上·湖南张家界·期中）小明同学的微信钱包在某段时间内的账单明细如图所示，表示支出元，表示收入元．对于小明该段时间内的收支情况，下列说法正确的是（   ） A．合计收入元 B．合计支出元 C．合计收入元 D．合计支出元 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的运算法则以及正数和负数的意义是解题的关键．根据题意，计算合计收支情况为，再根据题目中负数表示的意义即可得出结论． 【详解】解：合计收支情况为：， 根据题意，负数表示“支出”， 所以表示支出元． 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）青龙县城某天早晨气温是，到中午气温上升了，这天中午气温是 ℃． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，关键是能根据题意列出算式． 根据题意列算式求解即可； 【详解】解：根据题意列算式得：， 故答案为： 3．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是 ，现有另一零件的标注为其零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为，，，，，，，则该零件的标准尺寸可能是 （写出一个满足条件的尺寸，结果保留一位小数）． 【答案】 （或，，） 【分析】本题考查正负数的意义，审清题意，明确正数和负数表示的意义，根据题意作答．解题关键在于仔细审题，找出符合条件的区间，并取合适的值．也考查了有理数的加减运算． 【详解】解：由题意得：这个零件的直径尺寸超过标准尺寸时记为正，低于标准尺寸时记为负， ∴最大尺寸为：； ∵给出的七个合格产品尺寸最大为，最小为， 又∵，， ∴该零件的标准尺寸在和之间， 该零件的标准尺寸可能是（或，，）． 故答案为：；（或，，）． 4．（24-25七年级上·湖南永州·期中）2024年国庆节，湖南株洲放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 【经典例题八 有理数减法的实际应用】 【例8】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（  ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵ ∴日温差最大的一天是星期二， 故选：B 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）生活中经常看到用正负数表示允许偏差的情形，在某个范围内，只要不影响使用，都属于合格品．如图、某品牌排球的产品参数标明球质量是，这表示排球的标准质量是，偏差是，下列质量的排球属于合格的是（    ） 型号 尺寸 5号 质量 周长 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查正数、负数的意义，根据规定排球的标准质量为，求出合格排球的质量的取值范围，再从各选项中得出答案． 【详解】解：根据规定排球的标准质量为，合格最大值为，合格最小值为， 各个选项中只有在这个范围内， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 【答案】225 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数，正确理解题意是解题关键．根据题意，（米），为90米表示观测点A比观测点C高90米，所以（米），所以（米），即观测点A比观测点D高170米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点E高230米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点F高180米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点G高265米，因为（米），所以（米）． 【详解】解：因为（米），（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）． 故答案为：225． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例9】（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）小亮和小帅在游戏中规定：长方形表示减，圆形表示加，结果大者为胜．如图，列式计算，小亮和小帅谁为胜者？ 【答案】小帅 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，有理数的大小比较．根据题意列出算式，计算结果，比较大小即可得出结论 【详解】解：小亮：原式， 小帅：原式， ∵ ∴小帅为胜者． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下(单位：千米)：， (1)求收工时距A地多远？ (2)若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？ (3)第几次行驶小组距点A最远？ 【答案】(1)收工时在A的东面，距A地1千米 (2)共耗油升 (3)在第五次记录时距A地最远，距离A地8米 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是理解具有相反意义的量，并理解题意． （1）把所有数值相加即可，若结果得正，就说明在A地的东面，若结果为负，则说明在A地的西面； （2）先计算所有数值的绝对值之和，再乘以即可； （3）通过观察可知，当算到第五次时，应该是距A地最远，把第一次到第五次的数值相加即可． 【详解】（1）解：， 答：收工时在A的东面，距A地1千米； （2）解：， （升） 答：共耗油升． （3）解：， ∴第一次记录时，检修小组在A地西侧，距离A第处， ， ∴第二次记录时，检修小组在A地东侧，距离A地处， ， ∴第三次记录时，检修小组在A地西侧，距离A地处， ， ∴第四次记录时，检修小组在A地东侧，距离A地处， ， ∴第五次记录时，检修小组在A地东侧，距离A地处， ， ∴第六次记录时，检修小组在A地东侧，距离A地处， ， ∴第七次记录时，检修小组在A地西侧，距离A地处， ， 答：在第五次记录时距A地最远，距离A地8千米； 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】(1)星期五，个； (2)小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）刘明利用业余时间进行射箭训练，上星期日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 当天训练的平均成绩/环 9.5 9.7 9.5 9.7 9 平均成绩变化/环 (1)请补全表中数据； (2)本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了还是下降了？其变动的环数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了环 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，根据题意得出数量关系，列出算式计算是解题的关键． （1）根据表中数据，结合上星期日训练的平均成绩是8.5环，分别计算出即可； （2）本周日的成绩减上周日的成绩，若所得的结果为正，则提高，否则，下降． 【详解】（1）解：周一：（环） 周三：（环） 周六：（环） 周日：（环） 补全表个如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 当天训练的平均成绩/环 9.5 9.7 9.5 9.7 9 平均成绩变化/环 （2）解：（环） 答：本星期日的成绩和上星期日的成绩相比是提高了环． 4．（24-25七年级上·湖南常德·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作，理由见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题中的操作规定，探索出数字之间的变化规律是解题的关键． （1）按照题中规定操作，即可求解； （2）如果只进行一次，只能改变相邻个数，剩下个数不相等，故至少次操作； （3）按照每次操作后，四个数的和是奇数（或偶数）的不变性，可以得出，，，不管以何种方式排列，通过若干次操作后都不能变成相等的个数． 【详解】（1）解：如图②即为所求； （2） 要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作， 如果只进行次操作，只能改变相邻的两个数，剩下的两个数不相等，因此最少需要通过次操作； （3）解：不能，理由如下： 为奇数， 又操作一次，将相邻两个数都减去同一个数，其余数不变，即得到的四个数的和为奇数， 最终得到四个相同的数， 最后得到的四个数的和为偶数， 不能将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）符号“f”表示，一种定义新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法：数字的变化类，观察（1）中的各数，我们可以得出，观察（2）中的各数，我们可以得出，由此我们可以计算的值． 【详解】解：观察（1）中的各数，我们可以得出， 观察（2）中的各数，我们可以得出． 则：． 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，   ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加减，根据已知图形找出一般规律是解题关键． 根据题意发现一般规律  ，进而即可求解． 【详解】解：由图形可知，， ， ， 发现一般规律，  ， 则  ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）若，，，…，照此规律试求： (1)计算：__________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的性质，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简绝对值，即得答案； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数加法的交换律与结合律简化计算，即得答案； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数加法的交换律与结合律简化计算，即得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为: ； （2）解： ； （3）解： ． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（2025·湖南株洲·模拟预测）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的减法运算，读懂题意是解题的关键． 由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4，据此再利用有理数的减法计算即可． 【详解】解：由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4， ∴刻度尺上的“”对应数轴上的数为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．小超在草稿纸上画了一条数轴，并剪下包含线段一段纸条（点，表示的数分别为，），然后把这个纸条按如图方式折叠，在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，那么折痕处对应的点所表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上的折叠变换问题，有理数的加法运算，分当，当，当三种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：设折痕处对应的点所表示的数是， 如图，当， 设，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数是， 如图，当， 设，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当， 设，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上可知：折痕处对应的点所表示的数是或或， 故答案为：或或． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）情境  如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 操作：（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______． （2）如图2，有一根小木棒，其中点C和原点重合，点D表示的数为3，现将木棒沿着数轴以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时木棒也沿着该数轴以个单位长度的速度向右运动，求这两根木棒运动4秒后的距离（即点D到点A的距离）． 探究：一天，嘉嘉去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年后才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”那么嘉嘉再过5年的年龄是多少？（借助数轴解题更方便） 【答案】操作：（1）8；（2）；探究：再过5年后嘉嘉的年龄为20岁 【分析】本题主要考查了一个线段模型的运用，数轴上两点间的距离，解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄． 操作：（1）根据图象可知3倍木棒的长为，即得答案； （2）根据，求出A点B点所表示的数，可求出4秒后点D点A所表示的数，即可求解； 探究：运用（1）（2）中“数轴”上的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一条线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】操作： 解：（1）观察数轴可知数轴上表示6的点与表示30的点的距离是三根木棒的长，即， 所以这根木棒的长为； （2）因为， 所以点A表示的数为，点B表示的数为， 4秒后点D的位置为，点A的位置为， 则此时两根木棒的距离为． 探究：当奶奶像嘉嘉这样大时，嘉嘉为岁， 所以奶奶与嘉嘉的年龄差为（岁）， 所以嘉嘉现在的年龄为（岁）， 所以再过5年后嘉嘉的年龄为20岁． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）规定一种新运算：，例如：， （1）请计算： ． （2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）． 【答案】 是 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新运算的定义计算即可； （2）求出与，再验证与是否相等即可得出结论． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）该新运算满足交换律，理由如下： ， ， ， 该新运算满足交换律， 故答案为：是． 3．（24-25七年级上湖南娄底·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【答案】（）；；；（）；． 【分析】（）根据题意可知，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （）根据题意可去绝对值得到，由有理数加减运算法则求解即可； 根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可； 本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意，掌握去绝对值的方法是解题的关键． 【详解】解：（）； ； ； 故答案为：；；； （）解：原式 ， 故答案为：； 解：原式 ． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）第33届夏季奥运会于当地时间2024年7月26日19时30分在法国巴黎开幕，巴黎与北京的时差为时，即同一时刻比北京晚6个小时． (1)求第33届夏季奥运会开幕时的北京时间． (2)第24届冬季奥运会是2022年2月4日20时在北京开幕的，求这一时刻法国巴黎的时间． 【答案】(1)2024年7月27日1时30分， (2)2022年2月4日14时 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，有理数加减法在实际生活中的应用；熟练掌握正负数的意义，时差，是解题关键． （1）根据“巴黎与北京的时差为时”，得同一时刻北京时间比该地区时间早6小时计算，超过24小时进1日； （2）根据巴黎时间比北京时间晚6小时计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 第33届夏季奥运会开幕式的时间是巴黎时间2024年7月26日19时30分，北京时间为7月27日1时30分， （2）解：， 第24届冬季奥运会开幕式的时间是北京时间2022年2月4日20时，巴黎时间为2月4日14时． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·阶段练习）四川省渠县中学为了提高足球运动员快速转身抢断能力，教练设计了折返跑训练．在足球场上画一条东西方向的直线，如果约定向东为正，向西为负，一运动员折返跑训练的记录如下（单位：米）： ，，，，，，，，，．请解答下列问题： (1)该运动员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)在这次训练过程中，该运动员最远处离出发点多远？ (3)该运动员本次训练结束，共跑了多少米？ 【答案】(1)最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15米 (2)在这次训练过程中，该运动员最远处离出发点45米 (3)该运动员本次训练结束，共跑了277米 【分析】（1）根据有理数加法法则，将所有数据相加，看最后结果．若结果为正，则最后到达的地方在出发点的东边；若结果为负，则最后到达的地方在出发点的西边； （2）把每次距离出发点的距离算出来，即可知该运动员最远处离出发点的距离； （3）将所有数据的绝对值相加，即可得到本次训练结束共跑了多少米． 本题主要考查了利用有理数的加法解决实际问题．理解题意，正确的列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解： （米）， ∴最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15米． （2）解：第一次：米； 第二次：米； 第三次：米； 第四次：米； 第五次：米； 第六次：米； 第七次：米； 第八次：米； 第九次：米； 第十次：米； 综上所述：在这次训练过程中，该运动员最远处离出发点45米； （3）解： （米）， ∴该运动员本次训练结束，共跑了277米． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 【答案】(1) (2)当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的 (3)①6；②当点所在的位置表示的数为2025时，运动的时间为第2023秒 【分析】（1）根据点运动的速度和时间求出点运动的路程是个单位长度，而点和点之间的距离为个单位长度，所以点从点运动到点后又向左运动了个单位长度，求出点所在位置表示的数； （2）首先根据点、所表示的数得到，所以点、之间的距离的是个单位长度，而点、之间的距离为个单位长度分为两种情况：点、相遇前两点之间的距离为个单位长度；点、相遇后继续运动两点之间的距离为个单位长度； （3）根据点运动的规律计算可得第秒时点所在位置表示的数； 根据点运动的规律计算出当运动秒、秒、秒、秒、秒、秒时点表示的数找到规律，根据规律求出点表示时运动的时间． 【详解】（1）解：点运动的路程为个单位长度． 两点之间的距离为个单位长度， 点到达点后，又继续向左运动了个单位长度， 此时点表示的数为；点之间的距离为个单位长度， （2）点之间的距离为个单位长度， 当点与点还没有相遇时，在点的左边：； 当点与点相遇后继续运动，点在点的右边时，； 综上所述，当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的． （3），第秒时，点原点出发从运动了个周期， 点所在位置表示的数为：； 根据点运动的规律可得：点第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， …， 根据此规律，可知当点所在的位置表示的数为时，运动的时间为第秒． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题．解决本题的关键是根据动点出发的位置、运动的方向、运动的速度和时间，求出动点所到达的位置表示的数． 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南常德·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 1．（2025七年级上·湖南株洲·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·开学考试）如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点在数轴上的计算问题，根据a、b在数轴上的位置，可知，由此可对选项逐一进行判断． 【详解】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义运算，理解新定义，按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）大家都知道，7点50分可以说成差10分钟8点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减计数法，例如：写成，，写成，7683写成，按这种方法计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，运用新定义的运算将原式化为，再去括号，运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：原式=， 故选：A． 4．（2025·湖南娄底·模拟预测）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，十进制数与十六进制数的转换，根据十进制求出的乘积，再把结果转化成十六进制，即可求解．理解十进制和十六进制之间的换算是解题的关键． 【详解】解：由表格得 对应的十进制的数是，对应的十进制的数是， ， 由十进制表示得：， 在十六进制中为， ， 故选：D． 6．（24-25七年级上·湖南常德·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，根据绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 7．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如试求的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出有理数加减混合运算的式子，再进行计算即可，熟知有理数加减混合运算的法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ， 故答案为：4． 8．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 9．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是 日． 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图的应用以及有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可． 【详解】解：∵由折线统计图可知， 15日的日温差； 16日的日温差； 17日的日温差； 18日的日温差； 19日的日温差； 20日的日温差； ∴温差最大的是16日． 故答案为：16． 10．（2025·湖南永州·模拟预测）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ． 【答案】年月 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁， 即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月， ∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月， ∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月， ∵李斌比王强小个月， ∴李斌的出生年月是年月， 故答案为：年月． 11．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算．将式子转化为，进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列两个有理数相加：①两个正数；②两个负数；③一正一负，但正数的绝对值较大；④一正一负，但正数的绝对值较小；⑤零与正数；⑥零与负数；那么， （1）和为正数的是（填入代号，下同）_____________； （2）和为负数的是_____________； （3）和的绝对值等于加数绝对值的和的是_____________； （4）和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是_____________； （5）和等于其中一个加数的是_____________ 【答案】（1）①、③、⑤；（2）②、④、⑥；（3）①、②、⑤、⑥；（4）③、④、⑤、⑥；（5）⑤、⑥． 【分析】根据有理数加法法则解答即可． 【详解】解：（1）∵同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加都为本身． ∴两个正数相加和是正数；一正一负相加，正数的绝对值较大，和为正数；零与正数相加，仍得这个正数；所以和为正数的是①、③、⑤； 故答案为：①、③、⑤ （2）∵同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加都为本身． ∴负数相加，和为负数；一正一负相加，正数的绝对值较小，和为负数；零与负数相加，仍得这个负数；所以和为负数的是②、④、⑥；故答案为：②、④、⑥ （3）∵同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；任何数与零相加都为本身． ∴和的绝对值等于加数绝对值的和的是①、②、⑤、⑥；故答案为：①、②、⑤、⑥ （4）∵异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相减都为本身 ∴和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是③、④、⑤、⑥；故答案为：③、④、⑤、⑥ （5）∵任何数与零相加均为本身 ∴和等于其中一个加数的是⑤、⑥．故答案为：⑤、⑥． 【点睛】本题考查有理数的加法法则，解题关键是熟悉加法法则：同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加都为本身． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 14．（24-25七年级上·湖南张家界·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 15．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）随着互联网的普及，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明也把自己家的冬枣放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周冬枣的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：)； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出 ___ ； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 ___； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量？ (4)若每千克冬枣按8元出售，每千克冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)296 (2)29 (3)本周实际销售总量达到了计划数 (4)小明本周一共收入3585元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算： （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）把7天的记录数据相加，与0进行比较 （4）将总数量乘以价格差，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故前三天共卖出， 故答案为：296； （2）解：， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售， 故答案为：29； （3）解：， 所以本周实际销售总量达到了计划数； （4）解： （元） 答：小明本周一共收入3585元． 学科网（北京）股份有限公司 $$