精品解析：山东省日照市北京路中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

初三年级数学学科阶段性学情监测试题（三） 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 3. 如图，已知，且，则（ ） A. 2∶1 B. 4∶1 C. 2∶3 D. 4∶9 4. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 5. 在反比例函数图象上有两点，，，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 7. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 8. 如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 如果，那么________． 12. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 13. 如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则______． 14. 如图，中，，，BC＝，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为_________ 15. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则的值为______． 16. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点B，作轴于点C，交于点D，延长交于点E，作轴于点F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程： （2）计算：． 18. 如图，在中，是边上的中线，是锐角，且，，． （1）求的度数与的长； （2）求的值． 19. 如图，厦门某中学数学兴趣小组决定测量一下教学楼的高度，他们先在坡面上的E处测得楼顶A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚C处，分别测得楼顶A的仰角为，E的仰角为，E到地面BF的距离为，求教学楼的高度．(结果精确到，参考数据：，) 20. 如图，中，于，于，于，交于，交的延长线于，求证：． 21. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若AB=2，AC=2，求AE的长． 22. 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值． 【拓展提升】 （3）如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．求的值． 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（2，﹣1），与x轴交于A，B两点，OA=3； （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，一次函数y＝﹣x+3图象交x轴于点A，交y轴于点D，连结AC、BD，在x轴上有一点Q，使△AQC 与△ABD相似，求出点Q坐标； （3）如图2，在直线y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°？若存在，请直接写出此时k的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科阶段性学情监测试题（三） 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若反比例函数的图象经过点，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征； 把点代入反比例函数解析式中，即可得到m的值． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：D． 2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 3. 如图，已知，且，则（ ） A. 2∶1 B. 4∶1 C. 2∶3 D. 4∶9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是通过平行线判定相似．根据平行线判定相似，再利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”求解即可． 【详解】解：， , ， ， ， ， 故选：D． 4. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 5. 在反比例函数图象上有两点，，，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据题意判断出反比例函数图象所在象限，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上有两点，，，， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， 解得． 故选：B． 6. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. （20﹣x）2＝20x B. x2＝20（20﹣x） C. x（20﹣x）＝202 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点， 且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x， ∴， ∴（20−x）2＝20x， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 7. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值． 【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F， ∵D点在双曲线y上， ∴S矩形OEDF=|xy|=|k|， ∵D点在矩形的对角线OB上， ∴矩形OEDF∽矩形OABC， ∴， ∵S矩形OABC=36， ∴S矩形OEDF=16， ∴|k|=16， ∵双曲线y在第二象限， ∴k=-16， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|． 8. 如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得，，进而即可求解． 【详解】解：连接OD，EF， ∵与相切于点，BF是的直径， ∴OD⊥AC，FE⊥BC， ∵， ∴OD∥BC，EF∥AC， ∴，， ∵，， ∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4， ∴，， ∴BC=，BE=， ∴CE=-=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，平行线分线段成比例定理，掌握圆周角定理的推论，添加辅助线，是解题的关键． 9. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 10. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据折叠的性质和矩形的性质分析判断；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断；利用勾股定理求出，再分别求出、及，即可判断和；根据相似三角形的判定分析判断；掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴，故正确； 设，，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，故错误； 在中，设，则， ∴， 解得， ∴，， 在中， ， ∴，，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与不相似，故错误； 综上，正确的是， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合比性质，熟记合比性质（若，则 ）的公式是解题关键． 根据合比性质即可求解． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：． 12. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 13. 如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，，设，，得，，进而可得，，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， ，， ， ，， 设，， ，， ， ， ， 与是等高三角形， ． 故答案为：． 14. 如图，中，，，BC＝，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为_________ 【答案】或或 【解析】 【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=90°-60°=30°， ∴AB=2BC， ∵BC=4cm， ∴AB=2BC=8(cm)， ∵BC=4cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发， ∴BD=BC=2(cm)，BE=AB-AE=8-t(cm)， 若∠BED=90°， 当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BDE=30°， ∴BE=BD=1(cm)， ∴t=7， 当B→A时，t=8+1=9， 若∠BDE=90°时， 当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BED=30°， ∴BE=2BD=4(cm)， ∴t=8-4=4， 当B→A时，t=8+4=12(舍去)， 综上可得：t的值为4或7或9， 故答案为4或7或9. 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 15. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】点A，B落在函数的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点A、B分别作轴，轴，垂足为D、E， ∵点A在反比例函数上，点B在上， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值． 16. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点B，作轴于点C，交于点D，延长交于点E，作轴于点F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 根据反比例函数中的几何意义，即可证明①正确；过点作轴于点，通过证明，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，再通过证明，即可求证②正确；再根据相似三角形的性质，即可证明③不正确；根据相似三角形的性质，即可证明④正确． 【详解】解：∵点A，都在上，且轴，轴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； 如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，故③不正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程： （2）计算：． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握解一元二次方程的步骤和正确计算是解题的关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）分别代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解（1） 或 ∴或； （2） ． 18. 如图，在中，是边上的中线，是锐角，且，，． （1）求的度数与的长； （2）求的值． 【答案】（1），， （2）的值为2 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，理解三角函数的定义是解本题的关键； （1）如图，过点C作于E．设，则，再求解，从而可得的值，再求解的大小，结合等腰直角三角形的性质可得答案； （2）由是边上的中线，可得，，再利用正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于E．设， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴，． 在中，∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即的值为2． 19. 如图，厦门某中学数学兴趣小组决定测量一下教学楼的高度，他们先在坡面上的E处测得楼顶A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚C处，分别测得楼顶A的仰角为，E的仰角为，E到地面BF的距离为，求教学楼的高度．(结果精确到，参考数据：，) 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，作于点G，则，四边形为矩形，则．设，则，求出，得到．在中，得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：作于点G，则，四边形为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，则． 在中， ∵， ∴ ∴． 在中，∵， ∴， 解得． ∴． 答：教学楼AB的高度约为 20. 如图，中，于，于，于，交于，交的延长线于，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】先证，推出，再证得到比例式，推出，即可求出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形的内角和定理，求出和是解题的关键． 21. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若AB=2，AC=2，求AE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， 而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， 而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD； （2） 【解析】 【分析】(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则有∠B+∠BAD=90°，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，则可得到△CDE∽△CAD； （2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，由勾股定理可得OC=3，则CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE的长，从而可得AE的长. 【详解】解：（1）略． （2）∵AB=2， ∴OA=1， 在Rt△AOC中，AC=2 ， ∴OC= =3， ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴，即， ∴CE=． ∴AE=AC-CE= 22. 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值． 【拓展提升】 （3）如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．求的值． 【答案】 （1）证明：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，从而得到，由证明，即可得到； （2）由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，证明，最后根据相似三角形的性质即可得到答案； （3）由是直角三角形，可得，通过证明得到，从而得到，即可推出，最后由相似三角形的性质即可得到答案；由得，，，得到，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，从而得到． 【详解】（1）略 （2）解：和都是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， （3）是直角三角形，， 令，则， ， 和都是直角三角形，，且， ， ， ， ， ， ， 由得，，， ， ， ，，， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，是解题的关键． 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（2，﹣1），与x轴交于A，B两点，OA=3； （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，一次函数y＝﹣x+3图象交x轴于点A，交y轴于点D，连结AC、BD，在x轴上有一点Q，使△AQC 与△ABD相似，求出点Q坐标； （3）如图2，在直线y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90°？若存在，请直接写出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）存在，k=1，k=，k=． 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标为C（2，﹣1）可得对称轴为x=2，然后再根据二次函数图像的对称性，确定A、B的坐标，然后使用待定系数法即可解答； （2）先通过等腰三角形和相似三角形的性质得到∠CAQ＝∠DAB＝45°，然后分＝和＝两种情况解答即可； （3）设P点坐标为（a，ka-1），以AB的中点O为圆心作⊙O，以AB为直径画圆恰好与直线y＝kx-1(k＞0）相切与P点，然后确定圆的半径长度，然后运用两点间距离公式列方程，最后根据条件即可确定k的取值． 【详解】解（1）∵函数图像的顶点坐标为C（2，﹣1） ∴对称轴为x=2 ∵OA=3 ∴B点的横坐标为:2-(3-2)=1,A点的横坐标为3 ∴A(3,0),B(1,0) ∴解得 ∴函数解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图：连接AC、QC、BD, 令x=0,则y＝﹣0+3=3，即点D坐标为（0,3） ∴OA=OD ∴∠DAB＝45° 要使△AQC∽△ADB，则∠CAQ＝∠DAB＝45°， ①当＝时，△AQC∽△ADB，即＝，解得AQ＝3，此时Q（0，0）； ②当＝时，△AQC∽△ABD，即＝，解得AQ＝，此时Q（，0）； 综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）； （3）连接设P点坐标为（a，ka-1），以AB的中点O为圆心作⊙O，以AB为直径画圆恰好与直线y＝kx-1(k＞0）相切与P点，即AP⊥BP ∵A(3,0),B(1,0) ∴AO=BO=AB=1 ∴即：（k-1）a2-（2k+2）a+1=0 ∵在直线y＝kx-1(k＞0）上是否存在唯一一点P，使得∠APB＝90° ∴①当（k-1）a2-（2k+2）a+1=0为关于a的一元一次方程时，则k-1=1，即k=1； ②①当（k-1）a2-（2k+2）a+1=0为关于a的一元二次方程时，则： （2k+2）2-4（k-1）=0解得：k=，k=； 综上，存在满足题意得k且取值为k=1，k=，k=． 【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图像与性质、解方程、两点间距离公式、直线与圆的位置关系、相似等知识点，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $