专题 2.4 实数的初步认识（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 2.4 实数的初步认识 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）实数 2 1.实数的分类 2 【题型1】有理数与无理数识别 2 2.实数的性质 2 【题型2】实数的性质 3 3.实数与数轴 3 【题型3】实数与数轴 3 知识点（二）实数的运算 3 1.平方根 3 【题型4】平方根 4 2.算术平方根 4 【题型5】算术平方根 4 3.立方根 4 【题型6】立方根 5 【题型7】与实数有关的计算 5 知识点（三）实数的大小比较 5 1.无理数大小估算方法 5 【题型8】无理数大小估算 5 2.无理数整数部分有关计算 6 【题型9】无理数整数部分有关计算 6 【题型10】比较实数大小 6 【题型11】近似值 6 二．同步练习 7 【基础巩固（20题）】 7 【能力提升（20题）】 9 【中考真题12题】 12 一.知识梳理与题型分类精析 《实数的初步知识》知识结构： 知识点（一）实数 1.实数的分类 1.按定义分类：； 2.按性质分类： 2.有理数定义：有限小数或无限循环小数叫做有理数；无理数定义：无限不循环小数； 3.无理数的形式：（1）特定的无限不循环小数，比如0.202002000200002...（相邻两个 2 之间依次多一个 0）；（2）开方开不尽的方根，比如、等；（3）特殊的数，比如等等. 【题型1】有理数与无理数识别 【例题1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）． 有理数： ；    无理数： ； 正实数： ；    负实数： ． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列各数中：，，，0，，，，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．无理数的个数有 个． 2.实数的性质 1.相反数：任意实数的相反数是，实数的相反数仍是实数； 2.绝对值（1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0. 【题型2】实数的性质 【例题2】（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）实数的绝对值为 ． 3.实数与数轴 在数轴上表示出来的数，都是实数，即：数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点 —— 这一特性称为 “实数与数轴上的点一一对应”. 【题型3】实数与数轴 【例题3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式1】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1，．若，则点C对应的实数为 ． 知识点（二）实数的运算 1.平方根 1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫做二次方根）. 2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【题型4】平方根 【例题4】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末） 方程组 与 的解相同，求的平方根 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）下列式子能正确表示并计算“4的平方根”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·青海海西·期末）已知，则的值为 ． 2.算术平方根 1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，则这个正数叫就叫做的算术平方根.记为“”，读作“根号”.特别地，我们规定0的算术平方根是0，即. 2.算术平方根的性质：一个正数有一个算数平方根，是;0有一个算术平方根，是它本身；负数没有算术平方根. 3.算术平方根的非负性：对于的算术平方根具有双重非负性：（1）被开方数0；（2）0. 【题型5】算术平方根 【例题5】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知，求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 3.立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）. 2.立方根的性质：正数有一个立方根；负数有一个立方根；0的立方根是0本身. 3.开立方定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数，表示为（a为任何数） 【题型6】立方根 【例题6】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若的平方根是，． （1）________； （2）若x的一个平方根是，求x的立方根． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【题型7】与实数有关的计算 【例题7】（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）（1）计算：； （2）求的值：． 【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： （1）； （2）． 知识点（三）实数的大小比较 1.无理数大小估算方法 1.开方类无理数：优先使用“夹逼法”，即通过平方或立方找到相邻的有理数范围； 2.对于常见的理数数：如，，，，直接比较大小. 【题型8】无理数大小估算 【例题】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式2】（24-25七年级下·重庆江津·期末）整数a满足，则整数a的值为 ． 2.无理数整数部分有关计算 1.整数部分：设无理数为，其最大整数为，则，则就是的整数部分； 2.小数部分：小数部分=无理数本身-整数部分（即）.，且小数部分一定满足. 定义：有理数和无理数统称实数。 【题型9】无理数整数部分有关计算 【例题9】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）材料：将减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是．解答： （1）已知为的整数部分，是的小数部分，求的值； （2）若，其中是整数，且，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·广东江门·期末）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 【题型10】比较实数大小 【例题10】（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若数轴上的四个点A，B，C，D分别表示实数，4，，那么点A，B，C，D自左到右的顺序是：（    ） A．DABC B．ADCB C．ACDB D．DACB 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）比较大小： （选填“”，“”或“”）． 【题型11】近似值 【例题11】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）月球轨道呈椭圆形，近地点平均距离为，用科学记数法表示363300为 （精确到10000）． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）近似数万精确到 位； （精确到百分位）． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列数中，比小的实数是（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 6．（2024·河北·一模）若，，则（保留一位小数）（    ） A．5.6 B．6.5 C．5.5 D．6.6 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列说法： ①任何数都有算术平方根； ②的算术平方根是； ③是9的平方根 ④的算术平方根是； 其中，不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．（24-25七年级上·福建福州·期中）对于近似数，精确到表示为 ． 10．（24-25七年级下·吉林松原·期中）在实数，，，中，有理数有 个． 11．（24-25七年级下·江西赣州·期末）比较大小： 2．（填“＞、＜、＝”） 12．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 13．（24-25八年级下·重庆垫江·期末）计算： ． 14．（24-25七年级下·广东湛江·期中）当时， ． 15．（24-25七年级下·北京·期中） ． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）计算： （1）； （2）． 18．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）（1）已知一个正数的平方根分别是和，求这个正数． （2）利用平方根求中的值： 19．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数的平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求，，，的值； （2）求的算术平方根． 20．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． （1）点表示的数为___________；点表示的数为___________． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． （3）已知是整数，，且，求的值． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在实数，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6），，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（24-25七年级下·北京·期中）若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 6．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 9．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）有 个有效数字． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）计算：= ． 11．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知与互为相反数，则b的值为 ． 12．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若有理数满足，则的平方根是 ． 13．（2025·宁夏吴忠·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 14．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 15．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 16．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： （1）； （2）． 18．（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知实数，满足． （1）求，的值． （2）求的平方根． 19．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分； （1）求a、b、c的值； （2）若x是的小数部分，求的算术平方根． 20．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中x是整数，且，那么， 其中x就是的整数部分，y就是的小数部分． 材料二：已知m，n是有理数，且满足等式，则可求出m，n的值． 求解过程如下： ， m，n是有理数， ，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： （1）已知，其中a是整数，且，求a，b的值； （2）已知x，y是有理数，且满足等式，求的值． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 4．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 5．（2024·新疆·中考真题）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 二、填空题 7．（2025·江西·中考真题）化简： 8．（2025·浙江·中考真题） ． 9．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 10．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 三、解答题 11．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 12．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.4 实数的初步认识 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）实数 2 1.实数的分类 2 【题型1】有理数与无理数识别 2 2.实数的性质 4 【题型2】实数的性质 4 3.实数与数轴 5 【题型3】实数与数轴 5 知识点（二）实数的运算 6 1.平方根 6 【题型4】平方根 7 2.算术平方根 8 【题型5】算术平方根 8 3.立方根 9 【题型6】立方根 10 【题型7】与实数有关的计算 11 知识点（三）实数的大小比较 12 1.无理数大小估算方法 12 【题型8】无理数大小估算 13 2.无理数整数部分有关计算 14 【题型9】无理数整数部分有关计算 14 【题型10】比较实数大小 16 【题型11】近似值 17 二．同步练习 18 【基础巩固（20题）】 18 【能力提升（20题）】 27 【中考真题12题】 37 一.知识梳理与题型分类精析 《实数的初步知识》知识结构： 知识点（一）实数 1.实数的分类 1.按定义分类：； 2.按性质分类： 2.有理数定义：有限小数或无限循环小数叫做有理数；无理数定义：无限不循环小数； 3.无理数的形式：（1）特定的无限不循环小数，比如0.202002000200002...（相邻两个 2 之间依次多一个 0）；（2）开方开不尽的方根，比如、等；（3）特殊的数，比如等等. 【题型1】有理数与无理数识别 【例题1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）． 有理数： ；    无理数： ；正实数： ；    负实数： ． 【分析】本题主要考查了实数的分类，立方根，根据实数的分类方法分别求出每个数属于什么数即可得到答案． 解：是有理数，是正实数； 是有理数，是负实数； 是无理数，是正实数； 0是有理数； 是无理数，是负实数； 是无理数，是正实数； 是有理数，是负实数； （每两个3之间依次多一个0）是无理数，是负实数； ∴有理数：，，0，；无理数：，，， （每两个3之间依次多一个0）； 正实数：，，；负实数：，，， （每两个3之间依次多一个0）． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数），逐一判断各数是否为有理数． 解：：整数，属于有理数； ：分数，属于有理数； 0：整数，属于有理数； ：即，分数，属于有理数； ：含无理数π，属于无理数； ：有限小数，属于有理数； 13：整数，属于有理数； （每两个3之间依次增加一个2）：虽有一定规律，但无循环节，属于无理数． 综上，有理数有6个（、、0、、、13）， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列各数中：，，，0，，，，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．无理数的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根与算术平方根，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．先化简，再根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．． 解：是分数，不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； ，是无理数，符合题意； 0是整数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； 是小数，不是无理数，不符合题意； 是小数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数，符合题意； 故无理数的个数有4个， 故答案为：4． 2.实数的性质 1.相反数：任意实数的相反数是，实数的相反数仍是实数； 2.绝对值（1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0。 【题型2】实数的性质 【例题2】（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），，；（2），，；（3），， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 解：（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 解：的相反数是． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）实数的绝对值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 解：实数的绝对值为． 故答案为：． 3.实数与数轴 在数轴上表示出来的数，都是实数，即：数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点 —— 这一特性称为 “实数与数轴上的点一一对应”. 【题型3】实数与数轴 【例题3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 解：根据数轴上点的位置得：，且， ， ∴ ． 【变式1】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1，．若，则点C对应的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由A，B两点对应的数求出，再根据即可求解． 解：数轴上A，B两点对应的实数分别是1，， ， ， 点C对应的实数为， 故答案为：． 知识点（二）实数的运算 1.平方根 1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫做二次方根）. 2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【题型4】平方根 【例题4】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末） 方程组 与 的解相同，求的平方根 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一个数的平方根，先解方程组，得出，代入得出，进而求得的平方根，即可求解． 解： 得， 解得：， 将代入②得， 解得：， ∴ 将代入得， 得， ∴的平方根为 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）下列式子能正确表示并计算“4的平方根”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，且，据此可得答案． 解：“4的平方根”的是， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·青海海西·期末）已知，则的值为 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查了平方根解方程． 方程两边同时除以2，再开平方，最后计算即可． 解：， ， ， 或， 故答案为：5或1． 2.算术平方根 1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，则这个正数叫就叫做的算术平方根.记为“”，读作“根号”.特别地，我们规定0的算术平方根是0，即. 2.算术平方根的性质：一个正数有一个算数平方根，是;0有一个算术平方根，是它本身；负数没有算术平方根. 3.算术平方根的非负性：对于的算术平方根具有双重非负性：（1）被开方数0；（2）0. 【题型5】算术平方根 【例题5】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】利用非负数的性质（算术平方根和平方数都是非负数，两个非负数的和为，则这两个非负数分别为 ），先求出、的值，再代入计算，最后求其平方根． 本题主要考查了非负数的性质（算术平方根的非负性、平方数的非负性 ）以及平方根的概念，熟练掌握非负数的性质，通过其和为求出字母的值是解题的关键． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据已知条件，利用算术平方根的小数点移动规律逐项判断即可． 解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 3.立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）. 2.立方根的性质：正数有一个立方根；负数有一个立方根；0的立方根是0本身. 3.开立方定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数，表示为（a为任何数） 【题型6】立方根 【例题6】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若的平方根是，． （1）________； （2）若x的一个平方根是，求x的立方根． 【答案】（1）5；（2）4 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，然后代入计算即可； （2）由平方根的定义可得，然后求出x的值，最后求出x的立方根即可． 解：（1）解：∵若的平方根是， ∴，，即； ∴． 故答案为：5． （2）解：∵x的一个平方根是， ∴， ∴x的立方根是． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 【题型7】与实数有关的计算 【例题7】（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）（1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】考查了实数的运算及平方根的知识，正确的计算是解题的关键； （1）根据化简绝对值、立方根，算术平方根，乘方进行计算即可求解； （2）直接平方根的定义，解方程，即可求解． 解：（1） ＝5－3＋3＋2－ ＝． （2） 两端开平方，得， 解得或． 【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算平方、立方和奇次方，然后再计算加减法即可； （2）原式先去括号和去绝对值，然后再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： 【变式2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别计算乘方，化简绝对值，算术平方根以及立方根，然后合并同类项即可； （2）先计算乘法、算术平方根，然后合并同类项即可． 解：（1）解：原式 （2）解：原式 【点拨】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握实数的混合运算的运算法则并正确的计算是解题的关键． 知识点（三）实数的大小比较 1.无理数大小估算方法 1.开方类无理数：优先使用“夹逼法”，即通过平方或立方找到相邻的有理数范围； 2.对于常见的理数数：如，，，，直接比较大小. 【题型8】无理数大小估算 【例题】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查算术平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，求出的值即可； （2）将（1）中结果代入代数式，根据平方根的定义，进行求解即可． 解：（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．要确定的值所在区间，需先估算的范围，再通过加法运算判断结果的位置. 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆江津·期末）整数a满足，则整数a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，先求出，结合，，则，即可作答． 解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，a为整数， ∴， 故答案为：3． 2.无理数整数部分有关计算 1.整数部分：设无理数为，其最大整数为，则，则就是的整数部分； 2.小数部分：小数部分=无理数本身-整数部分（即）.，且小数部分一定满足. 定义：有理数和无理数统称实数. 【题型9】无理数整数部分有关计算 【例题9】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）材料：将减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是．解答： （1）已知为的整数部分，是的小数部分，求的值； （2）若，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）14 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握实数的大小比较方法是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据立方根的定义估算无理数的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 解：（1）解：， ， ， 即， 的整数部分是2，小数部分是， ； （2）解：， ， ，即， 的整数部分是6，小数部分是， 是整数，且， ， 14． 【变式1】（24-25八年级下·广东江门·期末）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算，算术平方根，实数的混合运算等知识，由无理数的估算方法得，则有，，得到，，然后代入求出，最后通过算术平方根定义求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 【题型10】比较实数大小 【例题10】（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若数轴上的四个点A，B，C，D分别表示实数，4，，那么点A，B，C，D自左到右的顺序是：（    ） A．DABC B．ADCB C．ACDB D．DACB 【答案】B 【分析】本题考查无理数的比较大小，实数与数轴，先估算的大小，然后排列顺序解答即可． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即顺序为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）比较大小： （选填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正确估算出的取值是解题关键．先判断出，即可判断出，问题得解． 解：∵， ∴． 故答案为： 【题型11】近似值 【例题11】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）月球轨道呈椭圆形，近地点平均距离为，用科学记数法表示363300为 （精确到10000）． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：363300用科学记数法表示为，精确到10000为， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此求解即可． 解：． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）近似数万精确到 位； （精确到百分位）． 【答案】 百 【分析】此题考查了近似数．根据近似数的意义进行解答即可． 解：近似数万精确到百位；精确到百分位是． 故答案为：百，． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的概念，根据绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 解：， 故选：． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 解：A．，是有理数，不符合题意； B．3.1415是有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列数中，比小的实数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小，比较各选项与的大小关系，再逐一判断各选项是否更小． 解： ∴比小的实数是 故选：A． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义，在实数范围内，被开方数必须是非负数，否则无意义．逐一分析各选项的被开方数即可判断． 解：选项A：，被开方数为，是负数，故无意义． 选项B：，被开方数为，有意义． 选项C：，被开方数为，非负，有意义． 选项D：，被开方数为，非负，有意义． 故选：A． 5．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【答案】C 【分析】此题考查了立方根．根据已知等式，利用立方根的定义判断即可得到结果． 解：∵， ∴ ． 故选：C． 6．（2024·河北·一模）若，，则（保留一位小数）（    ） A．5.6 B．6.5 C．5.5 D．6.6 【答案】A 【分析】本题考查二次根式性质及无理数估算，根据二次根式性质得到，，再由无理数估算方法，首先得到，再取与中间的数确定即可得到答案，熟练掌握二次根式性质及无理数估算方法是解决问题的关键． 解：，，， ， ， ，则，即， 取与中间的数，则， ， ， 由题中所给个选项，， 故选：A． 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可． 解：根据题意可知，当输入x的值为16时， ， ， 把4再次输入数值转换器， ， ， 把2再次输入数值转换器， ． 故选：C． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列说法： ①任何数都有算术平方根； ②的算术平方根是； ③是9的平方根 ④的算术平方根是； 其中，不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根和平方根的定义逐一判断各说法的正确性． 解：①、负数没有算术平方根，故①错误； ②、当时，的算术平方根是，而非，故②错误； ③、9的平方根为±3，-3是9的平方根，故③正确； ④、（因），故④正确， 综上，不正确的有①和②，共2个， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级上·福建福州·期中）对于近似数，精确到表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．把千位上的数字进行四舍五入即可． 解：近似数，精确到表示为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林松原·期中）在实数，，，中，有理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，根据有理数的定义即可解答，解题的关键是正确理解有理数的定义． 解：在实数，，，中，有理数为，，共个， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江西赣州·期末）比较大小： 2．（填“＞、＜、＝”） 【答案】 【分析】此题考查实数的大小比较，无理数的估算，先估算，再判断即可． 解：∵， ∴23， ∴2． 故答案为>． 12．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·重庆垫江·期末）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义和绝对值的性质． 分别计算算术平方根和绝对值，再将结果相加． 解： ， 故答案为：5． 14．（24-25七年级下·广东湛江·期中）当时， ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键； 利用立方根解方程即可． 解： ； 故答案为：3． 15．（24-25七年级下·北京·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义求解即可，掌握绝对值的意义是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）（1）已知一个正数的平方根分别是和，求这个正数． （2）利用平方根求中的值： 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用一个正数的平方根有两个，互为相反数，进行列式计算得，代入进行求解，即可作答． （2）先移项再开方，即可作答． 解：（1）∵一个正数的平方根分别是和， ∴， 则， 解得； ， 这个正数是； （2）， ， ， 解得：或． 19．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数的平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求，，，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，，；（2）4 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 解：（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 20．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． （1）点表示的数为___________；点表示的数为___________． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． （3）已知是整数，，且，求的值． 【答案】（1），；（2）2，；（3） 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）根据，有，即可得，代入进行计算即可． 解：（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， ， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解： 是整数，， ， ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在实数，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6），，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义即无限不循环小数判断即可． 解：， 在实数，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6），，0， ，中， 无理数有3.161661666…（每两个1之间依次多1个6），，，一共3个， 故选：C 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 3．（24-25七年级下·北京·期中）若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义及性质逐项判断即可． 解：A．，故该选项错误，不符合题题意； B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意； C．，故，故该选项错误，不符合题题意； D．，则，正确，符合题意． 故选D． 5．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 设A表示的数是a，根据点C是的中点，得，求解即可． 解：设A表示的数是a， ∵点C是的中点， ∴ 解得：， 故选：B． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根、合并同类二次根式．解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 利用算术平方根、立方根、合并同类二次根式等知识点逐项判断即可． 解： A、2和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 故选：C． 8．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 二、填空题 9．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）有 个有效数字． 【答案】 【分析】本题考查的是有效数字的定义，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，解答此题的关键是熟知一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 解：有个有效数字，分别是：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，平方、算术平方根、立方根，解题关键是熟练掌握定义． 先计算平方、算术平方根和立方根，再计算加减． 解： 故答案为： 11．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知与互为相反数，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及立方根，根据题意得到，解方程即可． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若有理数满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算以及平方根的概念，解题的关键是利用有理数和无理数的性质求出a，b的值． 因为有理数和无理数的性质不同，等式中含有无理数，要使等式成立，则含的项的系数应为0，由此可求出的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 解：已知，因为a，b是有理数，是无理数． 一个有理数与一个无理数的和为0，则这个无理数的系数必须为0， 即，解得， 把代入，得到， 即，解得． 所以， ab的平方根是， 故答案为：． 13．（2025·宁夏吴忠·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断的符号，根据二次根数的性质，进行化简即可． 解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 【答案】25 【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 解：， ， ， ，， 原式， ， ， 故答案为：25． 15．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 【答案】20 【分析】本题主要考查数字的变化规律类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案． 解：由图形可知，第n行最后一个数为=， ∴第27行最后一个数为， 则第28行从左至右第22个数是， 故答案为：20． 16．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得，然后代入求解即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别计算乘方，化简绝对值，算术平方根以及立方根，然后合并同类项即可； （2）先计算乘法、算术平方根，然后合并同类项即可． 解：（1）解：原式 （2）解：原式 【点拨】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握实数的混合运算的运算法则并正确的计算是解题的关键． 18．（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知实数，满足． （1）求，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，平方根定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值非负性，算术平方根非负性即可求解； （）把，代入求值，然后通过平方根的定义即可求解． 解：（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， （2）解：由（）得，，， ∴ ∴的平方根是． 19．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分； （1）求a、b、c的值； （2）若x是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方根，立方根和无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平方根和立方根的定义和无理数的估算方法，进行求解即可； （2）先求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 解：（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴； （2）解：∵x是的小数部分， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为， 即的算术平方根为． 20．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中x是整数，且，那么， 其中x就是的整数部分，y就是的小数部分． 材料二：已知m，n是有理数，且满足等式，则可求出m，n的值． 求解过程如下： ， m，n是有理数， ，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： （1）已知，其中a是整数，且，求a，b的值； （2）已知x，y是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据题意得到，求出的值，代入计算即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：是有理数，且满足等式， ， ， ， ， 或 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 2．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 解：选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 4．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 5．（2024·新疆·中考真题）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法计算即可． 解：∵， ∴，即， 故选：A． 6．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 二、填空题 7．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 解：∵， ∴． 故答案为2． 8．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 解：， 故答案为：2． 9．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 10．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 解：原式． 12．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见分析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$