第6章 几何图形初步（新课预习.单元培优）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

第6章 几何图形初步 一．选择题（共12小题） 1．用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（　　） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10cm，BD＝7cm，则BC的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3．如图所示的几何体，其左视图为（　　） A． B． C． D． 4．如图是由8个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．一个圆柱的体积是80cm3，底面积是16cm2，它的高是（　　） A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm 6．如图，公园里的石墩可近似抽象为一个长方体中间挖去半个圆柱得到的几何体，这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 7．如图，∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°，则∠BOC的大小为（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 8．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”，图③“阳马”的俯视图是（　　） A． B． C． D． 9．一个由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的搭法共有（　　）种． A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知∠1与∠2互为余角，4∠1+∠2＝180°，则∠1的度数为（　　） A．30° B．20° C．10° D．40° 11．一个圆柱纸筒，它的高是π分米，底面半径是0.5分米，这个纸筒的侧面展开图是（　　） A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．以上都不是 12．如图，平面上点C为线段AB外一点，AB＝10，连接AC，BC．线段AC+BC的长可能是（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 二．填空题（共9小题） 13．如图所示，∠A＝100°，作BC的延长线CD，∠ABC与∠ACD的角分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的角分线相交于A2⋯以此类推，∠A5BC与∠A5CD的角分线相交于A6，则∠A6＝ 　 　 度． 14．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝40°时，∠BOD的度数是　 　 ． 15．如图，点C是线段AB上一点，点D是线段BC的中点，若线段AB＝8cm，AC＝2cm，则线段CD的长为 　 　 cm． 16．如图，点A，B，C在直线l上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点C位于A，B两点之间，且到点A的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线l向右运动，点P的速度是3个单位长度/s，点Q的速度是1个单位长度/s，设运动时间为t s，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的t值为 　 　 ． 17．射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 　 　 ． 18．钟表是一种计时的装置，也是计量和指示时间的精密仪器．如图，是钟表下午2：30时的场景，请你计算此时时针和分针夹角（指小于180°的角）的度数是 　 　 ． 19．如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM、ON分别平分∠AOB、∠COB，OH平分∠AOC．下列结论：①∠MON＝∠AOH；②∠MOH＝∠CON；③∠BOH＝∠MON﹣2∠CON；④∠COH+∠BOH＝3∠NOH．其中，所有正确结论的序号 　 　 ． 20．如图，当时钟显示10：40时，时针与分针所成锐角的度数是　 　 ． 21．如图①，O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，则t的值为　 　 ． 三．解答题（共13小题） 22．（1）已知：如图①，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线．OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为　 　 ． （2）如图2，点O直线AB上任意一点，OD是∠AOC的平分线，OE在∠BOC内，∠COE∠BOC，∠DOE＝70°，求∠BOE的度数． 23．已知M﹣2N＝7a2﹣7ab，且N＝﹣4a2+6ab+7． （1）求多项式M； （2）一个正方体的表面展开图如图所示，相对面上所写的两个整数之和都相等，试求（1）中M的值． 24．如图，点O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）写出图中与∠DOE互补的角，并写出理由； （2）写出图中与∠EOF相等的角，并写出理由． 25．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． （1）画直线AB、线段BC、射线CD； （2）在线段BC上任取一点E（不同于点B，C）连接DE，AE； （3）数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 26．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　 　 ； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　 　 ； ②若OD在∠BOC内部，请通过计算写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系． 27．定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”． （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由； （2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　 　 ； （3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数． 28．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°． （1）若∠1＝25°，求∠BOC的度数； （2）请你判断OE是否平分∠BOC？并说明理由． 29．如图，点A，O，E在同一条直线上，∠AOB＝40°，∠COD＝28°，OD平分∠COE，求∠DOB的度数． 30．如图，点O在直线CD上，作射线OA、OB、OE、OF．已知∠AOB＝75°，∠COE＝90°，且OE平分∠AOF．若OB平分∠EOF，求∠AOE的度数． 31．已知点C为线段AB上一动点，点D，E分别是线段AC和BC的中点． （1）如图，若线段AB＝10cm，AC＝4cm，求线段DE的长； （2）若线段AB的长为a，则线段DE的长为 　 　 （用含a的代数式表示）． 32．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点． （1）若AE：BE＝5：2，且AB＝14，求CD的长． （2）若线段AB＝a，CE＝b且（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，求AD的长． 33．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数． 34．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OC平分∠AOD，在∠BOD内部引射线OE，恰好使得∠BOE＝3∠DOE，若∠DOE＝20°，求∠AOE及∠COD的度数． 第6章 几何图形初步 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（　　） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据各个几何体的特征，即可解答． 【解答】解：用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有四棱柱、圆锥、五棱柱，共有3个， 故选：A． 【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握各个几何体的特征是解题的关键． 2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10cm，BD＝7cm，则BC的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【分析】根据题意结合图形求出AC的长，再利用线段中点的性质得出BC的长． 【解答】解：∵AB＝10cm，BD＝7cm， ∴AD＝3cm， ∵D是线段AC的中点， ∴AC＝6cm． ∴BC＝4cm． 故选：C． 【点评】此题主要考查了两点间的距离，得出AC的长是解题关键． 3．如图所示的几何体，其左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出这个几何体的左视图即可． 【解答】解：这个几何体的左视图为： 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 4．如图是由8个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可作出判断． 【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形． 故选：A． 【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 5．一个圆柱的体积是80cm3，底面积是16cm2，它的高是（　　） A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm 【答案】D 【分析】根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：由于圆柱体的体积等于底面积乘以高，所以圆柱的高为80÷16＝5（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的关键． 6．如图，公园里的石墩可近似抽象为一个长方体中间挖去半个圆柱得到的几何体，这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：几何体的主视图是． 故选：B． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 7．如图，∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°，则∠BOC的大小为（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【答案】C 【分析】根据题意，∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°，由∠AOD﹣∠BOD＝∠AOB，再根据∠AOC﹣∠AOB即可得出∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°， ∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD ＝80°﹣60° ＝20°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB ＝60°﹣20° ＝40°． 故选：C． 【点评】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 8．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”，图③“阳马”的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意观察图形即可得到本题答案． 【解答】解：根据题意可知，俯视图是． 故选：A． 【点评】本题考查几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键． 9．一个由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的搭法共有（　　）种． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意俯视图：除了A，B，C不能确定，其余位置上的小立方体是确定的数字如图所示．根据俯视图即可解决问题． 【解答】解：由题意俯视图：除了A，B，C不能确定，其余位置上的小立方体是确定的数字如图所示． ∵由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块， ∴A为1，B为2，C为2或A为2，B为2，C为1或A为2，B为1，C为2，或A为2，B为2，C为2或A为1，B为2，C为1， 共5种情形， 故选：D． 【点评】本题考查三视图判定几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．已知∠1与∠2互为余角，4∠1+∠2＝180°，则∠1的度数为（　　） A．30° B．20° C．10° D．40° 【答案】A 【分析】根据题意得∠1+∠2＝90°，然后结合4∠1+∠2＝180°，即可解答． 【解答】解：根据题意可知，∠1+∠2＝90°． 又∵4∠1+∠2＝180°， 联立两式：得∠1＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是关键． 11．一个圆柱纸筒，它的高是π分米，底面半径是0.5分米，这个纸筒的侧面展开图是（　　） A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．以上都不是 【答案】B 【分析】求出圆柱侧面展开图的长、宽，再进行判断即可． 【解答】解：这个纸筒的侧面展开图的长方形的长为2π×0.5＝π分米，宽为π分米， 所以这个纸筒的侧面展开图是正方形． 故选：B． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握圆柱侧面展开图的特征是正确解答的关键． 12．如图，平面上点C为线段AB外一点，AB＝10，连接AC，BC．线段AC+BC的长可能是（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边求解即可． 【解答】解：根据三角形任意两边之和大于第三边可知：AC+BC＞AB＝10， 故线段AC+BC的长可能是11． 故选：D． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，掌握两点间的距离的计算方法是关键． 二．填空题（共9小题） 13．如图所示，∠A＝100°，作BC的延长线CD，∠ABC与∠ACD的角分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的角分线相交于A2⋯以此类推，∠A5BC与∠A5CD的角分线相交于A6，则∠A6＝ 　　 度． 【答案】． 【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠BAC＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律． 【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC， 而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∴∠BAC＝2∠A1＝100°， ∴∠A1＝50°， 同理可得∠A1＝2∠A2， 即∠BAC＝22∠A2＝100°， ∴∠A2＝25°， ∴∠A＝2n∠An， 即∠An． ∴∠A6， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中． 14．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝40°时，∠BOD的度数是　50°或130°　 ． 【答案】50°或130°． 【分析】先根据题意可得OC、OD分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据∠COD＝90°，∠AOC＝40°，计算∠BOD的度数． 【解答】解：当OC、OD在直线AB同侧时， 由条件可知∠BOD＝90°﹣∠AOC＝50°； 当OC、OD在直线AB异侧时， 由条件可知∠AOD＝50°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝130°． 故答案为：50°或130°． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角、补角性质，分射线OC、OD在直线AB的同侧、异侧两种情况讨论是解题的关键． 15．如图，点C是线段AB上一点，点D是线段BC的中点，若线段AB＝8cm，AC＝2cm，则线段CD的长为 　3　 cm． 【答案】3． 【分析】先求出BC的长，再根据线段中点的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为AB＝8cm，AC＝2cm， 所以BC＝AB﹣AC＝8﹣2＝6cm． 又因为点D是线段BC的中点， 所以． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了线段的和差及两点间的距离，熟知题中线段之间的和差关系是解题的关键． 16．如图，点A，B，C在直线l上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点C位于A，B两点之间，且到点A的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线l向右运动，点P的速度是3个单位长度/s，点Q的速度是1个单位长度/s，设运动时间为t s，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的t值为 　或或33　 ． 【答案】或或33． 【分析】分点C为PQ的中点，点P为CQ的中点，Q为PC的中点，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：∵AB＝24，AC＝15， ∴BC＝AB﹣AC＝9， ①当点C为PQ的中点时，15﹣3t＝9+t， 解得：； ②当点P为CQ的中点时，3t﹣15＝24+t﹣3t， 解得：； ③当Q为PC的中点时，9+t＝3t﹣（24+t）， 解得：t＝33． 综上：或或t＝33． 故答案为：或或33． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算，两点间的距离，解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程． 17．射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 　120°或100°或20°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】分情况讨论：若∠AOD在∠AOB外部，则可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB内部两种情况；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB内部两种情况．分别画出对应图形，根据角的和差关系计算即可． 【解答】解：（1）当∠AOD在∠AOB外部时， ①如图，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°； ②如图，当∠BOC在∠AOB内部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°， ∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°． （2）当∠AOD在∠AOB内部时， ①如图，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°， ∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°； ②当∠BOC在∠AOB内部时， 此时，射线OC与OD重合，不合题意． 综上，∠COD＝120°或100°或20°． 故答案为：120°或100°或20°． 【点评】本题主要考查角的计算，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 18．钟表是一种计时的装置，也是计量和指示时间的精密仪器．如图，是钟表下午2：30时的场景，请你计算此时时针和分针夹角（指小于180°的角）的度数是 　105°　 ． 【答案】105°． 【分析】根据时针1分钟转0.5°，分针1分钟转6°列出算式计算即可求解． 【解答】解：由题意得，6°×30﹣150×0.5°＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了钟面角，掌握钟面角的有关知识是解题的关键． 19．如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM、ON分别平分∠AOB、∠COB，OH平分∠AOC．下列结论：①∠MON＝∠AOH；②∠MOH＝∠CON；③∠BOH＝∠MON﹣2∠CON；④∠COH+∠BOH＝3∠NOH．其中，所有正确结论的序号 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【分析】由OM、ON分别平分∠AOB、∠COB，OH平分∠AOC可得∠MON＝∠BON+∠BOM（∠BOC+∠AOB）AOC，∠AOHAOC，故∠MON＝∠AOH，即结论①正确，由结论①根据角平分线的定义，结合图形，逐项判断可知②③正确，④错误． 【解答】解：∵OM、ON分别平分∠AOB、∠COB，OH平分∠AOC， ∴∠BON∠BOC，∠AOM＝∠BOM∠AOB，∠AOHAOC， ∴∠MON＝∠BON+∠BOM（∠BOC+∠AOB）AOC， ∴∠MON＝∠AOH，即结论①正确， ∵∠NOH＝∠MON﹣∠MOH，∠AOM＝∠AOH﹣∠MOH， ∴∠NOH＝∠AOM， ∴∠NOH＝∠BOM， ∵∠BON＝∠NOH﹣∠BOH，∠MOH＝∠BOM﹣∠BOH， ∴∠BON＝∠MOH， ∵∠CON＝∠BON， ∴∠MOH＝∠CON，即结论②正确， ∴∠BOH＝∠MON﹣∠BON﹣∠MOH＝∠MON﹣2∠CON，即结论③正确， ∠COH+∠BOH＝∠CON+∠NOH+∠BOH＝∠BON+∠NOH+∠BOH＝2∠NOH， 即结论④错误， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 20．如图，当时钟显示10：40时，时针与分针所成锐角的度数是　80°　 ． 【答案】80°． 【分析】由于钟面被分成12大格，每格为30°，即时针每60分钟转了30°，据此列式计算即可． 【解答】解：10：40时，钟面上时针指向数字10与11的中间，分针指向数字8， 所以时针与分针所成的角等于：30°×280°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 21．如图①，O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，则t的值为　6或42　 ． 【答案】6或42． 【分析】过点O作直线DE平分∠AOC，根据∠AOC＝120°，以及DE平分∠AOC，求得∠AOE＝∠BOD＝60°，当OQ与OD重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，当OQ与OE重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，分开列式计算即可． 【解答】解：过点O作直线DE平分∠AOC，如图： 由条件可知∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵DE平分∠AOC， ∴∠BOD＝∠AOE＝60°， 当OQ与OD重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC， 则（秒）； 当OQ与OE重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC， 则（秒）； 故答案为：6或42． 【点评】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共13小题） 22．（1）已知：如图①，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线．OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为　90°　 ． （2）如图2，点O直线AB上任意一点，OD是∠AOC的平分线，OE在∠BOC内，∠COE∠BOC，∠DOE＝70°，求∠BOE的度数． 【答案】（1）90°； （2）80°． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，结合∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE＝180°，得到∠COD+∠COE＝90°，即可求出∠DOE； （2）设∠BOC＝x，则，，∠AOC＝180°﹣x，根据OD是∠AOC的平分线，∠DOE＝70°，列出方程即可求解． 【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE分别平分∠BOC， ∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE， ∵∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE＝180°， 即∠COD+∠COE＝90°， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°， 故答案为：90°； （2）设∠BOC＝x，则，，∠AOC＝180°﹣x， ∵OD是∠AOC的平分线， ∴， ∵∠DOE＝70°， ∴， 解得：x＝120°， ∴． 【点评】本题考查了角平分线的定义以及一元一次方程的应用，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系是解答本题的关键． 23．已知M﹣2N＝7a2﹣7ab，且N＝﹣4a2+6ab+7． （1）求多项式M； （2）一个正方体的表面展开图如图所示，相对面上所写的两个整数之和都相等，试求（1）中M的值． 【答案】（1）M＝﹣a2+5ab+14； （2）38． 【分析】（1）把N＝﹣4a2+6ab+7代入M﹣2N＝7a2﹣7ab计算即可得到答案； （2）根据正方体平面展开图得到15与﹣6相对，a与8相对，b与4相对，求出a，b的值，将a，b的值代入计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵M﹣2N＝7a2﹣7ab，且N＝﹣4a2+6ab+7， ∴M﹣2（﹣4a2+6ab+7）＝7a2﹣7ab， M+8a2﹣12ab﹣14＝7a2﹣7ab， M＝7a2﹣7ab﹣8a2+12ab+14， M＝﹣a2+5ab+14； （2）由条件可知a+8＝b+4＝15+（﹣6）＝9， ∴a＝1，b＝5， ∴M＝﹣a2+5ab+14＝﹣12+5×1×5+14＝38， ∴M的值为38． 【点评】本题主要考查了整式的加减，正方体的平面展开图相对面上的字，根据正方体的平面展开图的特点求出a，b的值是解题的关键． 24．如图，点O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）写出图中与∠DOE互补的角，并写出理由； （2）写出图中与∠EOF相等的角，并写出理由． 【答案】（1）∠BOF，理由见解析； （2）∠BOD，∠BOC，理由见解析． 【分析】（1）根据补角的定义，以及同角的余角相等，进行作答即可； （2）根据同角的余角相等，角平分线平分角，作答即可． 【解答】解：（1）与∠DOE互补的角为∠BOF，理由如下： ∵∠AOE＝∠FOD＝90°， ∴∠AOF＝∠DOE＝90°﹣∠EOF， ∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴∠DOE+∠BOF＝180°， ∴∠DOE，∠BOF互补； （2）与∠EOF相等的角为∠BOD，∠BOC，理由如下： ∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠BOE＝∠FOD＝90°， ∴∠EOF＝∠BOD＝90°﹣∠DOE， ∵OB平分∠COD， ∴∠EOF＝∠BOD＝∠BOC． 【点评】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 25．已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． （1）画直线AB、线段BC、射线CD； （2）在线段BC上任取一点E（不同于点B，C）连接DE，AE； （3）数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）图中共有7条线段，6条射线． 【分析】（1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段BC上任取一点E，连接线段即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【解答】解：（1）如图： （2）如图： （3）根据题意可知，线段有AB，AE，BE，BC，ED，EC，DC；图中共有7条线段， 共有6条射线； 【点评】本题考查直线、线段、射线的定义，熟练掌握直线、线段、射线的定义作图是解题的关键． 26．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　50°　 ； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　20°　 ； ②若OD在∠BOC内部，请通过计算写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系． 【答案】（1）50°； （2）①20°；②当∠COD在∠BOC的内部时，∠COE﹣∠BOD＝50°，理由见解析． 【分析】（1）利用平角、余角的定义可求解； （2）①由平角定义得∠AOC＝180°﹣40°＝140°，又OE恰好平分∠AOC，，然后通过余角定义即可求解； ②由题意得∠DOE＝90°，通过∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣∠BOD，∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣∠COE，得出40°﹣∠BOD＝90°﹣∠COE，从而求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BOD＝90°， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°； （2）①由条件可知∠AOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE恰好平分∠AOC， ∴， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20°； ②当∠COD在∠BOC的内部时，∠COE﹣∠BOD＝50°，理由如下： 由题意得∠DOE＝90°， ∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣∠BOD，∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣∠COE， ∴40°﹣∠BOD＝90°﹣∠COE， ∴∠COE﹣∠BOD＝50°． 【点评】本题主要考查了平角、余角的定义，角度和差，角平分线的定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 27．定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”． （1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由； （2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝　60°　 ； （3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数． 【答案】（1）OC是∠AOB的“分余线”，理由见解析； （2）60°； （3）100°或77.5°或88°． 【分析】（1）先求出∠BOC的度数，根据∠BOC+∠BOA＝90°，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分余线”的定义可知∠AOB+∠AOB＝90°，进一步求解即可； （3）设∠AOC＝2x，则∠BOC＝155°﹣2x，ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”，分情况讨论：①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，分别求解即可． 【解答】解：（1）OC是∠AOB的“分余线，理由如下： ∵∠AOB＝70°，∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣50°＝20°， ∴∠BOC+∠AOB＝20°+70°＝90°， ∴OC是∠AOB的“分余线； （2）∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB， ∵OC为∠AOB的“分余线”， ∴∠AOB+∠AOB＝90°， ∴∠AOB＝60°， 故答案为：60°； （3）设∠AOC＝2x， ∵OM为∠AOC的平分线， ∴∠COM∠AOC＝x， ∵∠AOB＝155°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝155°﹣2x， ∵ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”， ①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°， ∴∠BON＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°， ∴∠MON＝155°﹣x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣3x， ∵∠MOC+∠MON＝90°， ∴x+220°﹣3x＝90°， 解得x＝65°（不符合题意，舍去）； ②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°， ∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝155°﹣2x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x， ∴220°﹣4x+220°﹣3x＝90°， 解得x＝50°， ∴∠AOC＝2x＝50°×2＝100°； ③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°， ∵∠CON＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝x+2x﹣65°＝3x﹣65°， ∵∠MOC+∠MON＝90°， ∴x+3x﹣65°＝90°， ∴x＝38.75°， ∴∠AOC＝2x＝38.75°×2＝77.5°； ④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°， ∴∠MON＝∠BOC， ∴∠MOC＝∠BON， ∵∠BON＝（155°﹣2x）﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x， ∴x＝220°﹣4x， 解得x＝44°， ∴∠AOC＝2x＝44°×2＝88°， 综上所述，满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键． 28．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°． （1）若∠1＝25°，求∠BOC的度数； （2）请你判断OE是否平分∠BOC？并说明理由． 【答案】（1）130°； （2）OE平分∠BOC，理由见解析． 【分析】（1）根据OD平分∠AOC得到，结合∠1＝25°，得∠AOC＝50°，根据∠BOC＝180°﹣∠AOC，解答即可； （2）根据∠2＝∠1＝25°，∠DOE＝90°得到∠3＝90°﹣∠2＝65°，根据∠BOC＝130°，得∠4＝∠BOC﹣∠3＝65°，得到∠4＝∠3，解答即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵∠1＝25°， ∴∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°． （2）由条件可知∠3＝90°﹣∠2＝65°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠4＝∠BOC﹣∠3＝65°， ∴∠4＝∠3， ∴OE平分∠BOC． 【点评】本题考查了角的平分线，平角定义，角的和差计算，熟练掌握角的平分线，角的和差计算是解题的关键． 29．如图，点A，O，E在同一条直线上，∠AOB＝40°，∠COD＝28°，OD平分∠COE，求∠DOB的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可以求得∠DOE的度数，从而可以求得∠DOB的度数． 【解答】解：∵OD平分∠COE，∠COD＝28°， ∴∠COD＝∠EOD＝28°， ∵∠AOB＝40°， ∴∠DOB＝180°﹣（∠AOB+∠DOE）＝180°﹣（40°+28°）＝180°﹣68°＝112°． 【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、平角和为180°，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的度数． 30．如图，点O在直线CD上，作射线OA、OB、OE、OF．已知∠AOB＝75°，∠COE＝90°，且OE平分∠AOF．若OB平分∠EOF，求∠AOE的度数． 【答案】∠AOE＝50°． 【分析】设∠AOE＝x°，根据角平分线及角的和差得出∠FOE＝x°，∠EOB＝75°﹣x°，再根据角平分线得出2∠EOB＝∠FOE，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：设∠AOE＝x°，则∠FOE＝x°，∠EOB＝75°﹣x°， ∵OB平分∠FOE， ∴2∠EOB＝∠FOE， 所以2（75﹣x）＝x， 解得：x＝50， ∴∠AOE＝50°． 【点评】本题主要考查利用角平分线及各角之间的关系计算、一元一次方程的应用，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 31．已知点C为线段AB上一动点，点D，E分别是线段AC和BC的中点． （1）如图，若线段AB＝10cm，AC＝4cm，求线段DE的长； （2）若线段AB的长为a，则线段DE的长为 　　 （用含a的代数式表示）． 【答案】（1）5cm； （2）． 【分析】（1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可； （2）假设线段AB的长为a，线段AC的长为b，则线段BC的长为a﹣b，利用线段中点的性质即可表示出线段DE的长． 【解答】解：（1）∵AB＝10cm，AC＝4cm， ∴BC＝AB﹣AC＝10﹣4＝6（cm）， ∵点D，E分别是线段AC和BC的中点， ∴， ∴DE＝DC+CE＝2+3＝5（cm）； （2）设线段AC的长为b， ∵线段AB的长为a， 则线段BC的长为a﹣b， ∵点D，E分别是线段AC和BC的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． 32．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点． （1）若AE：BE＝5：2，且AB＝14，求CD的长． （2）若线段AB＝a，CE＝b且（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，求AD的长． 【答案】（1）CD＝2； （2）AD＝6． 【分析】（1）已知AE：BE＝5：2，AB＝14，可得AE、BE的长，因为点C为线段AB的中点，点D为线段AE的中点，可得AC、AD的长，因为CD＝AC﹣AD，可得CD的长； （2）根据（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，可求得a、b的值，即得AB、CE的长，因为点C为线段AB的中点，可得AC、BC的长，因为BE＝BC﹣CE，求得BE的长，可得AE的长，因为点D为线段AE的中点，可得AD的长． 【解答】解：（1）∵AE：BE＝5：2，AB＝14， ∴AE＝10，BE＝4， ∵点C为线段AB的中点，点D为线段AE的中点， ∴AC＝7，AD＝5， ∴CD＝AC﹣AD＝2； （2）∵（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0， ∴a﹣16＝0，2b﹣8＝0， ∴a＝16，b＝4， ∴AB＝16，CE＝4， ∵点C为线段AB的中点， ∴AC＝BC＝8， ∴BE＝BC﹣CE＝4， ∴AE＝12， ∵点D为线段AE的中点， ∴AD＝6． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 33．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】求出∠BOF，根据角平分线求出∠GOF，求出∠EOD，代入∠DOG＝180°﹣∠GOF﹣∠EOD求出即可． 【解答】解：∵∠AOE＝70°， ∴∠BOF＝∠AOE＝70°， 又∵OG平分∠BOF， ∴∠GOF∠BOF＝35°， 又∵CD⊥EF， ∴∠EOD＝90°， ∴∠DOG＝180°﹣∠GOF﹣∠EOD＝180°﹣35°﹣90°＝55°． 【点评】本题考查了角平分线定义，垂直，邻补角的应用，主要考查学生的计算能力． 34．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OC平分∠AOD，在∠BOD内部引射线OE，恰好使得∠BOE＝3∠DOE，若∠DOE＝20°，求∠AOE及∠COD的度数． 【答案】∠AOE＝120°；∠COD＝50°． 【分析】先根据∠BOE＝3∠DOE，求出∠BOE＝3×20°＝60°，再根据邻补角求出∠AOE＝180°﹣∠BOE＝120°，∠AOD＝100°，最后根据角平分线定义求出． 【解答】解：由条件可知∠BOE＝3×20°＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝120°， ∠AOD＝180°﹣∠DOE﹣∠BOE＝180°﹣20°﹣60°＝100°， ∵射线OC平分∠AOD， ∴． 【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，能根据已知角求出∠BOE＝60°是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$