精品解析： 湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年湖北省宜昌市夷陵区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，x的值可以取（ ） A. 1 B. 7 C. 14 D. 80 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，10 D. 7，24，26 3. 在平行四边形中，，则平行四边形的周长为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 4. 下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国是世界上最早使用历法的国家之一，农历二十四节气就是我国古代劳动人民总结的天文气象历法，是世界的非物质文化遗产，有些节气与白昼时长密切相关．图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长小于 的节气是（ ） A. 立春 B. 芒种 C. 大雪 D. 白露 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，于点B，且 ，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 2 8. 某学校组织演讲比赛，记录了甲、乙、丙、丁四名学生演讲比赛成绩的平均数与方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 83 86 83 86 方差 3.5 7.5 6.5 3.5 学校要从这四名学生中选择一名成绩好且发挥稳定的学生代表学校参加全市的演讲比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 已知点在第二象限，则函数的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中， ，．按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别交于点，；②作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；③连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 12. 如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则DE 的长度是_____ cm． 13. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是__________． 14. 如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是______． 15. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点在第______象限，它的横坐标为______ 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 18. 如图，直线l分别交x轴和y轴于点和点B，求直线的解析式． 19. 五四青年节前夕，光明中学开展了主题为“扬五四精神·展青春风采”的教育主题周活动． 为了解七、八年级学生对此活动参与学习情况，从七、八年级中各随机抽取15名学生进行问卷测试，最后成绩以分数（百分制）体现，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 七年级15名学生测试成绩：85，78，69，86，92，96，79，86，91，95，75，88，74，86，89 八年级15名学生测试成绩：73，74，75，77，80，82，84，85，85，88，91，92，94，97，98． 【整理数据】 年级 七年级 1 4 4 八年级 0 4 6 5 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 85 85 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________， _______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个年级的成绩比较好，简要说明理由； （3）七年级共有学生840人，八年级共有学生720人，按规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个年级可以获奖的总人数是多少？ 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 （1）求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； （2）已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 21. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． （1）由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ （2）求这片绿化区的面积． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． （1）求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ （2）由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 23. 如图1，菱形 的对角线相交于点O，，，过点C作，且，连接． （1）在图1中，的度数为______；的长为______； （2）请判断四边形 的形状并说明理由； （3）如图2，将沿射线方向移动得到，直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，设． ①当以，，C，O为顶点的四边形是正方形时，求x的值； ②当以，E，C，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出符合条件的x值． 24. 如图1，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）如图1，若点E是线段上一动点，过点E作y轴的平行线，交直线于点D，若的面积为5，求点E的坐标； （3）如图2，若点P是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，连接，在点P的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省宜昌市夷陵区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，x的值可以取（ ） A. 1 B. 7 C. 14 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义．二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：要使二次根式有意义， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，10 D. 7，24，26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； B. ， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； C. ， ∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意； D. ， ∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 3. 在平行四边形中，，则平行四边形的周长为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的周长，直接根据平行四边形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ； 故选A． 4. 下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数，当 时，函数也叫正比例函数．根据正比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、分母中含有未知数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、是正比例函数，故本选项符合题意； C、自变量的最高次为2次，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D、因变量的最高次为2次，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 我国是世界上最早使用历法的国家之一，农历二十四节气就是我国古代劳动人民总结的天文气象历法，是世界的非物质文化遗产，有些节气与白昼时长密切相关．图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长小于 的节气是（ ） A. 立春 B. 芒种 C. 大雪 D. 白露 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像信息题，正确从图像中获取信息是解题的关键． 根据函数图像展示的信息判断即可． 【详解】解：根据图像信息，立春白昼时长为之间，芒种白昼时长超过，大雪白昼时长小于 ，白露白昼时长为之间， 所以，白昼时长小于 的节气是大雪； 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，直接根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，于点B，且 ，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得AC的值，从而得到AD的长，进而可得到答案. 【详解】∵数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1， ∴AB=3， ∵于点B，且 ， ∴， ∵以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D， ∴AD=AC=， ∴点D表示的数为：， 故选C. 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的实数与勾股定理，根据勾股定理，求出AC的长，是解题的关键. 8. 某学校组织演讲比赛，记录了甲、乙、丙、丁四名学生演讲比赛成绩的平均数与方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 83 86 83 86 方差 3.5 7.5 6.5 3.5 学校要从这四名学生中选择一名成绩好且发挥稳定的学生代表学校参加全市的演讲比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据题意可知要选择平均数大且方差小的人参赛，据此求解即可． 【详解】解：从平均数来看，应该从乙，丁中选择一人参赛， 从方差来看，应该从甲，丁中选择一人参赛， ∴综合来看，应该选择丁参赛， 故选D． 9. 已知点在第二象限，则函数的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，则，则可得到函数的图象经过第一、二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 10. 如图，在四边形中， ，．按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别交于点，；②作直线，且直线恰好经过点 ，且与边交于点；③连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接．证明四边形是菱形，是等边三角形可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是菱形， ∵ 垂直平分线段， ∴， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线之间的距离，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方法比较两个数的大小，对于带根号的实数的大小关系的比较，平方法是比较常用的一个技巧．只需比较与的大小关系，即可得到与的大小关系，然后再进行判断． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 12. 如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则DE 的长度是_____ cm． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理进行解答即可得. 【详解】∵D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=BC==3cm， 故答案为3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解此题的关键．根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是9小时， 故众数是9， 故答案为：9． 14. 如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则 代表的正方形的面积是______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，掌握以勾股定理的计算为背景是关键． 根据图示，运用以勾股定理为背景得计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为：100 ． 15. 如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点在第______象限，它的横坐标为______ 【答案】 ①. 一 ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，正比例函数的性质．分别计算、、、、、、、的横坐标，发现规律的横坐标为，按照规律解答即可． 【详解】解：∵，点在直线上， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线， ∴， 解得：， ∴，即点的横坐标为，且在第二象限， 同理： 点的横坐标为，且在第三象限， 点的横坐标为，且在第四象限， 点的横坐标为，且在第一象限， 点的横坐标为，且在第二象限， 点的横坐标为，且在第三象限， 点的横坐标为，且在第四象限， 点的横坐标为，且在第一象限， ， ∴点的横坐标为， 令， ∴， ∴点的横坐标为，且在第一象限， 故答案为：一；． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，绝对值的性质计算后再算加减即可． 本题考查二次根式的加减法，实数的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 18. 如图，直线l分别交x轴和y轴于点和点B，求直线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出的长得到B点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了勾股定理． 【详解】解： ， ， ， 设直线解析式为， 把A、B两点坐标分别代入得， 解得， 直线的解析式为． 19. 五四青年节前夕，光明中学开展了主题为“扬五四精神·展青春风采”的教育主题周活动． 为了解七、八年级学生对此活动参与学习情况，从七、八年级中各随机抽取15名学生进行问卷测试，最后成绩以分数（百分制）体现，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 七年级15名学生测试成绩：85，78，69，86，92，96，79，86，91，95，75，88，74，86，89 八年级15名学生测试成绩：73，74，75，77，80，82，84，85，85，88，91，92，94，97，98． 【整理数据】 年级 七年级 1 4 4 八年级 0 4 6 5 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 85 85 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______， ________， _______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个年级的成绩比较好，简要说明理由； （3）七年级共有学生840人，八年级共有学生720人，按规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个年级可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1），， （2）我认为八年级的成绩较好，理由见解析 （3）估计这两个年级可以获奖的总人数为464人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，中位数，众数，平均数，用样本估计整体等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）用15减去七年级其他组别的频数即可求出a的值，再根据中位数和众数的定义即可求出b、c的值； （2）根据八年级的平均数比七年级的大即可得到答案； （3）分别用对应年级的人数乘以对应样本中90分及90分以上的学生人数占比，所得结果求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； ∵七年级成绩中，86出现的次数最多， ∴七年级的众数为86，即 ∵八年级一共调查了15名学生， ∴八年级的中位数是第8名的成绩（按照从低到高的顺序排列），即八年级的中位数为85， ∴ ； 【小问2详解】 解；我认为八年级的成绩较好，理由如下： ∵八年级的平均分85分大于七年级的平均分分， ∴八年级成绩较好； 【小问3详解】 解：由题意得： 答：估计这两个年级可以获奖的总人数为464人． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 （1）求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； （2）已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】（1）落到地面的时间为； （2）这串钥匙在下落后会对人体造成危害，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由， ，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； 【小问2详解】 由题意，， ， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害． 21. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． （1）由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ （2）求这片绿化区的面积． 【答案】（1）居民从点 到点将少走 （2）这片绿地的面积是 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，利用勾股定理求出的长，再求出的结果即可得到答案； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即 ，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点 到点将少走 ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴ 是直角三角形，即 ， ∵，， ， 答：这片绿地的面积是． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． （1）求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ （2）由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）； （3）商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元，根据购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元得：，即可解得哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）由购进哪吒摆件x个，知购进敖丙摆件个，故； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元，可得：，又购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，可得，解得：，再根据一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元， 根据题意得：， 解得：， 哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； 【小问2详解】 根据题意得：， ； 【小问3详解】 设销售两种摆件获得的利润为w元， 由题意得， 解得：， 根据题意得， ， 随x的增大而增大， 当 时，w取得最大值，最大值为元， 商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 23. 如图1，菱形 的对角线相交于点O，，，过点C作，且，连接． （1）在图1中，的度数为______；的长为______； （2）请判断四边形 的形状并说明理由； （3）如图2，将沿射线方向移动得到，直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，设． ①当以，，C，O为顶点的四边形是正方形时，求x的值； ②当以，E，C，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出符合条件的x值． 【答案】（1），； （2）四边形 为矩形，理由见解析 （3）①当x为 或时，以，，C，O为顶点的四边形是正方形；②当x为或时，以、E、C、F为顶点的四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理即可得到结论； （3）①分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得 和的长，再利用，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：四边形为矩形， 理由：四边形是菱形， ，， ，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：①第一种情况：当点在线段上时， ， ， 四边形是正方形， ，即， ， 第二种情况：当点在线段的延长线上时， ， ， 四边形是正方形， ，即， ， 综上所述，当x为 或时，以，，C，O为顶点的四边形是正方形； ②当点在线段上时， ， ， 由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ，由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 综上，当x为或时，以、E、C、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图1，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）如图1，若点E是线段上一动点，过点E作y轴的平行线，交直线于点D，若的面积为5，求点E的坐标； （3）如图2，若点P是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，连接，在点P的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，，由点C与点A关于y轴对称，知，再用待定系数法得直线BC的函数解析式为 ； （2）设，则，求出，可得，解得； （3）分两种情况：①当点P在y轴左侧时，设，其中，则，证明，可得，即，即可解得；②当点P在y轴右侧时，设其中，同理可得，从而 【小问1详解】 解：在中，令得 ，令得， ，， 点C与点A关于y轴对称， ， 设直线的函数解析式为，将、代入得：， 解得， 直线的函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：设，其中，则， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：在点P的运动过程中存在的情况，理由如下： ①当点P在y轴左侧时，如图： 设，其中，则， 点C与点A关于y轴对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； ②当点P在y轴右侧时，如图： 设其中，则， ，， ， ， ， ，，， ， 解得， ； 综上所述，Q的坐标为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $