精品解析：江西省南昌市青云谱区南昌市江铃学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级上学期第三阶段数学练习 练习内容（第21章至第25章） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图案中，是中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ） A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1 5. 如图，⊙上三点、、，，，则长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 6. 如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 36 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标为______． 8. 九年级数学上册共有154页，翻开此书，发现页码为“164”的事件是______． 9. 若、是一元二次方程的两根，则的值为______． 10. 如图，直线与相切于点，为的弦，，平分，则的度数为______． 11. 已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是_____． 12. 中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 14. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．求证：、、三点共线． 15. 某地为高铁建设，需要将一些沿线居民迁往异地安置，2022年共投入资金1280万元，并规划投入资金逐年增加，2024年投入资金为2880万元．求从2022年到2024年，该地投入异地安置资金的年平均增长率． 16. 如图，是的弦，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，请在图中作一个矩形； （2）在图2中，为的中点，请以为底作一个等腰三角形． 17. 某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． （1）如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； （2）若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 19. 已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 20. 如图是一块由篱笆围成的矩形菜园，中间为一条与边平行的篱笆．已知篱笆的总长为100（篱笆的厚度忽略不计），当矩形的面积为时，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 22. 已知抛物线与y轴的交点为A，且y与x的部分对应值如表： x …… 0 1 2 5 …… y …… 0 m 8 9 0 …… （1）抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，并画出函数的图象； （2）设点P为抛物线上的一个动点，连接，取的中点．猜想点构成的曲线是什么函数的图象，求此函数的解析式，并在网格中画出该函数的大致图象． 六、解答题（本大题共12分） 23. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示） （3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第三阶段数学练习 练习内容（第21章至第25章） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、方程含两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； B、整理为，是一元二次方程，符合题意； C、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开为，最高次数为3，属于三次方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 下列四个图案中，是中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，即可判断求解． 【详解】解：图形1：不是中心对称图形； 图形2：是中心对称图形； 图形3：是中心对称图形； 图形4：不是中心对称图形； 综上，共有2个图形为中心对称图形． 故选：B． 3. 若的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与O的位置关系为相交． 【详解】解：∵的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，且4＞3， ∴直线l与的位置关系是相交． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离，其中圆心到直线的距离为d，半径为r是解题的关键． 4. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ） A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式求解． 【详解】解：∵方程有实数根 ∴△=4-4a≥0， 解得a≤1 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键． 5. 如图，⊙上三点、、，，，则长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作垂线，利用圆周角定理可得，根据已知条件可知，为等腰三角形，从而可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点作的垂线，垂足为点D， ， 与是同弧所对的圆周角和圆心角，且， ， 是圆的半径，且， ，为等腰三角形， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，正确画出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6. 如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∵点B在第四象限， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，其顶点是，据此解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 8. 九年级数学上册共有154页，翻开此书，发现页码为“164”的事件是______． 【答案】不可能事件 【解析】 【分析】此题考查事件的分类，根据事件分类的定义，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是绝对不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，根据事件分类得到答案． 【详解】解：九年级数学上册共有154页，页码范围为1至154， 第164页不在该范围内，不存在被翻到的可能， 因此发现页码为“164”的事件是不可能事件， 故答案为：不可能事件． 9. 若、是一元二次方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 10. 如图，直线与相切于点，为的弦，，平分，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，角平分线的定义；连接并延长交于点，则是直径，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出则，根据切线的性质可得，根据角平分线的定义求得，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是_____． 【答案】k＜4 【解析】 【分析】由题意可知抛物线与x轴有两个交点，因此运用二次函数的图象与x轴交点的性质解答即可． 【详解】∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上， 又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方， ∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点， ∴△>0，即（-4）2-4k>0， ∴k＜4， 故答案为k＜4. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键. 12. 中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ①如图1中， 当时， 在和中， ， ， ． ②如图2中，当时，同理可证， ， ． ③如图3中，当时，同理可证， ， 故答案为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，求抛物线与坐标轴的交点坐标； （1）利用因式分解即可求解； （2）令分别为，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）因式分解得：， 即或， 解得：； （2）当时，， 当时，， ∴， ∴或， 解得：或， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为． 14. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．求证：、、三点共线． 【答案】 证明：∵，， ∴， 由旋转性质可得：，， ∴， ∴， ∴三点共线． 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求出，结合旋转可得，，求解，进一步可得结论． 【详解】略 15. 某地为高铁建设，需要将一些沿线居民迁往异地安置，2022年共投入资金1280万元，并规划投入资金逐年增加，2024年投入资金为2880万元．求从2022年到2024年，该地投入异地安置资金的年平均增长率． 【答案】该地投入异地安置资金的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设年平均增长率为，根据2022年和2024年的投入资金关系建立方程，解方程并检验解的合理性，从而求得增长率． 【详解】解：设从2022年到2024年的年平均增长率为， 根据题意得 解得：，（舍去） 答：该地投入异地安置资金的年平均增长率为． 16. 如图，是的弦，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，请在图中作一个矩形； （2）在图2中，为的中点，请以为底作一个等腰三角形． 【答案】（1）四边形即为所求 （2）即为所求 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角为，矩形的判定，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）连接并延长交圆于C，连接，由直径所对圆周角为知，同理构造三个角为的四边形即为所求矩形； （2）连接，利用圆半径相等可得所求等腰三角形． 【小问1详解】 解：连接并延长交圆于C，连接并延长交圆于D，连接，则四边形为矩形． 理由：为直径， 为直径， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 连接，则是以为底的等腰三角形． 理由：都为圆半径， ， 是以为底的等腰三角形． 17. 某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． （1）如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； （2）若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． （1）共有3种等可能出现的结果，其中抽到的刚好是播放足球赛的有1种，再根据概率的定义求解即可； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果以及抽到播放足球赛的这个台的情况数，再根据概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球这个台的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设播放篮球赛为A，B台，播放足球赛C台， 所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有6种，其中小川抽到足球赛的有2种， 所以小川抽到足球赛的这个台的概率为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 19. 已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【答案】(1)、b=2a；(2)、（0，0）或（2，0）． 【解析】 【详解】（1）因为点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，所以1=1-2a+b，可得b=2a． （2）根据题意，方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，所以4a2-4b=4a2-8a=0，解得a=0，或a=2． 当a=0时，y=x2，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）； 当a=2时，y=x2-4x+4，这个二次函数的顶点坐标为（2，0）． 所以，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）或（2，0） 20. 如图是一块由篱笆围成的矩形菜园，中间为一条与边平行的篱笆．已知篱笆的总长为100（篱笆的厚度忽略不计），当矩形的面积为时，求的长． 【答案】的长为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设，易得，根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：，则：， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：； 答：的长为或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点．如图1，直线，垂足为，点在上，请说明直线是的切线； 知识应用 如图2，、、、均在上，连接外一点与上一点，并延长交于点，，垂足为，连接交于点，若的半径为4，，． （1）求证：是的切线； （2）求线段和弧的长． 【答案】 课本再现：证明：设直线l与另一交点为点M， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴直线l， ∵，都过点O， ∴根据垂线的性质可得与重合，即点A与点M重合， ∴直线l与只有一个交点， ∴直线是的切线． 知识应用：（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）， 【解析】 【分析】课本再现：设直线l与另一交点为点M，由得到，从而直线l，根据垂线的性质可得点A与点M重合，即直线l与只有一个交点，根据切线的定义得到直线是的切线； 知识应用：（1）连接，先求出，再由直角三角形两锐角互余和对顶角相等求出，由等腰三角形得性质得，进而可证是的切线； （2）先证明点D，O，B三点共线，得到，由30度角的性质得，根据可求出；求出，然后根据弧长公式弧的长． 【详解】课本再现：略 知识应用： （1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D，O，B三点共线， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查了切线证明与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求弧长，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式是解答本题的关键． 22. 已知抛物线与y轴的交点为A，且y与x的部分对应值如表： x …… 0 1 2 5 …… y …… 0 m 8 9 0 …… （1）抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，并画出函数的图象； （2）设点P为抛物线上的一个动点，连接，取的中点．猜想点构成的曲线是什么函数的图象，求此函数的解析式，并在网格中画出该函数的大致图象． 【答案】（1），； 由表中数据可画出二次函数图象，如图： （2）二次函数，， 图象如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据表中数据和函数的对称性可以求出函数的对称轴，再令，则求出点坐标；根据表中数据描点、连线画出函数图象； （2）根据（1）中数据可以求出抛物线的解析式，再设点坐标为，根据中点坐标公式求出，令，则，把代入中即可得出点运动的函数解析式，并根据函数解析式画出点的图象． 本题考查动点问题的函数图象，解题关键是求出函数的解析式． 【小问1详解】 解：根据当和5时，，得出抛物线的对称轴是：直线， 抛物线与轴的交点为， 时，，则点， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点构成的曲线是抛物线． 抛物线过，， ， 解得， 二次函数的解析式为：， 设点坐标为， 点坐标为，是中点， ，， 令，则， 六、解答题（本大题共12分） 23. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示） （3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）2a；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABM≌△ACN，从而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，再根据勾股得出AM的长； （2）将绕点C旋转后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，从而得出的周长 （3）连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面积和即可． 【详解】（1）∵， ∴∠B=∠ACB=45°， 将绕点A旋转后得到，此时AB与AC重合，由旋转可得： △ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°， ∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°， ∴ ∴； （2）∵，， ∴将绕点C旋转后得到，此时BC与DC重合， ∴△BCP≌△DCM， ∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM， ∵， ∴， ∴， ∵PC=CM，QC=QC, ∴△QCP≌△QCM， ∴PQ=QM， ∴的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB， ∵， ∴的周长=2a； （3）如图，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′， 连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE； ∴△BCD≌△B′AD ∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A， ∵∠ABC=75°，∠ADC=60°， ∴∠BAB′=135° ∴∠B′AE=45°， ∵ ∴B′E=AE=， ∴BE=AB+AE=2+=， ∴ ∵等边△DBB′，∴BB′上的高=， ∴ ∴ ， ∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=； 【点睛】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $