精品解析：2025年贵州省遵义市校联考中考模拟数学试题二

2024—2025学年度九年级中考信息卷（二） 数学试题卷 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1. 在3，0，2，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. 0 C. 2 D. 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，将等边三角形如图放置．若，则等于（ ） A. 17° B. 22° C. 27° D. 32° 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？”其大意是：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤＝16两）；5只麻雀重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等，则1只麻雀、1只燕子的平均重量分别为多少两？若设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，在直线的同侧，，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则长度为（ ） A. B. C. D. 9. 教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在相同条件下各打了6发子弹，命中环数如下：甲：9、8、8、7、7、9；乙：10、8、9、6、5、10．应该选（ ）参加 A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都可以 D. 无法确定 10. 等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根则的值为（ ） A. 15 B. 24 C. 15或24 D. 22或24 11. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4个小题，每题4分，共16分．答题请用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔直接答在答题卡的对应位置上） 13. 比较大小： _____2（填“”、“”或“”）． 14. 若单项式与单项式的和仍是单项式，则______． 15. 实数，分别满足，，且，则的值是___________． 16. 如图，在中，，为边上一动点，为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，交于，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共9个小题，共98分．答题请用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔直接答在答题卡的对应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：； （2）有三个不等式：①；②；③．请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，求出它的解集，并在数轴上表示出来． 18. 近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活，下面是我国某区域2023年各季度新能源汽车销售量情况统计图． （1）这个区域2023年共销售新能源汽车__________万辆，其中一季度销售__________万辆； （2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整； （3）2023年平均每季度的增长量为多少万辆？ 19. 2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到点处测得正前方点处的俯角为．求海底点处距离海面的深度（结果精确到个位，参考数据：）． 20. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 22. 如图，是的外接圆，是优弧上一点，设． （1）当时，__________； （2）猜想与之间的关系，并给予证明； （3）若点平分优弧，且，猜想的形状，并说明理由． 23. 为了主题为“醉美遵义 酒都仁怀”第十三届遵义文化旅游产业发展大会召开，仁怀某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2.5倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化面积． （2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，求与函数解析式． （3）若甲队每天绿化费用是1.5万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，且甲乙两队施工的总天数不超过19天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 24. 一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．如图，若把桥看作是抛物线一部分，建立如图坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ （3）如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度． ①平移后的函数图象与直线没有交点，结合函数图象，直接写出的取值范围__________． ②直接写出当__________时，平移后的函数图象与直线有三个交点． 参考公式： 25. 问题背景：已知∠GDH的顶点在边BC所在直线上（不与B，C重合），DG交AB所在直线于点E、DH交AC所在直线于点F．记△BDE的面积为，△CDF的面积为． （1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形．，，且，时， ． （2）类比探究：在（1）的条件下，沿BC方向平移∠GDH，使得，如图2所示位置，则 ． （3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，． （Ⅰ）如图3当点D在线段BC上运动时，设，， ①求证：△BDE∽△CFD． 证明： ∵， ， ∴ ∵ ∴△BDE∽△CFD． ②直接写出 ， （结果用含m，π，β的三角函数表示）． （Ⅱ）如图4，当点D在BC的延长线上运动时，设，，求的表达式（结果用含m，n，β的三角函数表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度九年级中考信息卷（二） 数学试题卷 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1. 在3，0，2，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是：3． 故选：A． 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较小的数，将原数转换为科学记数法时，需表示为（），通过移动小数点确定的值和指数． 【详解】解：原数为，将小数点向右移动7位至第一个非零数字8后，得到，因小数点向右移动了7位，指数为，因此，科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图，已知直线，将等边三角形如图放置．若，则等于（ ） A. 17° B. 22° C. 27° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，，再根据即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，过三角形左边的顶角，作直线，直线将三角形的顶角分成两个角，分别是和， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形和平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行同位角相等和两直线平行内错角相等． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，C，由积的乘方运算可判断B，由单项式乘以单项式可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，不是同类项，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，单项式乘以单项式，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 5. 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由题意一次函数与y轴的交点位于y轴负半轴上得到m的范围，再根据函数的增减性可求得k的范围. 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交， ∴﹣m＜0， ∴m＞0， 又∵函数值随自变量增大而减小， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2. 故选A. 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的增减性为：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 6. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？”其大意是：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤＝16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等，则1只麻雀、1只燕子的平均重量分别为多少两？若设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，根据题意得， 故选：B． 7. 如图，点，在直线的同侧，，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，共边，对选项一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A．补充，可根据判定，故正确； B．补充，不能判定，故错误； C．补充，可根据判定，故正确； D．补充，可根据判定，故正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 8. 在中，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据余弦的定义得出与的比值，设未知数后利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，设，则， ∴， 解得：， 则， 故选：C． 9. 教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在相同条件下各打了6发子弹，命中环数如下：甲：9、8、8、7、7、9；乙：10、8、9、6、5、10．应该选（ ）参加 A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都可以 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数，方差； 求出甲、乙两人成绩的平均数，比较甲、乙两人成绩的稳定性，计算各自的方差，方差小者更稳定． 【详解】解：甲的平均数：， 乙的平均数：， 甲的方差：， 乙的方差：， 甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定． 故选：A． 10. 等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根则的值为（ ） A. 15 B. 24 C. 15或24 D. 22或24 【答案】B 【解析】 【分析】分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时，由a=b及a+b=10即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n+1=5×5即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为8，由2、2、8不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论． 【详解】解：当2为底边长时，则a=b， ∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴a+b=10，ab= n+1， ∴a=b=5． ∵5，5，2能围成三角形， ∴n+1=5×5， 解得：n=24； 当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8， ∵8，2，2不能围成三角形， ∴此种情况不存在． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 11. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为0的条件分别求出，，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式无意义 ∴，解得：， ∵时，此分式的值为0， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 12. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故在第一象限，且，由此求解即可． 【详解】解：∵A点坐标， ∴， ∴第一次旋转后，点在第二象限，； 第二次旋转后，点在第一象限，； 第三次旋转后，点在x轴正半轴，； 第四次旋转后，点在第三象限，； 第五次旋转后，点在第四象限，； 第六次旋转后，点在x轴负半轴，； 如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上， ∵， ∴点在第一象限，且， 过点作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，的直角三角形，以及勾股定理等知识，解题的关键是确定所在的象限． 二、填空题（本题共4个小题，每题4分，共16分．答题请用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔直接答在答题卡的对应位置上） 13. 比较大小： _____2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 若单项式与单项式的和仍是单项式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式以及同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义求出的值即可得到答案． 【详解】解：由于单项式与单项式的和仍是单项式， 与是同类项， ， 解得， ． 故答案为：． 15. 实数，分别满足，，且，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：由题可知，m和n是的两个根， 所以， 所以； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则． 16. 如图，在中，，为边上一动点，为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，交于，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，过点作于点，连接，先求得，，根据圆周角定得出，进而可得，则当时，取得最小值，进而等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得： ∴，则 连接， ∴ ∴ ∴当的半径最短时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， 此时 ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共9个小题，共98分．答题请用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔直接答在答题卡的对应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：； （2）有三个不等式：①；②；③．请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，求出它的解集，并在数轴上表示出来． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，求不等式组解集，在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握解一元二次方程的方法，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1） ∴或 ； （2）选择①和②， 联立得，解得， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示如下， 选择①和③， ，解得， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示如下， 选择②和③， ，解得， ∴不等式组的解集为：无解， 18. 近些年，新能源汽车以其清洁环保、使用成本低、高能源利用率等优点，慢慢走进人们的生活，下面是我国某区域2023年各季度新能源汽车销售量情况统计图． （1）这个区域2023年共销售新能源汽车__________万辆，其中一季度销售__________万辆； （2）将上面的条形统计图和扇形统计图中缺失的数据填、画完整； （3）2023年平均每季度的增长量为多少万辆？ 【答案】（1）120、18； （2）见解析； （3）万辆． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的运用，解题的关键是能够将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联． （1）根据二季度的销量和百分比可求出总销售量，用总销售量乘以一季度的百分比即可求出一季度的销量； （2）用三季度的销量除以总销量求出三季度的百分比，即可补全扇形统计图；根据一季度的销量可补全条形统计图； （3）根据四个季度由三个增长间隔，即可求解平均每季度的增长量． 【小问1详解】 解：总销量为（万辆）， 一季度销量为（万辆）， 故答案为：120，18； 【小问2详解】 解：三季度的百分比为， 条形统计图和扇形统计图如下所示： 【小问3详解】 解：2023年平均每季度的增长量为： （万辆）． 19. 2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到点处测得正前方点处的俯角为．求海底点处距离海面的深度（结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】海底点处距离海面的深度约为2191米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，先过点作，垂足为，延长交于，整理得米，把数值代入进行计算，得，则（米），即可作答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于， 设米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 即， ∴， ∵米， ∴（米）， 答：海底点处距离海面的深度约为2191米． 20. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形面积． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形. （2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积. 【详解】（1）证明：由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； （2）∵矩形中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 22. 如图，是的外接圆，是优弧上一点，设． （1）当时，__________； （2）猜想与之间的关系，并给予证明； （3）若点平分优弧，且，猜想的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）是等边三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半和等腰三角形的性质解答即可； （2）根据（1）的方法解答即可； （3）过O作于D，证明，根据余弦定义并结合特殊角的三角函数值求出，结合（2）中，求出，可证为等边三角形，得到答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是等边三角形，理由如下， 过点作于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点平分优弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定、锐角三角函数等知识，正确作出辅助线构造直角三角形进行解答是解题的关键． 23. 为了主题为“醉美遵义 酒都仁怀”第十三届遵义文化旅游产业发展大会召开，仁怀某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2.5倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积． （2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，求与的函数解析式． （3）若甲队每天绿化费用是1.5万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，且甲乙两队施工的总天数不超过19天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是125m2、50m2；（2）y与x的函数解析式为：y=-2.5x+40；（3）安排甲队施工14天，乙队施工5天时，施工总费用最低，最低费用为23.5万元． 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是am2，根据在独立完成面积为500m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天，列方程求解； （2）根据题意得到125x+50y=2000，整理得：y=-2.5x+40，即可解答； （3）根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=1.5x+0.5y=0.25x+20，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是am2， 根据题意得：， 解得：a=50， 经检验，a=50是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2.5=125（m2）． 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是125m2、50m2； （2）根据题意，得：125x+50y=2000， 整理得：y=40-2.5x， ∴y与x的函数解析式为：y=-2.5x+40； （3）∵甲乙两队施工的总天数不超过19天， ∴x+y≤19， ∴x-2.5x+40≤19， 解得：x≥14， 设施工总费用为w元，根据题意得： w=1.5x+0.5y=1.5x+0.5×(-2.5x+40)=0.25x+20， ∵k=0.25＞0， ∴w随x减小而减小， ∴当x=14时，w有最小值，最小值为0.25×14+20=23.5， 此时y=19-14=5． 答：安排甲队施工14天，乙队施工5天时，施工总费用最低，最低费用为23.5万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 24. 一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．如图，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ （3）如图2，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度． ①平移后的函数图象与直线没有交点，结合函数图象，直接写出的取值范围__________． ②直接写出当__________时，平移后的函数图象与直线有三个交点． 参考公式： 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米； （3）①，② 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键． （1）根据题意找出、坐标，设出函数解析式，代入坐标求解即可； （2）求出当高度正好为3米时的两个值，作差即可； （3）表示出根据“倒影”和平移表示出新函数解析式，与直线没有交点即联立解析式后方程无解，与直线有三个交点，则直线与平移后的“倒影”函数图象相切，即联立解析式后方程有两个相等实数根． 【小问1详解】 解：由题意得：水面宽度是20米，高是4米， 结合函数图象可知，顶点，点, 设二次函数表达式为， 将代入函数表达式得， 解得： 二次函数表达式为 即 【小问2详解】 当时，即 解得：， 答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过10米． 【小问3详解】 ①由题可知倒影函数图象与原函数图象关于轴对称， 倒影函数解析式为： 平移后的原抛物线解析式为： ，当时， 直线经过，要使直线与倒影函数图象没有交点，则 要使直线与平移后的原抛物线没有交点， 则无解 整理得： ，即 解得： 综上所述 ②倒影函数平移后的解析式为： 平移后的函数图象与直线有三个交点 则倒影函数平移后与直线相切 即有两个相等实数根 整理得： ，即 25. 问题背景：已知∠GDH的顶点在边BC所在直线上（不与B，C重合），DG交AB所在直线于点E、DH交AC所在直线于点F．记△BDE的面积为，△CDF的面积为． （1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形．，，且，时， ． （2）类比探究：在（1）的条件下，沿BC方向平移∠GDH，使得，如图2所示位置，则 ． （3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，． （Ⅰ）如图3当点D在线段BC上运动时，设，， ①求证：△BDE∽△CFD． 证明： ∵， ， ∴ ∵ ∴△BDE∽△CFD． ②直接写出 ， （结果用含m，π，β的三角函数表示）． （Ⅱ）如图4，当点D在BC的延长线上运动时，设，，求的表达式（结果用含m，n，β的三角函数表示）． 【答案】（1）； （2）； （3）（Ⅰ）①；②，；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）过点E作EM⊥BC，过点F作FN⊥BC，由题意可得和为等边三角形，求得，，即可求解； （2）由题意可得和为等边三角形，同（1）求得，，即可求解； （3）（Ⅰ）①根据三角形内角和的性质，即可求解；②利用三角形相似的性质，可得，即可求解，由（1）可得，，即可求解；（Ⅱ）根据题意可得△BDE∽△CFD，得到，再根据，，即可求解． 【小问1详解】 解：过点E作EM⊥BC，过点F作FN⊥BC，如图： ∵△ABC是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴和为等边三角形， ∴， 在中，可得，解得， 同理可得：， ∴， ， ∴ 【小问2详解】 解：由题意可得：和为等边三角形， ∴， 由（1）得，， ， ∴ 【小问3详解】 解：（Ⅰ）①由三角形内角和的性质可得：； 故答案为：； ②由①可得△BDE∽△CFD， ∴，即， 由（1）可得，， ， 故答案为：，； （Ⅱ）由题意可得：，，， ∴， ∴△BDE∽△CFD， ∴，即， 过点E作EM⊥BC，过点F作FN⊥BC，如图： 可得， ∴ 【点睛】此题考查了三角函数的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活利用相关性质进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$