精品解析：山东省潍坊市诸城市实验初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

初三数学学科阶段素养提升测评 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分） 1. 已知点，，都在反比例函数的图像上则（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 5. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 6. 下表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是（ ） 0 3 1 A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的即得0分） 7. 已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 随的增大而减小 D. 图象不可能与坐标轴相交 8. 下列说法中，正确的有（ ） A. 经过三点可以作一个圆 B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C. 圆的内接平行四边形是矩形 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 9. 二次函数的顶点坐标为，，其部分图象如图所示．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，，，是抛物线上的两点，则 D. 关于的方程无实数根 10. 如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆弧的中点，是的中点，交于点，交于点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题填对得5分，共20分） 11. 在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 12. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 13. 如图，已知正六边形的边长为3，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为_____． 14. 如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为_____． 四、解答题（本大题共8小题，共86分） 15. 解下列方程 （1） （2） 16. 计算 （1） （2） 17. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）方程的两个实数根分别为，，若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 18. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 19. 农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格（元千克） 日销售量（千克） （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 20. 如图，某海域有两灯塔A、，其中灯塔在灯塔A的南偏东方向，且A、相距海里．一渔船在处捕鱼，测得处在灯塔A的北偏东方向、灯塔的正北方向． （1）求，两处的距离； （2）该渔船从处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于处，并发出求救信号．此时，在灯塔处的渔政船测得处在北偏东方向，便立即以21海里/小时的速度沿方向航行至处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，，，在同一水平面内；参考数据：，） 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 22. 【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 （1）若，，则支撑杆 m． （2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 （3）如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学科阶段素养提升测评 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分） 1. 已知点，，都在反比例函数的图像上则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．已知三个点的横坐标，需比较其对应的纵坐标大小。由于反比例函数中，当时，函数在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．通过代入各点横坐标计算对应的值，即可比较大小． 【详解】解：由题意代入点：； 代入点：； 代入点：； ， ． 故选：B． 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，只需将代入二次函数解析式，计算对应的值即可得出答案． 【详解】解：将代入中，得： ， 因此，二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故选：C． 3. 直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案． 【详解】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID， 则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1， ∴四边形CDIF是正方形， ∴CD=CF=1， 由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD， ∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1， ∴AB=6=AE+BE=BF+AD， 即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用． 4. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 5. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 6. 下表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是（ ） 0 3 1 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．由表可知，二次函数的对称轴为，进而得出也经过点，再结合图象得出二次函数与轴正半轴的交点横坐标的范围，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由表可知，经过点和， ∴二次函数的对称轴为， ∵经过点， ∴由对称性可得，也经过点， ∵当时，；当时，， ∴二次函数与轴正半轴的交点横坐标的范围为， ∴方程的正数根的范围是． 故选：D． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的即得0分） 7. 已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 随的增大而减小 D. 图象不可能与坐标轴相交 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的解析式判断其图象的性质即可． 【详解】解：A、当时，，故图象必经过点，故此选项符合题意； B、因为，所以图象位于第一、三象限，故此选项不符合题意； C、因为，所以图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、反比例函数图象不可能与坐标轴相交，故此选项符合题意； 故选：AD． 8. 下列说法中，正确的有（ ） A. 经过三点可以作一个圆 B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C. 圆的内接平行四边形是矩形 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】BC 【解析】 【详解】本题考查了确定圆的条件，弦、弧、圆心角的关系，圆内接四边形，垂径定理的推论等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆的相关性质逐项分析判断即可得出答案． 【分析】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，故此选项说法错误，不符合题意； B、等弧在同圆或等圆中长度相等，所对的圆心角必然相等，故此选项说法正确，符合题意； C、圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，故每个角必为，即为矩形，故此选项说法正确，符合题意； D、若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直，所以平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故此选项说法错误，不符合题意； 综上，正确选项为BC， 故选：BC． 9. 二次函数的顶点坐标为，，其部分图象如图所示．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，，，是抛物线上的两点，则 D. 关于的方程无实数根 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数的图象判定式子是否成立，解题的关键是从图象中找到相关信息． 根据二次函数的性质及与x轴另一交点的位置，即可判定A；当时，即可判定B；根据对称性及二次函数的性质，可判定C；根据平移后与x轴有无交点，可判定D． 【详解】解：由图象可知：该二次函数图象的对称轴为直线， ， 由图象可知：该二次函数图象与轴的左侧交点在与之间， 故与轴的另一个交点在0与1之间， 当时，，即，，故A正确； 当时，，即，故B错误； 点，关于对称轴对称的点的坐标为，，即，， 在对称轴的左侧随的增大而增大，故，故C错误； 该二次函数的顶点坐标为，，将函数向下平移个单位，函数图象与x轴无交点， 方程无实根，故D正确． 故选：AD． 10. 如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆弧的中点，是的中点，交于点，交于点，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】证出，根据圆周角定理可得，则选项A正确；先证出，，则可得，，从而可得，再根据对顶角相等、等量代换即可判断选项B正确；延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据可得，则选项C错误；连接，先根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，则可得，可判断选项D正确，由此即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 由圆周角定理得：，则选项A正确； ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵是半圆的直径，为圆心，是半圆弧的中点， ∴，， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴，则选项B正确； 如图，延长，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； 如图，连接， 在中，， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴，则选项D正确； 故选：ABD． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 三、填空题（本大题共4小题，每小题填对得5分，共20分） 11. 在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数的性质，根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可．掌握反比例函数比例系数的几何意义及反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 根据甲同学的说法可得：， ∴， 根据乙同学的说法可知：， ∴， ∴根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式是． 故答案为：． 12. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 13. 如图，已知正六边形的边长为3，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和内角、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 先求正六边形内角和等于，求出内角，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴正六边形的内角和为，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积、旋转的性质、求扇形面积等知识点，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 由旋转的性质可得、，根据，再运用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 四、解答题（本大题共8小题，共86分） 15. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法、因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接利用公式法解一元二次方程即可； （2）先变形原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴该方程有两个不等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ， ， ， 或， ∴． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 17. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）方程的两个实数根分别为，，若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴，该一元二次方程总有两个实数根． （2） 经过，理由如下： 在一元二次方程中， ，． ∵， ∴将，代入可得： 即动点所形成的函数关系式为． 将代入得： 当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键； （1）先求出该一元二次方程的判别式的值，再根据一元二次方程根判别式，即可得证． （2）根据，，得出，将代入，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 19. 农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格（元千克） 日销售量（千克） （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 【答案】（1） （2）销售价格定为40元，日销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据表中销售价格每增加元千克，日销售量就减少千克，由此即可求出答案； （2）因为每增加5元千克，日销售量就减少，利用函数解析式，即可求出最大值． 【小问1详解】 解：假设与成一次函数关系，设函数关系式为 ， ∴ ，解得：， ， ∴， 检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式， 故函数关系为 ； 【小问2详解】 解：设日销售利润， 即 ， ∴当时， 有最大值，最大值为， 故这批农产品的销售价格定为元，才能使日销售利润最大． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是解题的关键． 20. 如图，某海域有两灯塔A、，其中灯塔在灯塔A的南偏东方向，且A、相距海里．一渔船在处捕鱼，测得处在灯塔A的北偏东方向、灯塔的正北方向． （1）求，两处的距离； （2）该渔船从处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于处，并发出求救信号．此时，在灯塔处的渔政船测得处在北偏东方向，便立即以21海里/小时的速度沿方向航行至处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，，，在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】（1）16海里 （2）小时 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确地作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得，，根据等腰三角形的性质可得到海里，过A作于H，然后解直角三角形求得即可解答； （2）如图：过D作于G，解直角三角形得到（海里），求得海里，根据勾股定理得到（海里），进而得到渔政船的航行时间． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴海里， 如图：过A作于H， ∴， ∴（海里）， ∴海里． 答：B，C两处的距离为16海里． 【小问2详解】 解：如图：过D作于G， 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴(海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）． 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，交延长线于点E， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定定理、解直角三角形等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）由得，由角平分线的定义以及圆周角定理可得、，则，所以，则，即可证明结论； （2）由的半径为10，是的直径得，由，求得，再证明，则，求得则，而，所以，求得，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为10，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴的长为． 22. 【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 （1）若，，则支撑杆 m． （2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 （3）如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求即可； （2）由题意得到 由题意得：，，，，，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，得到方程，则有则的长度可求． （ 3）①由题意，为等腰直角三角形，从而有，设二次函数为：，代入，求出函数关系式即可； ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，设，则点 ，代入求出x即可． 【小问1详解】 在中，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设 在中，， ∴， ∴， 解得． ∴，． 【小问3详解】 ①由F为抛物线顶点，可知， ∵， ∴为等腰直角三角形 由二次函数对称性可知， 设二次函数为：，代入得 ，解得， ∴y关于x的关系式为：， ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E， 过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=， 设，则点 ， 代入得， 化简得, 解得，，(答案不合理，舍去） ∴D′E=， ∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $