第01讲 方程与不等式的解法 讲义-2026年广东省春季高考数学复习资料

第01讲 方程与不等式的解法 考向一 一元一次方程 【例1】解一元一次方程 (1)（2）．(3) （4）． 【变式】 解方程： (1) (2) (3)； (4) (5) (6)． 考向二 一元一次不等式 【例2】解一元一次不等式 （1） （2） （3） 【变式】 解一元一次不等式 （1） （2） （3） （4） (5) (6)． 考向三 一元二次方程 【例3】解方程： (1) （2） (3)． （4） 【变式】 解方程 （1） (2) (3) (4) (5) (6) 考向四 一元二次不等式 【例4】解一元二次不等式 （1） （2）（3）（4） 【变式】 解一元二次不等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 考向五 分式不等式 【例5】解一元分式不等式 （1） （2） （3） 【变式】 解一元分式不等式 （1） （2）（3）（3）（4） 考向六 绝对值不等式 【例6】（1）（2）；（3）； 【变式】 解下列不等式 （1）； （2）.（3） 考向七 基本不等式 【例7】（1）若实数，，且，则的最大值为 （2）设，，若，则的最大值为 . （3）已知函数，则函数的最小值为 （4）已知实数，则的最小值是 （5）函数的最小值是 . （6）．设，且，则的最小值为 【变式】 1．设，且，则的最大值是 2． 已知，，，则的最大值为 3． 若,则的最小值 4． 已知函数，则的最小值为 5． 若正数满足，则的最小值为 . 6． 已知均为正实数且，则的最小值为 ． 题组一 一元一次方程 (1) (2) （3） （4） （5） (6) (7) (8) （9） (10) (11) (12)． 题组二 一元一次不等式 解方程及不等式 （1）（2）（3）．（4）． 题组三 一元二次方程 解方程： （1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)； (12) (13) (14) 题组四 一元二次不等式 1.解一元二次不等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15). 题组五 分式不等式 解一元分式不等式 (1)（2）（3）（4）（5）（6） 题组六 基本不等式 1．已知，，且，则的最大值为 . 2．已知，，且，则的最大值为 3．已知都为正数，且，则的最大值为 4．已知，则的最大值为 ． 5．已知都是正实数，若，则的最大值为 . 6．，则的最大值为 . 7．已知，且，则的最大值为 . 8．已知，则代数式的最小值是 . 9．函数在上的最小值是 ． 10．若，则的最大值为 ． 11．已知， 且，则的最小值为 . 12．已知实数a，b满足，则的最大值为 . 13．已知，则的最小值为 14．已知，则的最小值为 15．已知，则的最小值为 16．已知，则最大值 17．已知，则的最小值是 18．已知，则的最小值是 19．已知正数、满足，则的最小值为 20．设，且，则的最小值为 21．已知函数，则的最小值是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 方程与不等式的解法 考向一 一元一次方程 【例1】解一元一次方程 (1)（2）．(3) （4）． 【答案】(1)(2)（3）（4） 【解析】（1）移项，得合并同类项，得系数化为1，得 （2）去分母，得，合并同类项，得，系数化为1，得． （3）去分母，得去括号，得 移项，得合并同类项，得系数化为1，得 （4），去分母得：，去括号得：， 移项，合并同类项得：，系数化为1得：． 【变式】 解方程： (1) (2)；(3)； (4)(5)．(6)． 【答案】(1)（2）(3)(4)（5）（6） 【解析】（1）解：，去括号得：，移项得：， 合并得：，解得：． （2）解：∴； （3）解：，去分母，得，去括号，得， 移项、合并同类项，得，系数化为1，得． （4）解：，，，∴． （6）去分母，得，去括号，得，移项，得， 合并同类项，得，方程的两边都除以8，得． 考向二 一元一次不等式 【例2】解一元一次不等式 （1） （2） （3） 【答案】（1），， （2），，，， （3），去括号得，移项合并得，解得． 【变式】 解一元一次不等式 （1） （2） （3）（4）(5)；(6)． 【答案】（1） （2）（3）（4）(5)(6) 【解析】（1） （2），，解得：， （3），去括号得：，移项合并得：，解得：， （4）去分母得：，移项、合并同类项得：，系数化为得：． （5）解：，去括号得，移项得，； （6）解：，去分母得，去括号得，移项得，． 考向三 一元二次方程 【例3】解方程： (1)；（2） (3)．（4） 【答案】(1)，(3)，（4）， 【解析】（1）∵∴∴或方程的解为，． （2）∴，∴或，解得：， （3）∵∴∴∴或方程的解为，． （4），，∴， ∴，∴或，解得，． 【变式】 解方程 （1）(2)．(3)；(4)．(5) (6) 【答案】（1）(2)，(3)(4)(5)， (6)， 【解析】原方程可变形为：，∴或，解得：或，∴原方程的解为：，． （2）解：∴，． （3）移项：配方：在等式两边同时加1，得即 开方：∴ （4）移项： ，得 化简括号内式子为即 ∴或，∴ （5）解： ，∴，.∴，∴，∴，． （6）；∴．∴， 即，∴，或．∴，． 考向四 一元二次不等式 【例4】解一元二次不等式 （1） （2）（3）（4） 【答案】（1）或（2）（3）或（4） 【解析】或，则得或.则解集为或. （2） 不等式即不等式，故，即不等式的解集为 （3）由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或，即不等式的解集为或. （4）因为，所以方程无实数根， 所以二次函数的图象全都在轴的上方，所以一元二次不等式的解集为. 【变式】 解一元二次不等式 （1）（2）（3）（4） （5）（6） 【答案】（1）（2）（3）或（4） （5）（6） 【解析】（1）不等式的解集为. （2），所以，原不等式的解集为． （3）由，可得解集为或． （4）因为，所以.所以，所以或. 所以不等式的解集为. （5），解得.故答案为：. （6）.故答案为：. 考向五 分式不等式 【例5】解一元分式不等式 （1） （2） （3） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）原不等式转化为，解得，则其解集为. （2）不等式等价于，且，解得，所以不等式的解集为， （3）不等式可化为，通分整理得，解得. 【变式】 解一元分式不等式 （1） （2）（3）（3）（4） 【答案】（1）（2）（3）（4）或 【解析】（1）或得．故答案为： （2）不等式化为：，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： （3）由，得即，解得，所以不等式的解集为. （4）由题可知：或， 不等式的解集为或. 考向六 绝对值不等式 【例6】（1）（2）；（3）； 【答案】（1）(2)（3） 【解析】（1）因为所以或，或，所以不等式的解集为 （2）或，解得或，所以不等式的解集为； （3），解得，所以不等式的解集为； 【变式】 解下列不等式 （1）； （2）.（3） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1），，即， 不等式的解集是. （2），或， 或.原不等式的解集为. （3）原不等式可化为.解不等式，得. 考向七 基本不等式 【例7】（1）若实数，，且，则的最大值为 （2）设，，若，则的最大值为 . （3）已知函数，则函数的最小值为 （4）已知实数，则的最小值是 （5）函数的最小值是 . （6）．设，且，则的最小值为 【答案】（1）（2）16（3）2（4）（5）0（6）9 【解析】（1），，，基本不等式得，当且仅当时，等号成立 （2），由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为.故答案为：16 （3）因为，则，当且仅当时等号成立. （4）因为，所以，当且仅当，即， 所以的最小值是. （5）因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号；故答案为：. （6）由于，故， 当且仅当即时取等号， 【变式】 1．设，且，则的最大值是 【答案】200 【解析】依题意，当且仅当时等号成立. 2．已知，，，则的最大值为 【答案】 【解析】利用基本不等式可知 因为，所以，当且仅当时等号成立；所以的最大值为 3． 若,则的最小值 【答案】6 【解析】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立， 故有最小值6. 4．已知函数，则的最小值为 【答案】 【解析】由题意，，在中，， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为， 5．若正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为正数满足，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为.故答案为：. 6．已知均为正实数且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，当且仅当时取得等号，即， 又因为，所以联立，解得，所以， 所以当时，有最小值，最小值为49，故答案为:49. 题组一 一元一次方程 (1)；(2)（3）．（4）．（5）． (6)；(7)；(8)；（9）． (10)(11)．(12)． 【答案】(1)（2）（3）（4）（5）(6)(7)(8)（9） (10)（11）（12） 【解析】（1）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得， 方程的两边都除以8，得． （2）解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，； （3）：，． （4）移项，得，合并，得，系数化为1，得． （5），去括号，得：，移项，得：， 合并同类项，得，将未知数的系数化为1，得． （6）解：移项得合并同类项得，系数化为1得，； （7）解：去括号得，项，合并同类项得，系数化为1得，； （8）解：，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得； （9）去分母，得，去括号，得， 移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得． （10）解：去分母，去括号， 移项，合并同类项，化系数为1，． （11）解：去分母得，去括号得，移项，合并同类项得， 系数化为1得，． （12）解：，去分母，得， 去括号，得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得． 题组二 一元一次不等式 解方程及不等式 （1）（2）（3）．（4）． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1） ，，． （2）去分母，得，去括号，得，移项，得， 合并同类项，得，系数化为，得，故答案为：． （3）去分母，得：，去括号，得：，移项，得：， 合并同类项，得：． （4）去分母，得，去括号，得， 移项、合并同类项，得，系数化为，得． 题组三 一元二次方程 解方程： （1）；(2)：(3)．(4)；(5)． (6)；(7)．(8)(9)(10) (11)；(12)(13)(14) 【答案】(1)，；(2)，(3)，(4)(5)， (6)，(7)，(8)，(9)，(10)， (11)，(12)，(13)， (14) 【解析】（1）解：或，∴，； （2）解：，∴，∴或，解得． （3）解：，∴，∴或，解得： （4）解：，，则，，解得； （5）解：，，则或，解得，． （6）解：或解得，； （7）解： 或解得，． （8）方程因式分解得，或，解得，． （9）方程直接开平方得或解得，． （10）方程移项得，，或，解得，． （11）解：，∵，，， ，∴方程有两个不相等的实数根， ，∴方程的解为，； （12）解：，，， ，； （13）解：∵，∴，∴， ∴，解得，． （14）解：，，， ； 题组四 一元二次不等式 1.解一元二次不等式 （1）（2）（3）（4）（5） （6）（7）（8） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5），或 （6）（7）（8） 【解析】（1）由，所以不等式的解集是， （2）可化为，即， 可得或，解得，所以不等式的解集为， （3）不等式可化为，则解集为， （4）由，得，所以不等式的解集为. （5）由，可得或，故解集为，或. （6）不等式等价于，二次函数图象开口向上，， 所以不等式的解集为全体实数， （7）因为，解得，所以不等式的解集为. （8）令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 2．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) (5)； (6)； (7) ；(8)． (9)； (10) ；(11) ．(12) (13) (14)； (15). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或．(7)一切实数． (8)．(9)(10)(11)无解．(11)(13)(14) (15)或 【解析】（1）或.所以所求不等式的解集为： （2）.所以所求不等式的解集为： （3）由.所以所求不等式的解集为： （4）因为.由，所以所求不等式的解集为： （5），方程的解是．不等式的解为． （6）整理得，．，方程的解为. 原不等式的解为或． （7）整理，得．由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （8）整理，得．由于当时，成立；而对任意的实数都不成立，原不等式的解为． （9）原不等式可化为，所以不等式的解为； （10）原不等式可化为，所以原不等式的解为； （11）原不等式可化为，，则图象恒在x轴上方，则原不等式无解． （12）由，得，解得，所以不等式的解集为； （13）由，得，即，解得或，所以不等式的解集为. （14）原不等式可化为.对于方程，因为， 所以二次函数的图象开口向上，与轴无交点，如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为. （15）原不等式即为，解得或，所以不等式的解集为或. 题组五 分式不等式 解一元分式不等式 （2）（3）（4）（5）（6） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6） 【解析】，即，解得：或，故不等式的解集为：， （2）由可得：，解得，或，此种情况无解，综上，的解集为. 故答案为：. （3）由题设，解集为.故答案为： （4）且，解得. （5）由题意可得，则，等价于，解得. （6）由题意可得，等价于，解得，故原不等式的解集为. 题组六 基本不等式 1．已知，，且，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】因为，，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8.故答案为：8 2．已知，，且，则的最大值为 【答案】 【解析】因为，，根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 3．已知都为正数，且，则的最大值为 【答案】 【解析】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 4．已知，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】由，则，当且仅当时取等号．故答案为：1 5．已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】，可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为，故答案为： 6．，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】，所以，当且仅当时取等号，故答案为：8 7．已知，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 8．已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【解析】由，则，当且仅当时，等号成立，所以代数式的最小值为.故答案为： 9．函数在上的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；故答案为：. 10．若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为.故答案为：. 11．已知， 且，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】∵， ，∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为.故答案为：. 12．已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：. 13．已知，则的最小值为 【答案】3 【解析】当时，，当且仅当时取等号，所以的最小值为3. 14．已知，则的最小值为 【答案】5 【解析】因为，根据基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为5， 15．已知，则的最小值为 【答案】0 【解析】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 16．已知，则最大值 【答案】-8 【解析】已知，则， 当且仅当，即时等号成立，所以已知，则有最大值. 17．已知，则的最小值是 【答案】3 【解析】因，则，则，等号成立时. 故的最小值是. 18．已知，则的最小值是 【答案】1 【解析】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 19．已知正数、满足，则的最小值为 【答案】9 【解析】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 20．设，且，则的最小值为 【答案】 【解析】， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 21．已知函数，则的最小值是 【答案】7 【解析】由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立．此时函数的最小值为7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$