4.4 《等腰三角形》等腰三角形的性质 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级上册

4.4 等腰三角形 ——等腰三角形的性质 等腰三角形 等腰三角形 A B C 腰 腰 顶角 底角 底角 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：你手中的△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C B D 等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A B C D AB与AC ∠B 与∠C. BD与CD ∠BAD 与∠CAD AD与AD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 猜想1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=∠C. 分析： 1、如何证明两个角相等？ 2、如何构造全等三角形？ 如何证明？ 猜想与证明 证明猜想 猜想：等腰三角形的两个底角相等。 A B C D 如何证明？ 构造全等三角形。 怎么构造？ 作BC上的高或BC上的中线或∠BAC的平分线 性质1：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角） 几何语言：在△ABC中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 探索新知 思考：从刚才的辅助线和证明过程可以看出：BC边上的高线、BC边上的中线和∠BAC的平分线有什么关系？（ ） 互相重合 性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高线及底边上的中线 互相重合。(三线合一） A B C D 几何语言：在△ABC中， 例题学习 例：如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD, 求△ABC各角的度数。 A B C D 分析 （1）找出图中所有相等的角。 （ ） ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC (2)思考∠BDC、∠C与∠A有什么数量关系？ ∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A (3)若设∠A为x°，则△ABC的内角∠C=________ ∠ABC=______ 2x° 2x° 等腰三角形常见辅助线 A B C A B C A B C D D 如图，作△ABC的 BC边中线AD 如图，作△ABC的 BC边上高AD 如图，作△ABC的 ∠BAC角平分线AD D 观察发现 这三条辅助线有什么特点？ 已证明 △ABD≌△ACD 已知：△ABC中，AB=AC ∴ ∠ADB=∠ADC=90° ∴ AD⊥BC ∴ ∠BAD=∠CAD ，∴AD平分∠BAC， ∴则AD是BC边的高 ∴AD是∠BAC的角平分线 中线 高 角平分线 ∴ DB=DC ∴则AD是BC边的中线 猜想与证明 线段AD是等腰△ABC的高、中线和顶角的角平分线 　　 等腰三角形的性质: 性质1：等腰三角形的两个底角相等； （简写为“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． （简写为“三线合一”） 随堂演练 基础巩固 1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ） A．30° B．60° C．75° D．85° C 2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A．80° B．20° C．20°或80° D．50°或80° C 综合应用 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度数. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. ∵AD=AC，∴∠ADC=∠C. ∵AD=BD，∴∠BAD=∠B. 设∠B=x，则∠BAC=2∠BAD=2x， ∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x， ∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°，∴∠B=36°. 拓展延伸 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC. 证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF. ∵AD⊥BC，∴EF⊥BC. 课堂小结 　　 等腰三角形的性质: 性质1：等腰三角形的两个底角相等； 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 性质探索过程 性质证明过程 “折叠” 作“辅助线” 归纳总结 $$