4.4 等腰三角形 课件 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质、判定，等边三角形及含30°角直角三角形性质，通过折叠长方形纸探究性质、海上救生船情境引入判定，以活动探究、问题链、推理验证为支架，衔接前后知识。 其亮点是借助动手操作（折叠、尺规作图）和现实情境（航海问题）培养几何直观，通过全等推理发展推理能力，规范应用格式强化数学语言表达。例题用方程解决角度问题，小结提炼方法，助力学生养成探究习惯，教师可直接使用活动设计提升教学效率。

4.4 等腰三角形 第4章 图形的轴对称 22005 4.4.1 等腰三角形的性质 第4章 图形的轴对称 22005 1.理解并掌握等腰三角形的性质，并利用其解决相关问题. 学习目标 22005 任务一：探索并证明等腰三角形的两个性质. 活动：动手操作后回答问题：将一张长方形的纸按图中的红线对折,把得到浅蓝色直角三角形剪下. 问题1：得到的△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ B A C D 等腰三角形是轴对称图形，折痕所在的直线是它的对称轴. 活动探究 22005 问题2：经AD折叠，BD和CD重合吗? ∠B和∠C重合吗? 问题3：还有其他重合的线段和重合的角吗？ B A C D 重合的线段 重合的角 想一想:由这些重合的角与线段，你有什么发现吗？ AB与AC BD与CD AD与AD ∠B与∠C ∠BAD与∠CAD ∠ADB与∠ADC 22005 发现： (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)∠B =∠C. (3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线. (4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高. (5)BD=CD，AD为底边上的中线. 猜一猜:根据以上发现你能总结出等腰三角形的性质吗？尝试自己验证一下. 22005 猜想1：等腰三角形底角相等 验证：已知：△ABC中，AB=AC，试说明：∠B=∠C. 得出结论：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 应用格式：因为AB=AC（已知）,所以∠B=∠C（等边对等角） 解：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D. 因为AD平分∠BAC,所以∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知），∠1＝∠2（已得），AD＝AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（SAS），所以∠B＝∠C. 22005 猜想2：等腰三角形三线合一 验证：已知：△ABC 中，AD是角平分线,试说明：AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高. A B C D 解：在ΔABC中，因为AD是角平分线, 所以∠BAD=∠CAD. 在ΔABD和ΔACD中, 因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD， 所以ΔABD≌ΔACD. 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚. 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高. 22005 活动小结 性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 应用格式：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）. 我们可以发现等腰三角形的性质： 22005 练一练 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° A 22005 任务二：理解等腰三角形的性质并能简单应用. 活动：完成下列问题，和同伴交流并总结概括解题思路. 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC. (1)求∠ADB的度数； (2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数； (3)若BC=3cm，求BD的长. 22005 1.解：(1)因为AB=AC，AD平分∠BAC， 所以AD⊥BC，所以∠ADB=90°. (2)在△ABC中，因为AB=AC，∠BAC=100°， 所以∠B=∠C=×（180°-100°）=40°。 (3)因为AB=AC，AD平分∠BAC， 所以AD是BC边上的中线。 所以BD=BC=×3=1.5（cm）。 22005 2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数. 解：设∠A=x°， ∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x°. ∵DE=EB，∴∠EBD=∠BDE=x°， ∴∠BDC=∠A+∠EBD=x°. ∵BC=BD，∴∠C=∠BDC=x°， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x°， ∴x+x+x=180，解得x=45，∴∠A=45°. 22005 活动小结 利用等腰三角形等边对等角的性质: 1.先确定同一个等腰三角形中等边所对应的底角， 3.当等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 2.利用三角形内角和的性质计算内角大小， 22005 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50˚根据作图痕迹，可知∠CBD=(　　) A．80˚ B．60˚ C．45˚ D．50˚ D 当堂检测 22005 2.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(　　) A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 3.如图，在△ABC中，AC=AD=DB，∠C=70°，则∠CAB的度数为(　　) A．75° B．70° C．40° D．35° B A B D C A 22005 针对本课关键词“等腰三角形”，说说你学到了什么？ 等腰三角形的性质 定理1：等边对等角 定理2：三线合一 课堂总结 22005 4.4.2 等腰三角形的判定 第4章 图形的轴对称 22005 1.掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算. 2.了解等腰三角形的尺规作图. 学习目标 22005 如图，位于海上B、C 两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ A B C 新课导入 22005 任务一：掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算. 活动1：画△ABC ，使∠B=∠C，量一量线段AB与AC的长度。你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？ 5.7cm 5.7cm 测量后发现AB=AC 猜想：如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等. 怎样用数学推理进行证明呢？ 活动探究 22005 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC. 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D，即∠1＝∠2， 证明： C A B 2 1 D （ （ 验证结论: 22005 活动小结 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 等腰三角形的判定方法： 应用格式： 在△ABC中，∵∠B=∠C（已知）， ∴ AC=AB（等角对等边）. 即△ABC为等腰三角形. B C A ( ( 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 22005 练一练 如图,下列推理正确吗? A B C D 2 1 因为∠1=∠2, 所以DC=BC(等角对等边). A B C D 2 1 因为∠1=∠2 ,所以BD=DC(等角对等边). 解：都不正确，因为图中∠1，∠2都不是在同一个三角形中. “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 22005 活动2：应用已学知识，解决下列问题. 如图，在△ABC中，AB=AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．(1)求证：△ACD为等腰三角形．(2)若∠BAD=140°，求∠BDC的度数． 解：(1)因为AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，AB=AC, 所以AB=AC=AD，即△ACD为等腰三角形； (2)因为AB=AC=AD，AD∥BC，∠BAD=140°, 所以∠ABD=20°,∠DAC=∠ABC=40°,∠ADC=∠ACD=70°, 所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=50°. 22005 练一练 如图，在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°. ∵D为AC的中点，∴AD=DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠A=∠C， ∴BA=BC，即△ABC是等腰三角形. 22005 任务二：了解等腰三角形的尺规作图. 活动：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，怎么作这个等腰三角形？ 作法：（1）作线段AB =a； （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC =h； （4）连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形. D C A B M N a h 22005 1.在△ABC中，∠A的相邻外角是80°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　） A．80° B．100° C．40° D．40°或 100° C 当堂检测 22005 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　） A．BC=BE B．EC=BE C．BC=EC D．AE=EC A 22005 3.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°- 40°= 40°，∴ ∠C = ∠A， ∴ BA=BC（等角对等边）. ∵AB=20×（12-10）=40(海里), ∴BC=40海里. 答：B处距离灯塔C 40海里. 80° 40° N B A C 北 22005 针对本节课的关键词“等角对等边”，你能说说学到了哪些知识吗？ 等腰三角形 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形 运用判定定理进行证明和计算 课堂总结 22005 4.4.3 等边三角形 第4章 图形的轴对称 22005 1.掌握等边三角形的性质以及等边三角形的判定方法. 2.运用等边三角形的性质、判定方法进行证明和计算． 3.了解含30°角的直角三角形的性质. 学习目标 22005 任务一：掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算. 活动1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，和同伴交流，回答以下问题. 问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么? 问题3：等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ A B C A B C 因三边相等，故有三线合一. 由等边对等角和三角形内角和，可得三角均为60°. 三条对称轴 活动探究 22005 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三条边相等 ，各个角都等于60°. 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 3.等边三角形每条边的中线,高和所对角的平分线“三线合一”. 活动小结 22005 活动2：和同伴一起交流，回答下列问题. 问题1：我们知道，如果一个三角形有三条边相等，那么它是等边三角形，如果一个三角形有三个角相等，这个三角形是什么三角形？ 类比探究： 等腰三角形等边对等角 等边三角形三个角都相等 等腰三角形等角对等边 三个角都相等的三角形是等边三角形 22005 问题解决：已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC. 证明：∵∠A=∠B， A B C ∴AC=BC,（等腰三角形等角对等边） 同理：∵∠A=∠C，∠B=∠C. ∴AB=BC、AB=AC， ∴AB=AC=BC. ∴ △ABC是等边三角形. 22005 问题2：请大家结合类比探究的方法，判断在一个等腰三角形中，当它有一个角等于60°时，这个三角形是否是等边三角形，请说明理由. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. 当底角为60°时，同理可证. 22005 等边三角形的判定方法： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形. 活动小结 22005 活动3：用已学的等边三角形知识，解决下列问题. (1)如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数. 解：因为△ABC是等边三角形，所以∠C=60°, 因为AD是BC边上的中线， 所以∠ADC=90°,∠DAC=30°， 因为AD=AE， 所以∠ADE=(180°-∠DAE)÷2=75°, 所以∠EDC=90°-∠ADE=90°-75°=15°. 22005 解：因为CD∥AB， (2)如图，∠B=60°，CD∥AB，若∠ACD=60°，△ABC是等边三角形吗？ 所以∠A=∠ACD=60°， 因为∠B=60°， 在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=60°， 所以∠A=∠B=∠ACB． 所以△ABC是等边三角形. 22005 任务二：了解含30°角的直角三角形的性质. 活动：如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？组内交流自己的想法. A B C D 猜想:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. BC = AB 22005 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠BCA =90°，∠BAC =30°. 求证：BC = AB． 验证猜想： 证明：作与△ABC关于直线AC对称的△ADC， ∴AD＝AB，DC＝BC， ∠ACD＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°， ∴∠ACB＋∠ACD＝180°。 ∴点B，C，D共线。 ∵∠BAD＝60°，∴则△ABD是等边三角形。 ∴BD＝AB， ∴BC=CD=AB。 A B C D 22005 活动小结 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵在Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A =30°，∴BC = AB． A B C 22005 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是 . 分析:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=90°，∴∠ACD=∠B=30°, 在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm， 在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm. ∴AB的长度是12cm. 12cm 练一练 22005 1.判断下列说法是否正确： （1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半. （2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. （3）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． √ 当堂检测 22005 2.如图，AE∥BD，△ABC为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC的度数是（　　） A．60° B．45° C．55° D．75° B 22005 3.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　 ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 　 B 22005 4.如图，在四边形ABCD 中， AB ∥ DC，DB平分∠ ADC，∠ A=60°. 求证：△ ABD是等边三角形. 22005 回顾本节课内容，回答下列问题： 1.等边三角形的性质有哪些？判定方法有哪些？ 2.含30°的直角三角形有什么性质？ 课堂总结 22005 证明：因为AB∥DC，∠A＝60°， 所以∠ADC＝180°－∠A＝120°。 又因为DB平分∠ADC，所以∠ADB＝∠ADC＝60°。 所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝60°。 所以∠A＝∠ADB＝∠ABD。所以△ABD是等边三角形。 $