暑期综合提升测试02【范围：第一章 三角形的初步知识】-2025-2026学年八年级数学上册暑假提升试题（浙教版2024）

2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（浙教版2024） 第一章 三角形的初步知识综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若一个三角形的两边长分别为3和9，则第三边长可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．11 2．（本题3分）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 7．（本题3分）如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（本题3分）如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则 °． 12．（本题3分）已知图中的两个三角形全等，则 °． 13．（本题3分）如图，，，请添加一个条件 ，使得． 14．（本题3分）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 15．（本题3分）将一块直角三角尺（）按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ． 16．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为8，那么应为 ． 17．（本题3分）已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 18．（本题3分）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 20．（本题9分）如图，在和中，，，． (1)求证： (2)求证： 21．（本题9分）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 22．（本题9分）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 23．（本题9分）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 24．（本题10分）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 25．（本题12分）已知：点在射线上，． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图，在（）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数（直接写出答案即可）． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（浙教版2024） 第一章 三角形的初步知识综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若一个三角形的两边长分别为3和9，则第三边长可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系；根据三角形三边关系定理，第三边必须大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系： ，即． 因此，第三边长可能是11， 故选：D． 2．（本题3分）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在中，已知，根据三角形内角和定理，得： ， 故选：C． 3．（本题3分）如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 4．（本题3分）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 5．（本题3分）如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据得，进而依据“”判定和全等得，，，进而得选项B，，一定成立，对于选项A当时成立，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 即， 在和中，， ， ，，， 故选项B，，一定成立，不符合题意， 当时，， 因此选项A不一定成立． 故选：A． 6．（本题3分）如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，则的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．（本题3分）如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过O作于N，交于M，得到，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到答案． 【详解】解：过O作于N，交于M，如下图， ∵， ∴， ∵O为，的平分线的交点，于E， ∴， ∴． ∴与之间的距离等于4． 故选：C． 8．（本题3分）如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键． 由平移的性质可得，，进而可得，最后三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， 故选：D． 9．（本题3分）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 10．（本题3分）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．①根据，和，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明，根据①的结论，证明结论错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：①， ， ， ， ， ，故①正确； ②平分， ， 又， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ， ， 由①得，， ， ；故③错误； ④， 又， ， ，， ∴， ， ，故④正确； 综上分析可知，①②④正确，故B正确． 故选：B． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则 °． 【答案】20 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质．如图，由平行线的性质可求得，结合三角形外角的性质可求得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：20． 12．（本题3分）已知图中的两个三角形全等，则 °． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据全等三角形的性质，得对，对，对， 根据性质，得， 故答案为：50． 13．（本题3分）如图，，，请添加一个条件 ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据全等三角形的判定定理添加合适的条件． 【详解】在和中， ∴添加一个条件（答案不唯一），使得． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（本题3分）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，得，根据对顶角相等，高线的定义，得，继而得到，得到，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，高线的意义，角的平分线的定义，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：由，， 根据三角形内角和定理，得， 根据对顶角相等，高线的定义，得， 继而得到， 故， 故． 故答案为：． 15．（本题3分）将一块直角三角尺（）按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为8，那么应为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，再根据三角形周长公式解答即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， 又， ∴， 故答案为：8． 17．（本题3分）已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质． 由是的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角， ． 在中，， ． 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 【详解】解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（本题9分）如图，在和中，，，． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的和差计算． （1）由已知条件证出，由证明，得出对应边相等即可； （2）延长交于F，由全等三角形的性质得出，由角的互余关系得出，证出，得出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）证明：延长交于F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴． 21．（本题9分）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，平角的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）利用三角形的内角和和平角的定义得出，，然后利用全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， 又， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 22．（本题9分）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 23．（本题9分）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 24．（本题10分）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 25．（本题12分）已知：点在射线上，． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图，在（）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数（直接写出答案即可）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）根据，可得，再根据，即可得到，即可求证； （）根据是△是外角，即可得到，再根据△中，，即可得到，进而得出； （）设，则，，根据，可得，再根据，即到，求得的值，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ∴； （2）解：． 证明：如图，设与交点为， 是△的外角， ， ， ， ∴， ， 又， ； （3）解：设，则， ， ， ∵， ， 又， ， ， ， 又，， ， △中，． 第22页，共22页 第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$