精品解析：江苏省徐州市树人初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学限时练习 （时间90分钟 满分140分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 2. 已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 与的位置关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小进行判断，即可作答． 【详解】解：∵的半径为．若点到圆心的距离为，且， ∴点在内， 故选：A 3. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法，也可以直接代入顶点坐标公式． 利用配方法化成顶点式求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 5. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，正确识别对应线段是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，找出线段与的比例关系，再通过已知线段长度计算比值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 6. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象性质，比较二次函数上两点的函数值，利用二次函数的函数图象的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，进行分析，即可作答． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴（即）， 则点到对称轴的距离为3，点到对称轴的距离为4， 则开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵ ∴， 故选：C． 7. 如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，，，若的周长为6，则的周长等于（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理可得，利用其性质，相似三角形的周长比等于相似比即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足． 则线段的最大值是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，作交于，连接，作于，证明，则，可求，则，证明，则，可求则，由勾股定理得，，根据三点不共线时，，当三点共线时，，可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，作交于，连接，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 当三点不共线时，， 当三点共线时，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．根据题意确定线段最大的情况是解题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置） 9. 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故答案为：10． 10. 关于x的方程有一根，那么这个方程的另一个根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为 ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，C是线段AB的一个黄金分割点（ACBC），若AB＝2，则BC的长为_____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段AB=2，点C是AB黄金分割点，AC＜BC， ∴BC=21． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，倍，较长的线段=原线段的倍． 12. 用一个圆心角为，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥底面周长和弧长的关系．关键在于明确圆锥底面周长与扇形弧长的关系，通过正确计算弧长并建立方程即可求解． 【详解】解：扇形弧长： ， 设圆锥底面半径为，依题意得，， 解得，， 故答案为：． 13. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 【详解】根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知， 即， 解得AM=5． ∴小明的影长为5米． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 14. 在中，，均为锐角，且，则的度数______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点．先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，然后根据直角三角形的判定即可得． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 在中，均为锐角， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为． 考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形． 16. 已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，先将点代入二次函数，得出，然后求出，求出最大值即可． 【详解】解∶∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， 故答案为∶． 17. 如图，点G是的重心，，垂足为点H，若，则点A到的距离为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心问题，根据题意作图，利用重心的性质，同时还可以求出，从而得出，根据即可得出答案． 【详解】解：设边上的中线是，边上的高是， 由重心性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足，，连接CD、CE，当点E坐标为______时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论． 【详解】∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA， ∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE， 设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4−a， ∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论： ①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA， ∴CD∥AE， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∴AC＝a， ∵BD＝2AC， ∴4−a＝2a， ∴， ∴； ②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B， ∴∠BCD＋∠ECA＝180°−60°＝120°， 又∵∠BDC＋∠BCD＝180°−∠B＝120°， ∴∠BCD＋∠ECA＝∠BDC＋∠BCD， ∴∠ECA＝∠BDC， ∴△BDC∽△ACE， ∴， ∴BC＝2AE＝2（4−a）＝8−2a， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点E的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键． 三、解答题．（本大题共7小题，共76分，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程配方为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解∶ ∵ ∴ ∴， ∴或， ∴，． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，将该函数的图象向下平移1个单位长度后新的函数解析式是：__________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据函数图象的对称轴是直线，求出，代入抛物线解析式，求出抛物线的顶点式，然后根据二次函数的平移规律求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴ ， ∴抛物线向下平移1个单位后，新的函数解析式为， 故答案为：． 22. 某水果店出售一种水果，每只定价为20元时，每周可卖出300只．试销发现：每只水果每上涨元，每周将少卖出5只． （1）当每只水果定价为21元时，每周销售量为__________只； （2）当每只水果定价为多少元时，每周销售额最多？最多为多少元？ 【答案】（1）290 （2）当每只水果定价为25元时，每周销售额最多，最多为6250元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据每只水果每上涨元，每周将少卖出5只求解即可； （2）设每只水果定价为x元，每周销售额为w元，根据每只水果每上涨元，每周将少卖出5只列出w关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当每只水果定价为21元时，每周销售量为只， 故答案为：290； 【小问2详解】 解：设每只水果定价为x元，每周销售额为w元， 则， ∵， ∴当时，w有最大值为6250， 答：当每只水果定价为25元时，每周销售额最多，最多为6250元． 23. 如图，是的内接三角形，是的中点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据是的中点，得出，得出，又因为即可得出结论． （2）由（1）得出对应线段成比例得出，已知，得出，所以即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 24. 如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） （1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似； （2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ． 【答案】 （1）如图①，过点P作BC的平行线，交AB于点Q，即为所求点，找到格点F，连接PF交AB于点Q，即为所求点； （2）， 【解析】 【分析】（1）过点P作BC的平行线，交AB于点Q或找到格点F，连接PF交AB于点Q，即可； （2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，再证明∆BDN~∆BMC，列出比例式，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，理由如下： 由题意得：BC=3，AC=4，AB=5， ∴BE=，HE=，DE=2-HE=， ∴BE=DE， ∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分线， ∴以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切， ∵MC∥DN， ∴∆BDN~∆BMC， ∴，即，解得：MC=， ∴此时⊙M的半径为：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理，找准格点位置，掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 25. 定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． （1）以下函数①②③的图象上存在“不动点”的是：__________．（填写序号） （2）若二次函数的图像上存在两个“不动点”，，当时，求的值； （3）已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出的值__________． 【答案】（1）②③ （2）3或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是： （1）分别联立函数解析式与直线解析式，然后判定方程是否有解即可判定； （2）联立抛物线与直线解析式，根据根与系数的关系以及勾股定理建立方程，即可求解； （3）根据题意画出图形，当直线过点A时，符合题设条件，即可求解． 【小问1详解】 解∶ ①联立和．得， 此方程无解， 故不存在不动点； ②联立和，得， 解得， 故存在不动点； ③联立和，得 解得，， 故存在不动点； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：联立和抛物线的表达式得：， ∴ 则，， ∵， ∴， ∴， 解得：或； 【小问3详解】 解：如图所示，当直线过点时，符合题意， 令 ∴ 则 将点代入，得 解得：（舍去）或 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时练习 （时间90分钟 满分140分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 与的位置关系无法确定 3. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，，，若的周长为6，则的周长等于（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 8. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足． 则线段的最大值是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 4 二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置） 9. 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是________． 10. 关于x的方程有一根，那么这个方程的另一个根是________ 11. 如图，C是线段AB的一个黄金分割点（ACBC），若AB＝2，则BC的长为_____（结果保留根号）． 12. 用一个圆心角为，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________． 13. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 14. 在中，，均为锐角，且，则的度数______°． 15. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________. 16. 已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于__________． 17. 如图，点G是的重心，，垂足为点H，若，则点A到的距离为_______． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足，，连接CD、CE，当点E坐标为______时，与相似． 三、解答题．（本大题共7小题，共76分，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 19. 解方程： （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，将该函数的图象向下平移1个单位长度后新的函数解析式是：__________． 22. 某水果店出售一种水果，每只定价为20元时，每周可卖出300只．试销发现：每只水果每上涨元，每周将少卖出5只． （1）当每只水果定价为21元时，每周销售量为__________只； （2）当每只水果定价为多少元时，每周销售额最多？最多为多少元？ 23. 如图，是的内接三角形，是的中点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） （1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似； （2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ． 25. 定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． （1）以下函数①②③的图象上存在“不动点”的是：__________．（填写序号） （2）若二次函数的图像上存在两个“不动点”，，当时，求的值； （3）已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出的值__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $