精品解析：江西省弋阳县开湘中学2024-2025学年九年级上学期12月训练（三）数学试题

九年级训练（三） 数学 说明： 1．范围：上册全册． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可解答． 【详解】解：A．它不是中心对称图形； B．它不是中心对称图形； C．它是中心对称图形； D．它不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 明天会下雨 C. 掷一枚硬币，花面一定向上 D. 篮球运动员投篮一定进 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念．必然事件指在一定条件下必然发生的事件，根据各选项描述的事件性质进行判断即可． 【详解】解：A选项：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，是必然事件，故A符合题意； B选项：明天下雨受多种因素影响，属于随机事件，故B不符合题意； C选项：掷硬币可能出现花面或其他面，结果不确定，属于随机事件，故C不符合题意； D选项：投篮结果受技术、状态等影响，无法保证必进，属于随机事件，故D不符合题意． 故选：A． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、整理得 ，为一次方程，不符合题意； B、仅含未知数，等式两边为整式，且未知数最高次数为2，为一元二次方程，符合题意； C、含两个未知数和，不是一元二次方程，不符合题意； D、中，若时不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 4. 在一顶精致的魔法帽中，隐藏着5颗除了颜色之外完全一样的神奇宝石．其中有2颗艳丽如火的红宝石和3颗纯洁无瑕的白宝石．现在，一位魔法师随机从帽中取出一颗宝石，他取出白宝石的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算，利用概率公式求解取出白宝石的概率． 【详解】解：总共有5颗宝石，其中白宝石有3颗，每一颗宝石取出的可能性相同，所以取出白宝石的概率为． 故选：C 5. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 6. 二次函数的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④当时， A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质知识点，解题的关键是根据二次函数的图象特征确定a，b，c的正负以及利用对称轴公式，函数的单调性等进行分析判断．根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与轴交点确定a，b，c的性质，再逐一分析各选项． 【详解】解：由二次函数图象开口向下，可得， ∵对称轴， ∴， ∵， ∴， ∵二次函数与y轴交于点， ∴．所以，故①正确； 由对称轴，可得，即，故②错误； ∵当时，有最大值， 当时，， ∴，即， ∴当时，，故③错误； ∵对称轴为，且图象过点， ∴根据二次函数图象的对称性可知，图象也过点， ∵图象开口向下，所以当时，，故④正确． 综上，①④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及代数式求值．由一元二次方程的解可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， 即， ． 故答案为：2029． 8. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数， ∴它的对称轴为，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知点与点关于原点对称，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 由，得， 将其代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：． 10. 如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先求出，然后得到是四边形的外接圆，然后根据圆内接四边形的性质求解即可． 详解】如图所示，连接 ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵是正方形的外接圆，点为上任意一点， ∴是四边形的外接圆， ∴． 故答案为：． 11. 在一次旨在促进校园文化多样性的演讲比赛中，有5名九年级学生自愿报名，其中包括3名男生和2名女生．当采用抽签的方式随机抽取两名参赛者时，被选中参加比赛的学生为一男一女的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图，共有20种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女的结果有12种， ∴选中的同学恰好是一男一女的概率为． 故答案为：． 12. 在欧几里得的时代，几何学被视为理解宇宙秩序的关键，它不仅是数学的一部分，更是哲学思考的重要载体．今天，我们将通过一道经典的几何题目，一同探索蕴含其中的文化与美学价值．如图，在平面直角坐标系中，已知点，围绕该点以3为半径作，直线切于点，且在下方，若在上存在动点，当点的坐标为______时，是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别求解即可． 【详解】解：过点作与相切， 此时，连接，作轴于点， 根据题意得，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点坐标为； 当时，若点位于如图所示位置， 同①可求，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，满足，此时点的坐标为； 当时，点的位置如图所示，过点作轴于点，由①②知，， ∴， ∵，，即为的垂直平分线，则满足，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、切线长定理、切线的性质、勾股定理、解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，弧长为，求它的母线长． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，圆锥的母线长； （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设该圆锥的母线长为l，然后根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：（1）原式整理得， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）设该圆锥的母线长为， 由题意得，， ∴． 答：它的母线长为． 14. 如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的半径． 【答案】（1），理由见解析 （2）10 【解析】 【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； （2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 15. 如图，在四边形中，将绕点顺时针旋转得到，此时，，三点恰好共线．若已知，． （1）求的长； （2）求证：平分． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质可得，，，推出是等边三角形，据此求解即可； （）由是等边三角形，则，由旋转性质可知，推出，即可证明平分． 【小问1详解】 解：由旋转性质可知，，，， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴平分． 16. 南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． （1）“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【答案】（1）随机； （2）恰好选中和两名同学的概率为． 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及用列表法或画树状图法求概率的知识点，解题的关键是准确理解相关概念和熟练运用求概率的方法． （）根据随机事件的定义判断小华选中文学社的事件类型； （）通过列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再找出恰好选中和的结果，最后根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：“小华恰好选中文学社团”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有个等可能的结果，恰好选中和两名同学的结果有个， ∴恰好选中和两名同学的概率为． 17. 如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； （2）在图2中，过点作线段的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【小问1详解】 如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； 【小问2详解】 如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O中点． 【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在探究圆的性质中，小明在数学探究课上无意中把一个三角板放在圆中，发现它们有很多联系，于是做了下列研究：如图，在圆中放一个含角的直角三角板，，是的直径，是的切线，点为切点，与交于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、、，由直径得，，由切线得，可证，利用证明，所以，所以是的切线； （2）解，，得，根据求解即可． 【小问1详解】 解：证明：连接、、，如图， ∵是的直径，是的切线， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算，勾股定理，角直角三角形的性质，圆周角定理，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 19. 南昌生米大桥（图1）是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一，横跨赣江，是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，其跨度为，桥拱的最大高度为．以点为原点，线段所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，构建平面直角坐标系． （1）求主桥拱所在抛物线的解析式； （2）如图2，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点，到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/，求5根景观灯的铺设成本． 【答案】（1） （2）5根景观灯的铺设成本为元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设出二次函数顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出相邻景观灯之间的距离，再利用（1）中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，顶点，， 设主桥拱所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴主桥拱所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ． 当时，； 当时，； 当时，； 由对称性得，当时，；当时，． ∴5根杆状景观灯的总长度为． （元）． 答：5根景观灯的铺设成本为元． 20. 如图，与相交于，两点，连接，，已知，，过点作的切线，并与交于点． （1）求证：是的角平分线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）半径的长为． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则是直径，所以，则，，再通过圆周角定理，切线的性质可得，，则有，，再通过等角的余角相等即可求解； （）由（）得，，即，，由，则，，，故有，根据等腰三角形定义和直角三角形性质得，，又，则，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是的角平分线； 【小问2详解】 解：由（）得，，即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴半径的长为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了深入了解学生日常通勤习惯及其对校园周边交通环境的影响，九江市某中学数学兴趣小组于近期开展了专项调查．通过对在校学生放学出行方式进行抽样研究，旨在收集第一手数据，为优化校内外交通安排及安全教育提供科学依据．小组成员随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：骑电动车；：乘坐公交车；：骑自行车；：乘坐家庭汽车；：步行”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后，绘制成两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次专项调查中一共调查了______名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，种方式对应的扇形圆心角的度数是______； （3）若甲、乙两名学生放学时从，，三种方式中随机选择一种回家，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析； （2）； （3）甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为． 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图． （）根据的人数以及百分比得到被调查的人数，求出组的人数即可补全图形； （）根据种方式所占比进行计算即可； （）画树状图得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率． 【小问1详解】 解：本次专项调查中一共调查了学生（名）， 则组的人数为（名）， 补全条形统计图如图， 故答案为：； 【小问2详解】 解：种方式对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如图， 共有个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有个， ∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为． 22. 如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）求证：点是的内心． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据切线的性质结合三角形中位线的判定定理求得是的中位线，据此可得到； （2）连接，证明是等边三角形，求得，再求得，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）证明点是和的角平分线的交点即可． 【小问1详解】 证明：设和相交于点F， ∵和是的切线， ∴，平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：连接，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵和是的切线， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是的内心． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线对称轴上找一点，使的外心在轴上，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）当M为时，四边形面积有最大值为； （3）点D的坐标为或． 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的外心的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． （1）将A，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）由题意判断得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令，则 ， 解得或， ∴B点坐标为． ∴，且， ∴， 设直线解析式为，将，分别代入，得： ，解得， ∴直线解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 ∵，， ∴抛物线的对称轴为， 如图，设抛物线的对称轴交轴于点， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴， ∵的外心在轴上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴D点坐标为， 当点在轴下方时，同理D点坐标为， 综上，点D的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级训练（三） 数学 说明： 1．范围：上册全册． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 明天会下雨 C. 掷一枚硬币，花面一定向上 D. 篮球运动员投篮一定进 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一顶精致魔法帽中，隐藏着5颗除了颜色之外完全一样的神奇宝石．其中有2颗艳丽如火的红宝石和3颗纯洁无瑕的白宝石．现在，一位魔法师随机从帽中取出一颗宝石，他取出白宝石的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 8 B. C. D. 4 6. 二次函数的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④当时， A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果是方程一个根，那么代数式的值为______． 8. 若二次函数图象经过点，，，则，，的大小关系为______． 9. 已知点与点关于原点对称，则的值等于______． 10. 如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则______． 11. 在一次旨在促进校园文化多样性的演讲比赛中，有5名九年级学生自愿报名，其中包括3名男生和2名女生．当采用抽签的方式随机抽取两名参赛者时，被选中参加比赛的学生为一男一女的概率是______． 12. 在欧几里得的时代，几何学被视为理解宇宙秩序的关键，它不仅是数学的一部分，更是哲学思考的重要载体．今天，我们将通过一道经典的几何题目，一同探索蕴含其中的文化与美学价值．如图，在平面直角坐标系中，已知点，围绕该点以3为半径作，直线切于点，且在下方，若在上存在动点，当点的坐标为______时，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，弧长为，求它的母线长． 14. 如图，是直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的半径． 15. 如图，在四边形中，将绕点顺时针旋转得到，此时，，三点恰好共线．若已知，． （1）求的长； （2）求证：平分． 16. 南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． （1）“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 17. 如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； （2）在图2中，过点作线段的中点． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在探究圆的性质中，小明在数学探究课上无意中把一个三角板放在圆中，发现它们有很多联系，于是做了下列研究：如图，在圆中放一个含角的直角三角板，，是的直径，是的切线，点为切点，与交于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 19. 南昌生米大桥（图1）是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一，横跨赣江，是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，其跨度为，桥拱的最大高度为．以点为原点，线段所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，构建平面直角坐标系． （1）求主桥拱所在抛物线的解析式； （2）如图2，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点，到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/，求5根景观灯的铺设成本． 20. 如图，与相交于，两点，连接，，已知，，过点作的切线，并与交于点． （1）求证：是的角平分线； （2）若，，求半径的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了深入了解学生日常通勤习惯及其对校园周边交通环境的影响，九江市某中学数学兴趣小组于近期开展了专项调查．通过对在校学生放学出行方式进行抽样研究，旨在收集第一手数据，为优化校内外交通安排及安全教育提供科学依据．小组成员随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：骑电动车；：乘坐公交车；：骑自行车；：乘坐家庭汽车；：步行”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后，绘制成两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次专项调查中一共调查了______名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，种方式对应的扇形圆心角的度数是______； （3）若甲、乙两名学生放学时从，，三种方式中随机选择一种回家，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率． 22. 如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）求证：点是的内心． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线对称轴上找一点，使的外心在轴上，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $