第三章 勾股定理（单元测试·提升卷）数学鲁教五四制2024版七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第三章 勾股定理·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B A C B B B D B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．直角三角形 12． 13．5 14． 15．17 16．或或 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分） 【详解】延长AD到E   使得DE=AD    连EC  因为BD=CD   ∠ADB=∠CDE 所以△ABD≌△EDC   所以EC=AB=12, （2分） 在△ACE中,AE=2AD=12,   =144    =169   =25 所以+=        所以△ACE是直角三角形,且∠EAC=90°．（4分） 在直角三角形ACD中   由勾股定理得：=61 所以以BC为边的正方形的面积==244．（6分） 18．（本题7分） 【详解】解：∵， ∴，（3分） ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米．（7分） 19．（本题8分） 【详解】（1）过点D作于F， 由题意知：， ， ， 由题意可知：四边形是长方形， ， ， 在中， ， 定滑轮C到D点拉着的绳长为；（4分） （2）由（1）知， ， 比长， ， 在中， ， ， ， 桥面的宽长为（8分） 20．（本题8分） 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即.（4分） （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为.（8分） 21．（本题9分） 【详解】（1）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 即第7组勾股数为16；63；65；（4分） （2）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 第n组，，，， 证明： ， ， ∴， ∴，，是勾股数．（9分） 22．（本题10分） 【详解】（1）解：∵，， ∴；（4分） （2）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则， ∴ ∵， ∴ 根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 又， ∴的最小值为．（10分） 23．（本题11分） 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ；（5分） （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为．（11分） 24．（本题13分） 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ，（6分） （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：．（13分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第三章 勾股定理 基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．若直角三角形的两直角边分别为5和12，则斜边的长为（   ） A．7 B．13 C．15 D．17 2．如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为，，斜边长为)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 5．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 6．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 7．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 8．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 9．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 10．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断的形状 ．    12．已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 13．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 15．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 16．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）如图，在中，已知，，边上的中线，求以为边长的正方形的面积. 18．（本题7分）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 19．（本题8分）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 20．（本题8分）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 21．（本题9分）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 22．（本题10分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 23．（本题11分）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（本题13分）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第三章 勾股定理·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．若直角三角形的两直角边分别为5和12，则斜边的长为（   ） A．7 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边长为两直角边平方和的平方根． 【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为5和12，设斜边长为． 由勾股定理得： 因此，斜边的长为13， 故选：B． 2．如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键． 根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得， ， 四边形都是正方形， ，，， 正方形A、B的面积分别为25和9， ，， ， 正方形B的面积为16． 故选：D． 3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．高是尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理得， ， 故选：B． 4．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为，，斜边长为)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】A 【分析】由图形中的面积关系:正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，应用完全平方公式即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理； 乙同学的方案： 大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积， ， 得不到， 因此乙同学的方案不可以证明勾股定理． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 5．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 6．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解，再利用线段和差计算． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得， ∴ 故选：B． 7．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 8．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 9．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为，即可求解面积． 【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为， ∴， ∴该三角形零件为直角三角形， ∴面积为：， 故选：D． 10．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断的形状 ．    【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理． 12．已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是，， 斜边长， ， ， 即的斜边上的高是 故答案为： 13．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 14．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 15．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 16．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）如图，在中，已知，，边上的中线，求以为边长的正方形的面积. 【详解】延长AD到E   使得DE=AD    连EC  因为BD=CD   ∠ADB=∠CDE 所以△ABD≌△EDC   所以EC=AB=12, （2分） 在△ACE中,AE=2AD=12,   =144    =169   =25 所以+=        所以△ACE是直角三角形,且∠EAC=90°．（4分） 在直角三角形ACD中   由勾股定理得：=61 所以以BC为边的正方形的面积==244．（6分） 18．（本题7分）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【详解】解：∵， ∴，（3分） ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米．（7分） 19．（本题8分）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 【详解】（1）过点D作于F， 由题意知：， ， ， 由题意可知：四边形是长方形， ， ， 在中， ， 定滑轮C到D点拉着的绳长为；（4分） （2）由（1）知， ， 比长， ， 在中， ， ， ， 桥面的宽长为（8分） 20．（本题8分）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即.（4分） （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为.（8分） 21．（本题9分）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 【详解】（1）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 即第7组勾股数为16；63；65；（4分） （2）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 第n组，，，， 证明： ， ， ∴， ∴，，是勾股数．（9分） 22．（本题10分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴；（4分） （2）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则， ∴ ∵， ∴ 根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 又， ∴的最小值为．（10分） 23．（本题11分）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ；（5分） （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为．（11分） 24．（本题13分）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ，（6分） （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：．（13分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第三章 勾股定理 基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．若直角三角形的两直角边分别为5和12，则斜边的长为（   ） A．7 B．13 C．15 D．17 2．如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为，，斜边长为)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 5．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 6．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 7．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 8．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 9．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 10．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断的形状 ．    12．已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 13．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 15．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 16．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）如图，在中，已知，，边上的中线，求以为边长的正方形的面积. 18．（本题7分）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 19．（本题8分）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 20．（本题8分）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 21．（本题9分）对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 22．（本题10分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 23．（本题11分）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（本题13分）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$