第7章 图形与坐标 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级上册

7.1 图形的位置与坐标 第1课时 平面直角坐标系 过教材　要点概览 1.平面直角坐标系 在平面内,两条互相　 　且有公共　 　的数轴组成平面直角坐标系.通常两条数轴分别置于　 　位置与　 　位置,取向　 　与向 　　的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫作　 轴或　 轴,竖直的数轴叫作　 　轴或　 　轴.x轴和y轴统称坐标轴,它们的 公共原点O称为平面直角坐标系的原点.  垂直 第7章 图形与坐标 原点 水平 竖直 右 上 x 横 y 纵 初中练案·数学·QD·八上 2.点的坐标 如图,对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上所对应的数a,b分别叫作点P的　 　、　 　,有序数对 　 　叫作点P的坐标.有序实数对与平面直角坐标系中的点　 . 　.  横坐标 纵坐标 (a,b) 一一 对应 2 3.象限 建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(如图),每个部分称为　 　,四个部分分别叫作第一象限、第　 　象限、第　 　象限和第　 　象限.　 　上的点不属于任何象限.  象限 二 三 四 坐标轴 3 4.点的坐标特征 第一、二、三、四象限内点的横坐标、纵坐标的符号分别是(+,+), 　 　,　 　,　 　.x轴上各点的　 　坐标都为0,y轴上各点的　 　坐标都为0.  (-,+) (-,-) (+,-) 纵 横 4 精讲练　新知探究 探究点一　用有序数对表示位置 [典例1]某个景区中景点的路线图如图,如果点A表示为(0,0),点D表示为(2,4),请用同样的方法表示其余各点. 解:B(2,0),C(2,2),E(4,4),F(7,4),G(7,7). 5 探究点二　平面直角坐标系 [典例2]如图,写出图中A,B,C,D,E,F,O各点的坐标. 解:A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2),E(2.5,0),F(0,-2),O(0,0). 6 探究点三　平面直角坐标系中点的坐标特征 [典例3]设点M(a,b)为平面直角坐标系内的点. (1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限? (2)若点M位于第二象限,则a-b是正数还是负数? (3)若a=0,则点M的位置在哪里? 解:(1)点M位于第四象限. (2)因为点M位于第二象限,所以a<0,b>0, 所以a-b<0,即a-b是负数. (3)点M在y轴上. 7 [变式]若点M(a,b)位于第二象限,点N(c,d)位于第四象限,则点P(ac,bd)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 8 谢谢观赏！ 9 $$第2课时　平面直角坐标系中的图形 过教材　要点概览 1.坐标的特点 (1)简单图形的各顶点坐标确定后,它在直角坐标系中的位置也就确定了,可以用它的各个顶点的　 　刻画这个图形.  (2)平面内两点若在平行于x轴的直线上,则两点的纵坐标　 　,横坐标为不相等的两个实数.  坐标 相等 初中练案·数学·QD·八上 (3)平面内两点若在平行于y轴的直线上,则两点的横坐标　 　,纵坐标为不相等的两个实数.  2.构建坐标系的思路 (1)根据具体情境,选择适当的点作为坐标　 　.  (2)过原点作两条　 　的直线分别作为x轴和y轴.  (3)选择正方向和　 　.  相等 原点 互相垂直 单位长度 2 精讲练　新知探究 探究点一　建立平面直角坐标系确定点的坐标 [典例1]如图,长方形ABCD的边长AB=4,BC=2,根据下列条件建 立平面直角坐标系,求A,B,C,D各点的坐标. (1)以点A为原点,AB所在直线为x轴; 解:(1)如图①,A,B,C,D四点的坐标分别是A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2). ① 3 (2)以DC的中点为原点,DC所在的直线为x轴. 解:(2)如图②,A,B,C,D四点的坐标分别是A(-2,-2),B(2,-2),C(2,0), D(-2,0). ② 4 [变式1]如图,等边三角形OBC的边长为2,则点C的坐标是( ) C 5 探究点二　求直角坐标系中图形的面积 [典例2]如图,在直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为 A(-6,0),B(2,0),C(-1,8),求△ABC的面积. 6 [变式2]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,0), B(0,3),C(0,-1),则△ABC的面积为　 　.  6 7 [变式3]如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A (-2,-2),B(3,1),C(0,2),则△ABC的面积为　 　.  7 8 谢谢观赏！ 9 A.(2,-1) B.(2,1) C.(,-1) D.(-1,) 解:如图,过点C作CD⊥x轴于点D. 因为点C的坐标为(-1,8), 所以CD=8. 因为A(-6,0),B(2,0), 所以AB=6+2=8, 所以S△ABC=AB·CD=×8×8=32. $$7.2　图形的运动与坐标 过教材　要点概览 在平面直角坐标系中,点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是　 　,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是　 　.  (-x,y) (x,-y) 初中练案·数学·QD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　关于坐标轴对称的点的坐标规律 [典例1]已知点A(a-1,1)和B(2,b+1). (1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值; 2 (2)若点A,B关于y轴对称,求a,b的值. 3 [变式1](1)分别写出下列各点关于x轴对称的点的坐标: A(3,6),B(-7,9),C(6,-1). (2)分别写出下列各点关于y轴对称的点的坐标: D(-3,-5),E(0,10),F(8,0). 解:(1)(3,-6),(-7,-9),(6,1). (2)(3,-5),(0,10),(-8,0). 4 探究点二　关于坐标轴对称的图形 [典例2]格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)在平面直角坐标系中的位置如图. (1)写出A,B,C三点的坐标; 解:(1)A(3,4),B(1,2),C(5,1). 5 (2)若△ABC各顶点的横坐标不变,纵坐标都乘-1,请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点A1,B1,C1,并依次连接这三个点,所得的△A1B1C1与原△ABC有怎样的位置关系? 解:(2)如图,△A1B1C1与△ABC关于x轴对称. 6 点睛 在平面直角坐标系中画关于坐标轴对称图形的“四字诀” (1)找:在平面直角坐标系中找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点). (2)求:求出其对应点的坐标. (3)描:根据所求坐标,描出对应点. (4)连:连接这些点,就可以得到已知图形的对称图形. 7 [变式2]根据下图,直接写出A,B,C关于y轴对称的A′,B′,C′三点的坐标:A′(　 　),B′(　 　),C′(　 　).  2,3 3,1 -1,-2 8 7.2　图形的运动与坐标 基础巩固练 知识点1　关于坐标轴对称的点的坐标规律 1.蝴蝶颜色炫丽,翩翩起舞时非常美丽,深受人们喜爱,它的图案具有对称美,如图,蝴蝶图案关于y轴对称,点M的对称点为点M1,若点M的坐标为(-1,-4),则点M1的坐标为( ) A.(1,-4) B.(-4,1) C.(-1,4) D.(1,4) A 2.在平面直角坐标系中,若点P(a-3,1)与点Q(2,b+1)关于x轴对称,则a+b的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点P关于x轴的对称点为(a,-2),关于y轴的对称点为(1,b),那么点P的坐标为( ) A.(a,-b) B.(b,-a) C.(-2,1) D.(-1,2) C D 10 知识点2　关于坐标轴对称的图形 4.(2024鄄城质检)已知图形A在y轴的右侧,如果将图形A上的所有点的横坐标都乘-1,纵坐标不变得到图形B,那么( ) A.两个图形关于x轴对称 B.两个图形关于y轴对称 C.两个图形重合 D.两个图形不关于任何一条直线对称 B 11 5.如图,x轴是△AOB的对称轴,y轴是△BOC的对称轴,点A的坐标为(1,2),则点C的坐标为( ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-2,-1) A 12 6.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图,A,B,C三点都在格点(小正方形的顶点)上. (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标; (2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标; (3)求出△ABC的面积. 解:(1)△A1B1C1如图,A1(2,-4),B1(1,-1),C1(3,-2). (2)△A2B2C2如图,A2(-2,4),B2(-1,1),C2(-3,2). 13 能力提升练 7.如图,在3×3的正方形网格(小正方形边长为1)中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则点D关于x轴的对称点的坐标为( ) A.(2,1) B.(1,2) C.(0,1) D.(0,0) B 14 8.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标为(1,2),则经过第2 025次变换后点A的坐标为( ) A.(1,-2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) A 15 9.已知△ABO关于x轴对称,点A的坐标为(1,-2),若在坐标轴上有一个点P,满足△BOP的面积等于2,则点P的坐标为　 　. (-2,0),(2,0),(0,4)或(0,-4) 16 10.(2024肥城质检)如图,B,C两点关于y轴对称,点A的坐标是(0,b),点C的坐标为(-a,-a-b). (1)直接写出点B的坐标:　　　　;  (2)用尺规作图在x轴上作点P,使得AP+PB的值最小; 解:(1)(a,-a-b) (2)(作图方法不唯一)如图,点P即为所求. 17 (3)求∠OAP的度数. 解:(3)如图,过点B作BD⊥y轴于点D, 则D(0,-a-b),BD=-a,OD=-a-b. 由(2),知点A与点A′关于x轴对称, 所以A′O=AO=b, 所以A′D=OD+A′O=-a=BD. 又∠A′DB=90°,所以∠BA′D=45°. 因为点A与点A′关于x轴对称, 所以∠OAP=∠DA′P=45°. 18 素养培优练 11.教材变式题　如图,在平面直角坐标系中,直线l是经过点(0,-1.5)且平行于x轴的直线. (1)求点M(1,0)关于直线l的对称点的坐标; (2)求点N(3,2)关于直线l的对称点的坐标; 解:(1)如图,作出点M关于直线l的对称点M1,则点M1的坐标为(1,-3). (2)如图,作出点N关于直线l的对称点N1,则点N1的坐标为(3,-5). 19 (3)根据你得到的规律解答问题:若点A(a,-4)与点B(2,b)关于直线l对称,求ba的值. 20 谢谢观赏！ 21 解:(1)因为点A(a-1,1)和B(2,b+1)关于x轴对称, 所以解得 解:(2)因为点A(a-1,1)和B(2,b+1)关于y轴对称, 所以解得 (3)S△ABC=2×3-×1×3-×1×2-×1×2=. 解:(3)因为点A(a,-4)与点B(2,b)关于直线l对称, 所以a=2,=-1.5, 所以b=1, 所以ba=12=1. $$7.3　用方位角和距离描述两个物体的相对位置 过教材　要点概览 1.方位角 (1)在测量学中,被观测物体的方向除了用　 　、　 　、　 　、 　 　描述之外,还可用地球　 　方向与观测者观测物体的视线方向的夹角α(称为方位角)来表示(0°<α<　 　).  (2)描述平面上A,B两点的相对方位时,如果由A观测B的方向是北(南)偏西(东) n°,那么由B观测A的方向是　 　. 2.以一个点为参照点,通过描述被观测点与参照点之间的　 　以及 被观测点相对于参照点的　 　,就能描述出被观测点的位置.   正南 正北 正东 正西 南北 90° 南(北)偏东(西)n° 距离 方位角 初中练案·数学·QD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　方位角 [典例1]如图,这是一个公园的方位图,下列说法错误的是( ) A.大象馆在大门的北偏东60°方向 B.大门在海洋世界的正西方向 C.猴山在大门的正北方向 D.虎豹园在大门的南偏东25°方向 D 2 [变式1]从甲的位置看乙,乙处在北偏西30°方向,那么从乙的位置看甲,甲处在( ) A.南偏东60°方向 B.南偏西60°方向 C.南偏东30°方向 D.南偏西30°方向 C 3 探究点二　用方位角和距离描述两个物体的相对位置 [典例2]图书馆、超市、银行和餐馆的位置如图所示.以图书馆为参照点,请用方位角和图中所标示的距离分别表示超市、银行和餐馆的位置. 解:超市在图书馆南偏西70°方向,且距离图书馆2.8 km;银行在图 书馆北偏东30°方向,且距离图书馆3.2 km;餐馆在图书馆北偏 西50°方向,且距离图书馆1.8 km. 4 [变式2]如图. (1)李亮家距学校1 000 m,如何用方位角和距离来描述李亮家相对于学校的位置? (2)反过来,学校相对于李亮家的位置怎样描述呢? 解:(1)李亮家在学校的北偏西60°方向, 与学校的距离为1 000 m. (2)学校在李亮家南偏东60°方向,与李亮家的距离为1 000 m. 5 点睛 (1)用方位角和距离表示平面内物体的位置时需要两个数据,缺一不可. (2)方位角的表达一般先说南(或北),而不是先说东(或西),如南偏东50°,而不是东偏南40°. 6 7.3　用方位角和距离描述两个物体的相对位置 基础巩固练 知识点1　方位角 1.如图,下列说法错误的是( ) A.OA的方向是西北方向 B.OB的方向是南偏西60° C.OC的方向是南偏东60° D.OD的方向是北偏东50° C 2.如图,书店、学校、食堂在同一个平面上,分别用点A,B,C来表示,书店在学校的北偏西30°方向上,食堂在学校的南偏东60°方向上,则∠ABC的度数是( ) A.60° B.90° C.120° D.150° D 8 知识点2　用方位角和距离描述两个物体的位置 3.如图,下列关于点A的位置的描述准确的是( ) A.在距点O 4 km处 B.在北偏东40°方向上4 km处 C.在点O北偏东50°方向上4 km处 D.在点O北偏东40°方向上4 km处 D 9 4.如图,学校(记作A)在蕾蕾家(记作B)南偏西25°的方向上,且与蕾蕾家的距离是4 km,若∠ABC=90°,且AB=BC,则超市(记作C)在蕾蕾家的( ) A.南偏东65°的方向上,两者相距4 km B.南偏东55°的方向上,两者相距4 km C.北偏东55°的方向上,两者相距4 km D.北偏东65°的方向上,两者相距4 km A 10 5.已知小莹家O、学校A和公园C的平面示意图如图,且图上距离OA=3 cm, OC=4.5 cm.若比例尺为1∶40 000,则学校A相对于小莹家的位置是　 . 　方向,距离　 　km处,公园C相对于小莹家的位置是　 . 　方向,距离　 　km处.  北 偏东45° 1.2 北偏 西30° 1.8 11 能力提升练 6.如图,快艇从P处向正北方向航行到A处后,向左转40°航行到B处,再向右转60°继续航行,此时快艇航行的方向为( ) A.北偏东60° B.北偏西60° C.北偏东20° D.北偏西20° C 12 7.如图,在一次活动中,位于A处的1班准备前往相距8 km的B处与2班会合,如果用方向和距离描述位置,那么1班在2班的　 　处. 北偏东40°方向上8 km 13 8.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向上,C岛在B岛的北偏西65°方向上,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的大小为　 　°.  115 14 9.如图,点A,B是两个八年级学生的位置,某商场C在点A的北偏东30°方向,同时在点B的北偏西60°方向,试在图中确定商场C的位置,并保留作图痕迹. 解:如图,点C即为所求. 15 10.如图是小明家和学校所在地的简单平面图,已知OA=2 cm,OB=2.5 cm, OP=4 cm,C为OP的中点. 回答下列问题: (1)图中与小明家距离相同的是哪些地方? 16 (2)学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位?哪两个地方的方位是相同的? (3)若学校距离小明家400 m,则商场和停车场分别距离小明家多少米? 解:(2)学校在小明家的北偏东45°方向,商场在小明家的北偏西30°方向,公园在小明家的南偏东60°方向,停车场在小明家的南偏东60°方向.公园和停车场的方位相同. (3)图上1 cm表示实际距离400÷2=200(m), 商场距离小明家2.5×200=500(m), 停车场距离小明家4×200=800(m). 17 素养培优练 11.如图,一只蚂蚁从点A出发沿北偏东60°的方向爬行5 cm到达点B,再从点B沿西北方向爬行3 cm到达点C,再从点C沿南偏西60°的方向爬行5 cm到达点D,连接AD. (1)请将图形补充完整. 解:(1)如图. 18 (2)求∠ABC与∠BCD的度数. (3)此时AB和CD的位置关系如何?说出你的理由. 解:(2)∠ABC=30°+45°=75°, ∠BCD=45°+60°=105°. (3)AB∥CD.理由如下: 因为∠ABC=75°,∠BCD=105°, 所以∠ABC+∠BCD=180°, 所以AB∥CD. 19 谢谢观赏！ 20 解:(1)因为C为OP的中点, 所以OC=OP=×4=2(cm). 因为OA=2 cm, 所以与小明家距离相同的是学校和公园. $$