13.1三角形中的边角关系专题讲义2025-2026学年沪科版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形中的重要线段（高线、角平分线、中线）及垂心、内心、重心性质，通过角平分线模型（内内、内外、外外）构建从概念到应用的学习支架，配套证明思路与阶梯练习题，助力学生系统掌握边角关系。 资料以模型分类与推理证明为特色，通过“内内模型∠BPC=90°+∠A/2”等结论推导培养推理能力，动态问题（如点运动中角平分线交点角度）提升空间观念。课中辅助教师讲解模型应用，课后答案详解帮助学生自主查漏补缺，强化模型意识与问题解决能力。

沪科版数学八年级上册13.1三角形中的边角关系 专题讲义 1、三角形中的重要线段 ⅰ从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线,也叫作三角形的高 【三角形三条高线或延长线交于一点，为该三角形的垂心】 ⅱ三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线 【三角形三条角平分线交于一点，为该三角形的内心】 ⅲ三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线 【三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心】 2、 角平分线模型： ①“内内模型”【模型结论】∠BPC=90°+ 在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交于一点P，则∠BPC与∠A存在的数量关系？ 证明思路： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A 又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB ∴∠PBC=，∠PCB= 在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（+） =180°-（180°-∠A）=90°+ ②“内外模型” 已知B、C、D三点在同一直线上，在△ABC中，∠ABC的内角平分线与外角∠ACD的角平分线交于点P，问∠P与∠A存在的数量关系？【模型结论】∠P= 证明思路： ∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACD ∴∠ABC=2∠PBC,∠ADC=2∠PCD ∵∠ACD和∠PCD分别是△ABC和△PBC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P ∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P） ∠A+∠ABC=2∠PBC+2∠P ∴∠A=2∠P ③“外外模型” △ABC的外角平分线BP和CP交于点P，问∠BPC与∠C的数量关系？【模型结论】∠P=90°- 证明思路： ∵∠HBC和∠ICB是△ABC的外角 ∴∠HBC+∠ICB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°＋∠A ∵BP、CP分别平分∠HBC和∠ICB ∴∠PBC= ，∠PCB= ∴∠PBC+∠PCB=+=（∠HBC+∠ICB）=（180°＋∠A)=90°+ 在△BPC中 ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=90°- 1.如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是( ) 2.如图,在△ABC中,AD是高,AE是∠BAC的平分线.若∠B=α,∠C=β,则∠DAE=( ) 3. 如图,BD是△ABC的中线,点E,F分别为BD,CE的中点.若△AEF的面积为4.则△ABC的面积是 （ ▲ ） A.16 B.12 C.10 D.8 4.如图,△ABC中,点E是BC上一点,EC=2BE,点D是AC的中点,若则=_________. 5、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①BF=AF， ②∠BAE=∠CAE，③④∠C与∠CAD互余，其中正确的是 (只填序号)； (2)若∠C=56°，∠B=36°，求∠DAE的度数； (3)若∠C>∠B，直接写出∠DAE与∠C，∠B 之间的数量关系。 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，且. (1)b的值为 . (2)F(m,n)为第二象限内的一点,连接FA,交y轴于点D,连接FB,则△ABF的面积为(用含m，n的式子表示) . 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在AB 边上,将△CBD沿CD折叠,使点 B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=27°,则∠CDE= °. 8.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平方线交于点O，∠BOC=130°. (1)∠A的度数为 . (2)若CD平分外角ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点，则∠E−∠D的度数为 . 9.如图,已知△ABC中,BC=6,AC=10. (1) 画 AC 边上的中线 BD,并求 AD长; (2) 画 BC 边上的高 AH,若AH=5,求的面积. 10. 如图,在△ABC中,点D在边AB上，点E在BC的延长线上，射线EA与射线CD 相交于点F，∠BAG是△ABC的外角.现有以下三个选项：( ②∠CEF=∠CFE；③AF平分∠BAG.请你从中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明. 11. 条件: ,结论: .(填序号)证明： 11.如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC的中点, (1)求∠AEC的度数; (2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值? 若能,请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答. 12.如图1, 已知.A，B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM 运动. (1) 如图2, 点C为三条内角平分线交点，连接BC，AC ，在点A，B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化?若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (2)如图3，在(1)的条件下，连接OC 并延长，与∠ABM 的角平分线交于点P，与AB交于点Q.①∠P与∠BAO的数量关系为 . ②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的求∠BAO的度数. 13.如图,点D在△ABC的边BC上,连接AD. (1)如图1,M为AD的中点. ①若CD=3BD,记△ABD,△CMD的面积分别为,,求:的值. ②若,∠MCD=∠MDC,求∠AMC的度数.(用含α的式子表示) (2)如图2,若△ABD与△ACD的周长相等,设BC=a,AC=b,AB=c.求BD的长(用含a,b,c的式子表示) 14.如图,在△ABC中,∠BAC=,点D在边AC上,DE⊥BC于点E,BM为△ABC的角平分线,∠ADE的平分线交BC于点G. (1)如图1,延长AB,交DG于点F,若BM∥DG,∠F=30°.求的度数. (2)如图2,当，DG与MB的延长线交于点H，用含的代数式表示 ∠BHD，并说明理由. (3)如图3,若90°180°,DG与线段BM交于点N,用含的代数式表示∠BND,并说明理由. 答案 1. A 2. A 3. A 4. 9 5.（1）②③④ （2） 在△ABC中，∠B=36°，∠C=56° ∴∠BAC=180°-36°-56°=88° ∵AE平分∠BAC ∴∠EAC=∠BAC=×88°=44° ∵AD⊥BC ∴∠ADC=90° ∴∠DAC=90°-56°=34° ∴∠EAC-∠DAC=44°-34°=10° 即∠DAE=10° （3） ∠DAE=（∠E-∠B） 6.（1）4（2）8-2m-2n 7. ∠CDE=72° 8. (1) ∠A=80°(2) ∠E-∠D=10° 9. (1) 画AC边上的中线BD：取AC中点D，连接BD，则AD=AC。 已知AC=10，故AD=5 (2) △ABC的面积公式为×底×高，以BC为底、AH为高： =×6×5=15 10. 条件：①CD⊥AB，②∠CEF=∠CFE；结论：③AF平分∠BAG 证明： ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，则∠B+∠BCD=90°。 又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，故∠B=∠ACD。 ∵∠CEF=∠CFE，且∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAF， ∴∠BAE=∠CAF，即AF平分∠BAG。 11. (1) ∵CE平分∠ACB，∠ACB=46°，∴∠ACE=23°。 ∵AD是高，∠BAD=65° ∴∠B=25° ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=109° 在△AEC中： ∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=48° (2) 能 证明如下： ∵F是AC中点 ∴AF=CF △BCF与△BAF的周长差为： (BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=BC-AB 已知周长差为3，AB=7， ∴BC-7=3 得BC=10 12. (1) ∠ACB的度数不变，值为120° 理由： 在△ABO中，∠MON=60° ∴∠OAB+∠OBA=120°。 ∵C是△ABO内角平分线交点 ∴∠CAB=∠OAB，∠CBA=∠OBA， ∴∠CAB+∠CBA=60° 故∠ACB=180°-60°=120° (2) ①∠P=∠BAO ②∠BAO的度数为60°或90° 设∠P=x 当∠P=2∠BCP时，则∠BCP=x ∵x+x=90° 解得x=60° ∴∠BAO=2∠P=120° ∵∠BOA+∠BAO+∠OBA＞180° 不满足题意，舍去 当∠P=∠BCP时，则∠BCP=x ∵x+2x=90° 解得x=30° ∴∠BAO=2∠P=60° 当∠P=∠CBP=45°时， ∴∠BAO=2∠P=90° 13. 解题过程 (1) ① :=2:3 理由： ∵CD=3BD ∴:=1:3 ∵M是AD中点 ∴=， 因此:=1:=2:3 ② ∠AMC=3 理由： ∠B=2∠BAD=，故∠BAD=，∠ADC=； ∵∠MCD=∠MDC=， ∴∠AMC=∠MCD+∠MDC=3 (2) BD=理由： △ABD与△ACD周长相等，故AB+BD=AC+CD， ∵CD=BC-BD=a-BD， 代入得c+BD=b+(a-BD)，解得BD= 14. (1)=60° 理由： DG平分∠ADE，BM∥DG，∠F=30°，故∠ABM=30°， BM是角平分线，∠ABC=60°，结合角度关系得∠BAC=60° (2) ∵BM平分∠ABC,DH平分∠ADE 设∠ABM=∠CBM=x,∠ADH=∠EDH=y ∵∠DEG=90° ∴∠DGE=90°-∠EDH=90°-y ∴∠HGB=90°-y 又∵∠BHD=∠CBM-∠HGB=x-（90°-y)① 在四边形ABED中，∠A+∠ABE+∠DEB+∠ADE=360° ∴+2x+90°+2y=360° ∴+2（x+y)=270° 把①式代入得+2（∠BHD+90°）=270° ∴∠BHD=45°- (3) ∠BND=225°- 理由： ∵DG平分∠ADE，BM平分∠ABC， 设∠ABM=∠CBM=x,∠ADG=∠EDG=y 在四边形ABED中 ∵∠A+∠ABE+∠BED+∠ADE=360° ∴+2x+90°+90°+2y=360° 在四边形ABND中 ∵∠A+∠ABM+∠BND+∠ADN=360° ∴+x+∠BND+y=360° ∴∠BND=225°- 时间：45分钟　满分：60分 1. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分求的度数. 2. 如图, △ABC中, ∠1=∠2, G为AD中点, 延长BG交AC于E, 且满足BE⊥AC, F为AB上一点，且CF⊥AD于点H；下列判断： ①线段AG是△ABE的角平分线； ②△ABG与△DBG的面积相等; ③线段AE 是△ABG的边 BG上的高; ④线段 GE 是△ADC的边AD上的中线. 其中正确的个数是（ ▲ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图,在中，∠ABC与∠ACB 的平分线交于点P，根据下列条件，求的度数. (1)若则 (2)从上述计算中，我们能发现： (用含∠A的式子表示)，并说明理由. 4如图,在△ABC中,BE⊥AC于点E,AF是∠CAB的平分线,交BE于点F,∠C=75°,∠CBA=35°, 求∠AFB的度数. 5.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线于点E. (1)求证:∠A=2∠E. (2)试探究∠BOC与∠E之间的数量关系，并说明理由. 6、如图, 在△ABC中, BE是角平分线,点D在边AB上(不与点 A,B 重合) , 连接CD交BE于点O. (1) 若CD是中线, BC=3, AC=2,求△BCD与△ACD 的周长差; (2) 若CD是高, ∠ABC=64°,求∠BOC的度数. 7.如图1,线段AD,BC 相交于点O,连接AB,CD,我们把形如图1的图形称为“8字形”. (1)求证: (2)如图2,点M是线段AO上一点,连接CM,求的度数； (3)如图3,点E是DC延长线上一点,与的平分线交于点P，试猜想与∠D之间的数量关系，并说明理由. 8.如图, 和有一条公共边BC，BP平分CP平分 (1)如图1,若点P是AB与CD的交点,且, ①直接写结果:∠ABD-∠ACD的度数是 °; ②求∠BPC 的度数; (2)如图2,点A,D分别是射线BM和CN 上的动点,点P在△ABC与外,当∠MBC+时,请探究∠BPC与∠BAC,∠BDC 之间的数量关系 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1. 求∠DAE的度数 在△ABC中，∠B=45°，∠C=72° 则∠BAC=180°-∠B-∠C = 180°-45°-72°=63° ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=31.5° ∵AD是高， ∴∠ADB = 90° 在△ABD中，∠BAD=180°-90°-45°=45° ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=45°-31.5°=13.5° 2. 正确判断的个数 ①：∠1=∠2，AD是∠BAE的平分线，∴AG是△BAE的角平分线（正确） ②：G是AD中点，△ABG与△DBG等底等高，面积相等（正确） ③：BE⊥AC，即AE⊥BG，故AE是△ABG边BG上的高（正确） ④：G是AD中点，但GE不对应△ADC的中线（错误） 正确个数为3，选C 3. 求∠BPC的度数【内内模型】 (1)∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-68°=112° BP、CP平分∠ABC、∠ACB，故∠PBC+∠PCB=×112°=56° ∠BPC=180°-56°=124° (2) 公式：∠BPC=90°+∠A 理由：∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A 故∠BPC=180°-(90°-∠A)=90°+∠A 4. 求∠AFB的度数 在△CAB中，∠C=75°，∠CBA=70° 则∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-75°-35°=70° ∵AF平分∠CAB ∴∠FAB = ×70°=35° ∵BE⊥AC ∴∠AEB = 90° 在△AEF中，∠AFE =180°-90°-35°=55° ∴∠AFB=180°-∠AFE =180°-55°=125° 5. 证明与数量关系 (1) 证明∠A=2∠E： ∵CE平分∠ACD，BO平分∠ABC， ∴∠ECD=∠ACD，∠EBC =∠ABC ∵∠ECD是△EBC的外角， ∴∠E=∠ECD-∠EBC =∠ACD-∠ABC=(∠ACD-∠ABC) 又∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD-∠ABC=∠A ∴∠E=∠A 即∠A=2∠E (2) ∠BOC与∠E的关系：∠BOC=90°+∠E 理由： 由第3题结论，∠BOC= 90°+∠A 由(1)知∠A =∠E，故∠BOC=90°+∠E 第6题 (1) ∵CD是中线，∴AD=BD。 △BCD的周长=BD+BC+CD， △ACD的周长=AD+AC+CD， 周长差=(BD+BC+CD)-(AD+AC +CD)=BC-AC=3-2=1。 (2) ∵BE是角平分线，∠ABC=64° ∴∠OBC=∠ABC=32°。 又∵CD是高，∴∠BDC=90°， 在△BOD中，∠BOD=180°-90°-32°=58°， ∴∠BOC=180°-58°=122°。 第7题 (1) 证明： 在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180° 在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180° 又∵∠AOB=∠COD（对顶角相等） ∴∠A+∠B=∠C+∠D (2) ∵∠BOD是△AOB的外角 ∴∠BOD=∠A+∠B 又∵∠COD是△MCO的外角 ∴∠COD=∠OMC+∠OCM ∵∠BOD+∠COD=180° 即∠A+∠B+∠OMC+∠OCM=180° (3) 数量关系：∠P=90°-(∠A+∠D)。 理由： ∵BP平分∠ABC，CP平分∠BCE， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠BCE， 又∵∠BCE=180°-∠BCD， ∠P=180°-（∠PCB+∠PBC）=180°-∠BCE-∠ABC=180°-(180°-∠BCD）-∠ABC =90°+∠BCD-∠ABC， 由(1)知∠A+∠B=∠C+∠D 即∠A+∠ABC=∠BCD+∠D ∠BCD -∠ABC=∠A-∠D， 所以∠P=90°+∠BCD-∠ABC=90°+(∠A-∠D)。 第8题 (1) 图1相关计算 ① ∠ABD-∠ACD的度数： 在△ABD和△ACD中，由对顶角相等（∠APD=∠BPC），得： ∠A+∠ACD=∠D+∠ABD（外角的性质） 故∠ABD-∠ACD=∠A-∠D=87°-78°=9° ② 求∠BPC的度数： ∵BP平分∠CBD、CP平分∠ACB 设∠PBC=∠PBD=x，∠PCB=∠PCA=y ∵∠A+∠ACP=∠D+∠PBD ∴∠A+y=∠D + x 即87°+y=78°+x① 在△DBC中 ∠D+∠DBC+∠DCB=180° 即87°+2x+y=180°② 联立①②，可解得方程组 化简得：∠BPC=180°- 34°-43°=103° (2) 图2中∠BPC与∠BAC、∠BDC的数量关系 已知∠MBC +∠NCB = 64°，则∠ABC+∠DCB=64° ∵BP平分∠CBD，CP平分∠ACB， ∴∠PBC=∠CBD，∠PCB =∠ACB。 ∠BPC=180°-(∠PBC +∠PCB)=180°-(∠CBD+∠ACB) 又∠CBD=180°-∠BDC-∠NCB，∠ACB=180°-∠MBC-∠BAC ∴∠BPC=180°-(180°-∠BDC-∠NCB)-(180°-∠MBC-∠BAC) =∠BAC + ∠BDC+∠NCB+∠MBC =∠BAC + ∠BDC+32° 第 一 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $