精品解析：河北省石家庄外国语学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

河北省石家庄外国语学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 由，得到用表示的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的代入消元法，将方程中的用表示，需通过移项将单独留在等式一边，由此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用“边角边”证得，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题得：，，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 4. 下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； B、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； D、当时，，能说明命题是假命题，符合题意； 故选：D． 5. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 据报道，2024年国庆假期期间，全国国内出游人数约765000000，将数据765000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A 7. 如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角板中的角度计算问题， 根据三角形内角和定理可得出，再根据平行线的性质可得出，最后根据角度的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，, ∴， ∴， 故选：B． 8. 若方程ax﹣5y=3的一个解是，则a的值是(　　) A. 13 B. ﹣13 C. ﹣7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由方程ax−5y＝3的一个解是，即可得方程：−a−10＝3，解此方程即可求得答案a的值． 【详解】∵方程ax﹣5y=3的一个解是， ∴将代入方程ax﹣5y=3得：﹣a﹣10=3， 解得：a=﹣13． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解的定义．此题比较简单，注意理解定义是解此题的关键． 9. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 10. 下面展示了解不等式的过程，开始出现错误的一步是（　　） 去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 系数化为1，得…⑤ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的基本性质判断即可得出答案． 【详解】解：开始出现错误的一步是①，左边去分母时未加括号； 故选：A． 11. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，是的外角．求证：．下列说法正确的是（ ） 证法1：如图，∵（三角形内角和定理），（平角定义），∴（等量代换），∴（等式性质）． 证法2：如图，过点C作，∴，，∵，∴（等量代换）． A. 只有证法1正确 B. 只有证法2正确 C. 证法1和证法2都正确 D. 证法1和证法2都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义，等式的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】根据题意，两种证法都是正确的， 故选：C． 12. 若，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数的乘方，零指数幂的计算以及负整数指数幂的计算，熟练地掌握以上计算是解决问题的关键． 分别计算出a，b，c的值，再比较大小，得出结论． 【详解】解： ∵ ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则____ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】解：已知， 两边同乘，得， 故答案为：． 14. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定填写即可． 【详解】解：添加的条件为：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键． 将左边因式分解可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 答案为：． 16. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到的位置，若，，则点B与点E的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据平移的性质得出，再由，，即可由求解． 【详解】解：连接， 直角三角形沿边的方向平移到△的位置， ， ∴， ，， ∴， 即点与点的距离为5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个小题，共72．分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）分解因式： ①； ②； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）①；②；（2）， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值、因式分解，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）①利用平方差公式因式分解； ②先提公因式，再利用完全平方公式因式分解； （2）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解：（1）①； ②； （2） ， 当，时， 原式 ． 18. （1）解方程组； （2）解不等式组，并求满足条件的整数解． 【答案】（1）；（2），满足条件的整数解为： 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元法解答即可； （2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，再求它们的公共部分即可得出结论． 【详解】解：（1）， ，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， ∴方程组的解为； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∴满足条件的整数解为：． 19. 背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，． 问题：请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 解决：请把下列解题过程补充完整． 解：∵，（已知）， ∴ ，（两直线平行， ）， ∵，，（已知）， ∴．（等量代换）， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ ．（ ，两直线平行）． 【答案】3；内错角相等；5；6；6；l，m；内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，联系上下文，补齐各步骤的结论和推理依据即可作答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∵，且， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：3；内错角相等；5；6；6；l，m；内错角相等． 20. （1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】（1）；789（答案不唯一）；（2），；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，读懂题意，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可；根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （2）根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； （3）把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； 再举出一个顺子数：789（答案不唯一）； 故答案为；789（答案不唯一）； （2）由题意得，； （3）证明： ， ∵，a是正整数， ∴为正整数， ∴顺子数都可以被3整除． 21. 如图，为外部一点，连接，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； （3）求． 【答案】（1） 解：如图，点M即为所求． （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以证明，即可作答． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是． 故答案为：． 【小问3详解】 解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 22. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）． （1）利用图2中的图形，可以将多项式分解为 ； （2）图3中阴影部分的正方形的边长是 ； （3）图3中阴影部分的面积有两种不同计算方法，可得下列三个代数式，，之间的数量关系是 ； （4）利用（3）中的结论，对于有理数x，y，当，时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）16 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法用代数式表示图2长方形的面积即可； （2）根据拼图可得答案； （3）用代数式表示图3的面积即可； （4）利用代入计算即可． 【小问1详解】 解：图2整体上是长为，宽为的长方形， 因此面积为，拼成图2的各个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图3中阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：图3中整体上是边长为的正方形，因此面积为， 图3中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵，， ∴ ． 23. 无人机在航拍、农业、植保、快递运输等诸多方面有广泛应用，七年级某班在我爱石家庄社会实践活动中进行了相关调查．如表是某商家连续两天销售A、B两种小型无人机的情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种无人机 B种无人机 第一天 4个 5个 11000元 第二天 6个 10个 19000元 （1）求A、B两种无人机每个的售价分别是多少？ （2）若A、B两种无人机每个进价分别为1200元和800元，商家决定再采购A、B无人机共30个，采购资金不超过34000元，求A种无人机最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，那么有哪几种采购方案？ 【答案】（1）每个A种无人机的售价是1500元，每个B种无人机的售价是1000元 （2）A种无人机最多能采购25个 （3）商店共有2种采购方案，方案1：采购24个A种无人机，6个B种无人机；方案2：采购25个A种无人机，5个B种无人机 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每个A种无人机的售价是x元，每个B种无人机的售价是y元，利用销售收入＝销售单价×销售数量，结合该商家连续两天销售A、B两种小型无人机的情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购m个A种无人机，则采购个B种无人机，利用采购资金种无人机的进价×采购A种无人机的数量种无人机的进价×采购B种无人机的数量，结合采购资金不超过34000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）根据商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合且m为正整数，即可得出各采购方案． 【小问1详解】 解：设每个A种无人机的售价是x元，每个B种无人机的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种无人机的售价是1500元，每个B种无人机的售价是1000元； 【小问2详解】 解：设采购m个A种无人机，则采购个B种无人机， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为25． 答：A种无人机最多能采购25个； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵，且m为正整数， ∴m可以为24，25， ∴商店共有2种采购方案， 方案1：采购24个A种无人机，6个B种无人机； 方案2：采购25个A种无人机，5个B种无人机． 24. 如图1和图2，在等边中，．，D为射线上一点，连接并延长至E，使，连接，将线段绕点A顺时针旋转并延长，交所在直线于点F． （1）如图1，当D为中点时， ①求证：； ②判断点F是否与点B重合： （填“是”或“否”）； （2）如图2，当点D在线段上，且时， 嘉嘉说：在上另取点M，使； 琪琪说：交直线于点M． 连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长； （3）设，，当点D在射线上运动时，若，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）①证明：∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴； ②是 （2）若选择嘉嘉的说法， 证明：在和中， ， ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 若选择琪琪的说法， 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）①根据进行证明即可； ②根据三角形全等以及等边三角形的性质求出以及的长，进而进行判断； （2）任选一个说法，先证明，然后证明即可； （3）过E作的平行线，根据（2）方法将转化到上，然后进行y和x的比较，求出x的取值范围． 【小问1详解】 解：①略 ②解：∵， ∴，， ∴， ∴A，B，F共线， 又∵， ∴， ∴F和B重合； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设中点为，由（1）知当在处时，重合， 当点在线段上时，在线段上， 由（2）嘉嘉说知：，且， ，即， 又，则， 解得，又， ， 当点D在线段上时， 由（2）琪琪说知：， ∵，即与矛盾，故点在线段上这种情况不存在， ∴点D在线段延长线上， 过E作交于M，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由旋转可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D在延长线上， ∴， ∴，即， ∴， 即， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄外国语学校2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 由，得到用表示的式子为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 5. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 据报道，2024年国庆假期期间，全国国内出游人数约765000000，将数据765000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程ax﹣5y=3的一个解是，则a的值是(　　) A. 13 B. ﹣13 C. ﹣7 D. 7 9. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 10. 下面展示了解不等式的过程，开始出现错误的一步是（　　） 去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 系数化为1，得…⑤ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，是的外角．求证：．下列说法正确的是（ ） 证法1：如图，∵（三角形内角和定理），（平角定义），∴（等量代换），∴（等式性质）． 证法2：如图，过点C作，∴，，∵，∴（等量代换）． A. 只有证法1正确 B. 只有证法2正确 C. 证法1和证法2都正确 D. 证法1和证法2都不正确 12. 若，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则____ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 15. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 16. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到的位置，若，，则点B与点E的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72．分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）分解因式： ①； ②； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. （1）解方程组； （2）解不等式组，并求满足条件的整数解． 19. 背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，． 问题：请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 解决：请把下列解题过程补充完整． 解：∵，（已知）， ∴ ，（两直线平行， ）， ∵，，（已知）， ∴．（等量代换）， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ ．（ ，两直线平行）． 20. （1）列式：设是一个三位数，则用含a，b，c的代数式表示为 ； 定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数： ； 推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． （2）请用含a的代数式表示b和c； （3）通过整式的运算，证明上述发现的结论． 21. 如图，为外部一点，连接，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； （3）求． 22. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）． （1）利用图2中的图形，可以将多项式分解为 ； （2）图3中阴影部分的正方形的边长是 ； （3）图3中阴影部分的面积有两种不同计算方法，可得下列三个代数式，，之间的数量关系是 ； （4）利用（3）中的结论，对于有理数x，y，当，时，求的值． 23. 无人机在航拍、农业、植保、快递运输等诸多方面有广泛应用，七年级某班在我爱石家庄社会实践活动中进行了相关调查．如表是某商家连续两天销售A、B两种小型无人机的情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种无人机 B种无人机 第一天 4个 5个 11000元 第二天 6个 10个 19000元 （1）求A、B两种无人机每个的售价分别是多少？ （2）若A、B两种无人机每个进价分别为1200元和800元，商家决定再采购A、B无人机共30个，采购资金不超过34000元，求A种无人机最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，商店销售完这30个无人机的利润不低于8350元，那么有哪几种采购方案？ 24. 如图1和图2，在等边中，．，D为射线上一点，连接并延长至E，使，连接，将线段绕点A顺时针旋转并延长，交所在直线于点F． （1）如图1，当D为中点时， ①求证：； ②判断点F是否与点B重合： （填“是”或“否”）； （2）如图2，当点D在线段上，且时， 嘉嘉说：在上另取点M，使； 琪琪说：交直线于点M． 连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长； （3）设，，当点D在射线上运动时，若，直接写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $