专题2.1 圆的标准方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题2.1 圆的标准方程 教学目标 1.理解圆的定义，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2.体会圆心、半径与圆的标准方程中参数的对应关系． 3.掌握用待定系数法、几何性质法等方法求圆的标准方程． 4.掌握判断点与圆的位置关系的两种方法． 5.增强用解析法研究几何问题的能力，体会数形结合思想．通过对用圆的标准方程解决实际问题的学习，提高数学的应用意识，并体会转化与联系的数学思想． 教学重难点 1.重点 推导圆的标准方程 2.难点 与圆有关的几何性质及其对应的代数表示 知识点01 圆的定义及圆的标准方程 1.圆的定义： 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 注：确定一个圆的几何要素：_________ _________确定圆的位置，_________决定圆的大小 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：___________ 2.圆的标准方程的推导过程： （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3.圆的标准方程： 我们把________________称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 注：（1）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程； （2）当圆心为原点O(0, 0)时，圆的方程为x2＋y2＝r2(r＞0). 【即学即练】 1．（多选）下列说法正确的是（  ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 2．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 3.已知圆过点，则圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1） 几何法（利用距离判断） 设到圆心的距离为，则 ①则点在____ ②则点在____ ③则点在____ （2）代数法（利用方程判断） 将点带入：方程内 ①点在外____________________ ②点在上____________________ ③点在内____________________ 【即学即练】 1.已知点，与圆O：，则（  ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 2.点与圆的位置关系为（  ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 3.若点在圆外，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 知识点03 圆上的点到定点、定直线的最大、最小距离 1.圆上一点到圆外一定点的距离最值： 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 2.圆上一点到圆外一定直线的距离最值： 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 【即学即练】 1.若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，则P(x，y)到原点的距离的最大值为______,最小值为______． 2.圆上的点到直线的距离的最大值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．9 题型01 由圆的标准方程求圆心和半径 【典例1】圆的圆心坐标和半径分别为（  ） A． B． C． D． 【变式1】若直线是圆的一条对称轴，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（  ） A． B． C． D． 【变式3】曲线与轴所围成区域的面积为（  ） A． B． C． D． 题型02 求圆的标准方程 【典例1】求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． (3)求过三点的圆的标准方程. (4)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式1】求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 【变式2】过点，且圆心在直线上的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【变式5】已知圆的圆心为点，一条直径的端点分别在轴和轴上，则该圆的标准方程为 . 题型03 点与圆的位置关系判断 【典例1】点与圆的位置关系是（  ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【变式1】（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（  ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【变式2】点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【变式3】“”是“点在圆内”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型04 利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 【典例1】圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 【变式1】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 题型05 与圆有关的最值问题 【典例1】已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 1、圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定点的距离的最小值为d−r 2、圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定直线的距离的最小值为d−r 【变式1】已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式2】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．5 B．6 C．25 D．36 【变式3】已知动点在圆上运动，求点到直线的距离的最大值和最小值. 【变式4】已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 【变式5】已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型06 圆的标准方程中对称问题 【典例1】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式1】若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 . 【变式2】若直线是圆的一条对称轴，则（  ） A． B． C．1 D． 【变式3】圆关于直线对称的圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ ． 1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 2．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（  ） A． B． C． D． 3．点与圆（）的位置关系为（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 4．圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 5．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（  ） A． B．9 C．4 D．8 6．已知点在圆上，点，则的值可能为（  ） A．1 B．7 C．13 D．15 7．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知圆C：及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（  ） A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 9．（多选）若有一组圆：，下列命题正确的是（  ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 10．过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 11．已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 12．平面直角坐标系中，圆经过点和点，与轴正半轴相交于点．若在第一象限内的圆弧上存在点，使，则圆的标准方程为 ． 13．已知圆过点，． (1)求圆心所在直线的方程； (2)求周长最小的圆的标准方程； (3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； (4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程． 14．已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆的标准方程 教学目标 1.理解圆的定义，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2.体会圆心、半径与圆的标准方程中参数的对应关系． 3.掌握用待定系数法、几何性质法等方法求圆的标准方程． 4.掌握判断点与圆的位置关系的两种方法． 5.增强用解析法研究几何问题的能力，体会数形结合思想．通过对用圆的标准方程解决实际问题的学习，提高数学的应用意识，并体会转化与联系的数学思想． 教学重难点 1.重点 推导圆的标准方程 2.难点 与圆有关的几何性质及其对应的代数表示 知识点01 圆的定义及圆的标准方程 1.圆的定义： 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 注：确定一个圆的几何要素：圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2.圆的标准方程的推导过程： （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 3.圆的标准方程： 我们把__________ 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 注：（1）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程； （2）当圆心为原点O(0, 0)时，圆的方程为x2＋y2＝r2(r＞0). 【即学即练】 1．（多选）下列说法正确的是（  ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【解析】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 2．在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【解析】由题意可得方程为. 故选：C. 3.已知圆过点，则圆的标准方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【解析】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1） 几何法（利用距离判断） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法（利用方程判断） 将点带入：方程内 ①点在外________ ②点在上____________ ③点在内____________ 【即学即练】 1.已知点，与圆O：，则（  ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【分析】将点，代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解. 【解析】将代入圆的方程，可得， 所以点A在圆O内；将代入圆的方程， 可得，所以点B在圆O外． 故选：C 2.点与圆的位置关系为（  ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解析】， 在圆外， 故选：A. 3.若点在圆外，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围． 【解析】点在圆外， 且， 解得． 故选：C 知识点03 圆上的点到定点、定直线的最大、最小距离 1.圆上一点到圆外一定点的距离最值： 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 2.圆上一点到圆外一定直线的距离最值： 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 【即学即练】 1.若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，则P(x，y)到原点的距离的最大值为______,最小值为______． 【答案】最大值，最小值. 【分析】先求出原点到圆心的距离，从而可求圆上的动点到原点距离的最值. 【解析】原点到圆心)的距离，圆的半径为， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为. 故答案为：最大值，最小值. 2.圆上的点到直线的距离的最大值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案. 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 题型01 由圆的标准方程求圆心和半径 【典例1】圆的圆心坐标和半径分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【解析】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 【变式1】若直线是圆的一条对称轴，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【解析】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 【变式2】已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定以为直径的圆的圆心和半径，即可得答案. 【解析】由圆C：可知圆心，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故所求圆的方程为：. 故选：D 【变式3】曲线与轴所围成区域的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求解. 【解析】    由可得，， 所以曲线表示圆的部分， 因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称， 所以曲线与轴所围成区域的面积为， 故选:B 题型02 求圆的标准方程 【典例1】求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． (3)求过三点的圆的标准方程. (4)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1)或；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （2）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. （3）首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. （4）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程. 【解析】（1）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （2）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． （3）设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： （4）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为，的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点，直线与直线垂直， ，直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为. 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式1】求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 【答案】(1)或；(2)；(3) (4) 【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. 【解析】（1）设圆的标准方程为． 因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6， 所以所求圆的标准方程为或． （2）设圆的标准方程为，由题意得，； 又因为点在圆上，所以． 所以所求圆的标准方程为． （3）设圆心为． 因为圆与直线y=1-x相切于点，所以， 解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径． 所以所求圆的方程为． （4）设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为． 又该圆经过A、B两点，所以． 所以，解得a=-2， 所以圆心坐标为，半径． 故所求圆的标准方程为． 【变式2】过点，且圆心在直线上的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【解析】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B 【变式3】（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【解析】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况：    故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 【变式4】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【解析】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 【变式5】已知圆的圆心为点，一条直径的端点分别在轴和轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直径的端点坐标，进而可求得圆的半径，即可得解. 【解析】设直径的端点分别为， 因为圆的圆心为点， 所以，解得， 所以圆的半径， 所以该圆的标准方程为. 故答案为：. 题型03 点与圆的位置关系判断 【典例1】点与圆的位置关系是（  ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【解析】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【变式1】（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（  ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【解析】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 【变式2】点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论 【解析】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 【变式3】“”是“点在圆内”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【解析】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 题型04 利用点与圆的位置关系求参数（值）范围 【典例1】圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为 . 【答案】 【分析】先设圆心为，由题中条件，求出圆的方程，根据点与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】设圆心为，由得， 所以， 则半径， 故圆的方程为， 又在圆内， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【解析】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 【变式2】已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，则a的取值范围为 ． 【答案】(3，) 【分析】根据点P与Q与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【解析】由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 故答案为：(3，) 题型05 与圆有关的最值问题 【典例1】已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，即可根据求解. 【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆， 由，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 故选：B．    1、圆上的动点到定点的距离最值问题： ①求距离：利用圆心和定点的坐标，求两定点之间的距离d ②求最值：圆上的动点到定点的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定点的距离的最小值为d−r 2、圆上的动点到定直线的距离最值问题： ①求距离：用点到直线距离公式求圆心到定直线的距离d ②求最值：圆上的动点到定直线的距离的最大值为d+r，圆上的动点到定直线的距离的最小值为d−r 【变式1】已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径. 【解析】由，得，所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为， 所以在圆外，故的最大值为. 故选：C. 【变式2】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（  ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【解析】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 【变式3】已知动点在圆上运动，求点到直线的距离的最大值和最小值. 【答案】最大值3，最小值1. 【解析】得出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，根据圆的性质，即可求出结果. 【解析】由题意，点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 圆心到直线的距离. 根据圆的性质，可得点到直线的距离的最大值为，最小值为. 【变式4】已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 . 【答案】5 【分析】求出圆心坐标，与直线过定点坐标，再求两点间的距离，即可得解. 【解析】圆：的圆心为，半径， 直线：，即，令，解得， 所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 【变式5】已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】先求得定点A的坐标，再去求点关于直线的对称点的坐标，再去求点到圆上一点N距离的最小值即为的最小值. 【解析】圆的圆心，半径 直线可化为， 令，解得，所以定点A的坐标为. 设点关于直线的对称点为， 由，解得，所以点B坐标为. 由线段垂直平分线的性质可知，， 所以 （当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立）， 所以的最小值为6. 故选：A 题型06 圆的标准方程中对称问题 【典例1】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【解析】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 【变式1】若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由对称性确定圆心为，由此可得圆的标准方程； 【解析】点关于直线对称的点为， 圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为. 故答案为： 【变式2】若直线是圆的一条对称轴，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A 【变式3】圆关于直线对称的圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求圆的圆心和半径求得正确答案. 【解析】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 设圆的圆心为， 则，解得， 圆的半径为，所以圆的标准方程为. 故选：A 【变式4】已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ ． 【答案】 【分析】由题意，设关于直线的对称点为，列出方程组，求解方程组即可得圆关于直线对称的圆的方程，从而即可得答案. 【解析】解：圆的圆心是坐标原点，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 因为圆关于直线对称的圆的方程为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，即， 所以，即． 故答案为：. 1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆的半径，然后根据圆的标准方程即可求解. 【解析】由题意可得圆心坐标，半径为， 则圆的方程为，即为， 故选：C. 2．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知点和关于直线对称，所以先求出圆心，然后利用对称关系可求出的坐标，从而可求出圆的方程 【解析】圆的圆心，半径为1， 设，则由题意得 ，解得即， 所以圆的方程为， 故选：A 3．点与圆（）的位置关系为（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【解析】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 4．圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法即可求得圆的标准方程. 【解析】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B 5．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（  ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 6．已知点在圆上，点，则的值可能为（  ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可. 【解析】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 7．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解. 【解析】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上． 设圆心坐标为，则由，解得或， ∴圆的标准方程为或． 故选：AD． 8．（多选）已知圆C：及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（  ） A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A选项，由圆的标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出的值，进而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足，求出MQ|的取值范围. 【解析】，所以圆心C坐标为，故A正确：因为两点之间的距离为，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点在圆C上，所以，所以，即．所以直线的斜为，故C错误，因为圆心，半径所以，即，故D正确 故选：ABD． 9．（多选）若有一组圆：，下列命题正确的是（  ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【解析】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB 10．过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【解析】设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 11．已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解. 【解析】不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.    故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 12．平面直角坐标系中，圆经过点和点，与轴正半轴相交于点．若在第一象限内的圆弧上存在点，使，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意作图，由，求得，进而求出B的坐标，求出圆的方程. 【解析】根据题意作图，如图所示： 显然，，而， 于是，又，则AB为圆的直径，设， 由，得， 因此，即，又，则AB的中点， 所以圆C的标准方程为：. 故答案为： 13．已知圆过点，． (1)求圆心所在直线的方程； (2)求周长最小的圆的标准方程； (3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； (4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程． 【答案】(1)x－3y＋3＝0；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可； （2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可； （3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程； （4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程. 【解析】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是， ∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上， ∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0． （2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为． 则所求圆的标准方程为． （3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为， 又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2）， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． （4）设圆心的坐标为（m，2）， 由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3， ∴圆的半径， ∴所求圆的标准方程为 14．已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 【答案】(1)；(2)M为（1,0），最小值为5 【分析】(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求； (2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值． 【解析】(1)设圆的圆心为， 由题意可得，，解得． 圆的方程为； (2)设点，，，，则． ， 为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立， ，解得或(舍去)，， 此时为定值， ∴， 当且仅当、、三点共线时，的最小值为． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$