正余弦正切两角和差公式二倍角公式及三角恒等变换【7个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【正余弦正切两角和差公式二倍角公式及恒等变换】 总览 题型梳理 一．三角函数恒等式的证明（共5小题） 二．求两角和与差的三角函数值（共14小题） 三．两角和与差的三角函数的逆用（共6小题） 四．求二倍角的三角函数值（共10小题） 五．二倍角的三角函数的逆用（共7小题） 六．三角函数的恒等变换及化简求值（共4小题） 七．三角函数中的恒等变换应用（共5小题） 【知识点清单】 【知识点的认识】 三角函数恒等式： 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα． 公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα． 公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）═﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．三角函数恒等式的证明（共5小题） 1．（1）化简：； （2）求证：． 2．化简或证明： （1）； （2）． 3．（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值； （2）证明恒等式：． 4．化简与证明： （1）． （2）cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2β﹣sin2α． 5．化简与证明： （1）； （2）． 二．求两角和与差的三角函数值（共14小题） 6．已知，则（　　） A． B．﹣2 C．2 D． 7．已知tan（α﹣β）＝2，tan（α+β）＝3，则（　　） A．﹣6 B．﹣7 C． D． 8．已知角α的终边过点P（﹣3，4），则（　　） A． B． C．7 D．﹣7 9．已知且，则tanα＝（　　） A． B．﹣2 C． D．2 10．已知α为第三象限角，且，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 11．若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．已知cos（α+β）＝2m，tanαtanβ＝3，则cos（α﹣β）＝（　　） A．﹣4m B． C． D．4m 13．化简：cos（α+β）sinα﹣sin（α+β）cosα＝（　　） A．sinβ B．﹣sinβ C．cosβ D．﹣cosβ 14．已知cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ，则cos（β﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 15．已知，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 16．角θ终边上一点的坐标为（﹣3，4），则的值为（　　） A． B． C． D． 17．已知α，β均为锐角，且，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 18．已知，且，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 19．已知，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 三．两角和与差的三角函数的逆用（共6小题） 20．sin27°cos18°+sin63°sin162°＝（　　） A． B． C． D． 21．sin15°+sin75°＝（　　） A． B． C． D． 22．sin75°cos30°﹣sin30°cos75°＝（　　） A． B． C． D． 23．设，，且，则（　　） A． B． C．α+2β＝π D．2α+β＝π 24．tan200°+tan40°tan20°•tan40°＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 25．在△ABC中，已知，则角C＝（　　） A． B． C． D． 四．求二倍角的三角函数值（共10小题） 26．已知，，则sin3α＝（　　） A． B． C． D． 27．已知，且，则cos2θ＝（　　） A． B． C． D． 28．已知，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 29．已知，则cos4θ＝（　　） A． B． C． D． 30．已知α是第四象限角，若，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 31．若，则（　　） A． B． C． D． 32．化简的结果为（　　） A． B．tanα C．tan2α D．cos2α 33．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点（3，﹣4），则（　　） A． B． C． D． 34．已知，则tan2θ＝（　　） A． B． C． D． 35．已知角α终边在第二象限，且，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 五．二倍角的三角函数的逆用（共7小题） 36．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 37．下列各式的值为的是（　　） A．sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5° B． C． D． 38．已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． （多选）39．下列等式成立的是（　　） A． B．cos75°cos15°+sin75°sin15°＝0 C． D． （多选）40．下列选项化简值为1的有（　　） A．2（cos2sin2） B．（） C． D．tan20°+4sin20° （多选）41．下列四个等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 42．已知α为锐角，，则 　 　 ． 六．三角函数的恒等变换及化简求值（共4小题） 43．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 44．若，则（　　） A．cos（α+β）＝0 B． C． D． 45．若，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 46．已知，，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 七．三角函数中的恒等变换应用（共5小题） 47．函数f（x）＝cosx+cos2x+cos3x，则f（x）在[0，2π]内零点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 48．已知函数，x∈[0，π]，则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）的最大值为2 B．函数f（x）的单调递增区间是 C．函数f（x）的图象关于点中心对称 D．直线y＝2与函数f（x）的图象所有公共点的横坐标之和为 49．若函数，则（　　） A．f（x）的单调递减区间为 B．f（x）的图象关于直线对称 C．f（x）的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是π D．f（x）的最小正周期为2π 50．已知函数，x∈R，则下列描述正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期是 B．f（x）在上单调递增 C．是y＝f（x）的一条对称轴 D．f（x）的最大值是 51．已知．给出下列判断： ①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且，则ω＝2； ②若f（x）在[0，2π]恰有9个零点，则ω的取值范围为； ③存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称； ④若f（x）在上是增函数，则ω的取值范围为（0，1]． 其中，判断正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【正余弦正切两角和差公式二倍角公式及恒等变换】 总览 题型梳理 一．三角函数恒等式的证明（共5小题） 二．求两角和与差的三角函数值（共14小题） 三．两角和与差的三角函数的逆用（共6小题） 四．求二倍角的三角函数值（共10小题） 五．二倍角的三角函数的逆用（共7小题） 六．三角函数的恒等变换及化简求值（共4小题） 七．三角函数中的恒等变换应用（共5小题） 【知识点清单】 【知识点的认识】 三角函数恒等式： 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα． 公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα． 公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）═﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．三角函数恒等式的证明（共5小题） 1．（1）化简：； （2）求证：． 【考点】三角函数恒等式的证明．版权所有 【分析】（1）结合正弦、余弦的两角和与差公式，即可求解； （2）结合正弦、余弦的二倍角公式，即可求解． 【解答】解：（1）原式； （2）证明：左边， 右边， 综上所述，． 【点评】本题主要考查三角函数恒等式的化简与证明，考查转化能力，属于基础题． 2．化简或证明： （1）； （2）． 【考点】三角函数恒等式的证明；求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】（1）由两角和与差的正弦公式及余弦公式进行化简即可． （2）由sin2α+cos2α＝1及二倍角公式进行证明即可． 【解答】解：（1）原式 （2）原式 右边． 【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角恒等式的证明，化简中的应用，属于中档题． 3．（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值； （2）证明恒等式：． 【考点】三角函数恒等式的证明；任意角的三角函数的定义．版权所有 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα，即可计算得解． （2）利用三角函数恒等变换的应用证明等式左边＝右边即可． 【解答】解：（1）∵角α的终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0， ∴x＝3a，y＝4a，r＝5a， 可得sinα，cosα， ∴2sinα+cosα＝21； （2）证明：左边右边，得证． 【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变换的应用，属于基础题． 4．化简与证明： （1）． （2）cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2β﹣sin2α． 【考点】三角函数恒等式的证明；求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】（1）将sin（2α+β）变成sin[α+（α+β）]，利用两角和差的正弦公式化简得解； （2）利用两角和与差的余弦公式，平方关系从左向右证化简证明． 【解答】证明：（1）原式2cos（α+β） ． （2）左边cos（α+β）cos（α﹣β） ＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）（cosαcosβ+sinαsinβ） ＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β ＝（1﹣sin2α）cos2β﹣sin2α（1﹣cos2β） ＝cos2β﹣sin2αcos2β﹣sin2α+sin2αcos2β ＝cos2β﹣sin2α． ∴左边＝右边，得证． 【点评】本题考查三角函数恒等式的证明及两角和与差的余弦公式，平方关系的应用，为中档题． 5．化简与证明： （1）； （2）． 【考点】三角函数恒等式的证明．版权所有 【分析】（1）利用同角基本关系式与辅助角公式，结合倍角公式与诱导公式即可得解； （2）利用正余弦的齐次式法，结合同角基本关系式与倍角公式化简即可得证． 【解答】解：（1）证明：原式 ． （2） ，证毕． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题． 二．求两角和与差的三角函数值（共14小题） 6．已知，则（　　） A． B．﹣2 C．2 D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】先应用两角和正切公式计算得出tanα＝3，再弦化切得出齐次式的值． 【解答】解：因为， 所以tanα＝3，则． 故选：D． 【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于基础题． 7．已知tan（α﹣β）＝2，tan（α+β）＝3，则（　　） A．﹣6 B．﹣7 C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】根据2α＝（α+β）+（α﹣β），2β＝（α+β）﹣（α﹣β），运用两角和与差的正切公式算出tan2α、tan2β的值，进而可得本题答案． 【解答】解：由tan（α﹣β）＝2，tan（α+β）＝3， 可得tan2α＝tan[（α+β）+（α﹣β）]1， tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]， 所以7． 故选：B． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于基础题． 8．已知角α的终边过点P（﹣3，4），则（　　） A． B． C．7 D．﹣7 【考点】求两角和与差的三角函数值；任意角的三角函数的定义．版权所有 【分析】根据正切函数定义求出tanα，利用两角和的正切公式求解． 【解答】解：角α的终边过点P（﹣3，4）， 由三角函数定义可得，tan， 所以tan（）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数定义及两角和的正切公式，属于基础题． 9．已知且，则tanα＝（　　） A． B．﹣2 C． D．2 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由已知结合和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：因为且， 所以tanα， 整理得，3tan2α﹣5tanα﹣2＝0， 则tanα或tanα＝2（舍）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题． 10．已知α为第三象限角，且，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】结合α的取值范围，由同角三角函数的平方关系，求得cos（α），再根据α＝（），利用两角差的余弦公式，展开运算，即可得解． 【解答】解：因为α为第三象限角， 所以α∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z， 所以α∈（2kπ，2kπ），k∈Z， 又0，所以α∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z， 所以cos（α）， 所以cosα＝cos[（）]＝cos（）cossin（）sin（）． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11．若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】根据α∈（0，）求出α∈（，），利用同角的三角函数关系求出cos（α），再利用cos（α）＝cos[（α）]求解即可． 【解答】解：因为α∈（0，），所以﹣α∈（，0），所以α∈（，）， 所以cos（α）， 所以cos（α）＝cos[（α）] ＝coscos（α）+sinsin（α） （） ． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的求值运算问题，是基础题． 12．已知cos（α+β）＝2m，tanαtanβ＝3，则cos（α﹣β）＝（　　） A．﹣4m B． C． D．4m 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值． 【解答】解：因为cos（α+β）＝2m，tanαtanβ＝3，整理得cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2m，， 解得， 因此cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣4m． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 13．化简：cos（α+β）sinα﹣sin（α+β）cosα＝（　　） A．sinβ B．﹣sinβ C．cosβ D．﹣cosβ 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用正弦的两角差公式和诱导公式化简可得． 【解答】解：原式＝sin[α﹣（α+β）]＝sin（﹣β）＝﹣sinβ． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角函数求值，属于基础题． 14．已知cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ，则cos（β﹣α）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用三角函数的两角和差公式cos（A﹣B）＝cosAcosB+sinAsinB，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到cos（β﹣α）的值． 【解答】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ①+②得，cos2α+sin2α+cos2β+sin2β， 即1+1﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ），即2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）， 则，解得． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的两角和差公式，属于基础题． 15．已知，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由求得sinαcosβ和cosαsinβ得代入sin（α﹣β）的展开式即得结果． 【解答】解：由，得①， 由，得，即sinαcosβ＝3cosαsinβ②， 所以，， 故sin（α﹣β）． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数求值，属于基础题． 16．角θ终边上一点的坐标为（﹣3，4），则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；任意角的三角函数的定义．版权所有 【分析】根据三角函数定义求出，，进而利用两角差的正弦公式去计算即可． 【解答】解：由题意可得， 可得，， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查了任意角的三角函数定义以及两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 17．已知α，β均为锐角，且，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】根据条件，利用平方关系求出sin（α+β），cosβ，构角α＝α+β﹣β，再利用正弦的差角公式，即可求解． 【解答】解：由题意可得0＜α+β＜π， 可得，， 所以． 故选：C． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 18．已知，且，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式即可求解． 【解答】解：因为，且， 所以sin（）， 则sinα＝sin（） ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题． 19．已知，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】将已知的两个等式平方、相加，结合两角差的正弦公式求出sin（α﹣β），再根据同角三角函数的关系算出cos（α﹣β）的值，可得答案． 【解答】解：由sinα﹣2cosβ＝1，平方得sin2α+4cos2β﹣4sinαcosβ＝1…①， 由cosα+2sinβ，平方得cos2α+4sin2β+4cosαsinβ＝2…②， ①+②，可得5+4（cosαsinβ﹣sinαcosβ）＝3， 即5﹣4sin（α﹣β）＝3，解得． 结合，可得． 故选：A． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题． 三．两角和与差的三角函数的逆用（共6小题） 20．sin27°cos18°+sin63°sin162°＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】先由诱导公式化简，再由两角和的正弦公式求解即可． 【解答】解：sin27°cos18°+sin63°sin162° ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了和差角公式，诱导公式的应用，属于基础题． 21．sin15°+sin75°＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】利用和差角的正弦公式计算得解． 【解答】解：sin15°+sin75°＝sin15°+cos15°sin（15°+45°）． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数求值，属于基础题． 22．sin75°cos30°﹣sin30°cos75°＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】逆用差角的正弦公式求解． 【解答】解：原式＝sin（75°﹣30°）＝sin45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题． 23．设，，且，则（　　） A． B． C．α+2β＝π D．2α+β＝π 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由已知结合同角基本关系，和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：，，且， 则， 所以sin（α+β）＝sinα， 所以α+β+α＝2α+β＝π． 故选：D． 【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，诱导公式的应用，属于基础题． 24．tan200°+tan40°tan20°•tan40°＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由已知结合两角和的正切公式即可求解． 【解答】解：因为tan（20°+40°）， 则tan20°+tan40°， tan200°+tan40°tan20°•tan40°＝tan20°+tan40°tan20°•tan40° ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两角和正切公式的应用，属于基础题． 25．在△ABC中，已知，则角C＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】结合两角和的正切公式可求出A+B，进而可求C． 【解答】解：因为， 所以tan（A+B）， 故A+B， 则角C． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题． 四．求二倍角的三角函数值（共10小题） 26．已知，，则sin3α＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】根据给定条件，切化弦通分，利用辅助角公式、二倍角的正弦公式及诱导公式化简，并求出角3α即可． 【解答】解：由，得， 则，整理得， 由，得，， 于是或或，解得或或， 所以sin3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，同角基本关系的应用，属于中档题． 27．已知，且，则cos2θ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】根据tanθ，利用同角三角函数的基本关系求出sin2θ、cos2θ，然后运用二倍角的余弦公式求出答案． 【解答】解：根据tanθ，且sin2θ+cos2θ＝1，解得sin2θ，cos2θ， 所以cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ． 故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题． 28．已知，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的余弦公式即可求解． 【解答】解：因为， 所以由sinα＞0，可得cosα， 则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 29．已知，则cos4θ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案． 【解答】解：由题意，方程两边平方，可得， 所以， 解得， 可得． 故选：A． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 30．已知α是第四象限角，若，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】利用差角的正切公式求得，结合角的象限求出角α的正余弦，利用二倍角公式代入计算即得． 【解答】解：由题意可得，解得， 所以， 由于α是第四象限角，可得sinα＜0，cosα＞0， 又因为sin2α+cos2α＝1， 所以 可得． 故选：D． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 31．若，则（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，即可求解． 【解答】解：若， 则． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式，属于基础题． 32．化简的结果为（　　） A． B．tanα C．tan2α D．cos2α 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：因为， 原式•． 故选：B． 【点评】本题主要考查二倍角的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题． 33．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点（3，﹣4），则（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．版权所有 【分析】根据三角函数的定义求出cosα、tanα，结合二倍角公式求出cos2α、tan2α，进而可得正确答案． 【解答】解：设P（3，﹣4），则|OP|， 根据三角函数定义，可得cosα，tanα， 所以， ，对照各个选项，可知D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数的定义、二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题． 34．已知，则tan2θ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可求tanθ＝3，再用正切函数的二倍角公式求解即可． 【解答】解：因为， 可得， 可得， 可得tanθ＝3， 可得． 故选：A． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 35．已知角α终边在第二象限，且，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．版权所有 【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可． 【解答】解：角α终边在第二象限，且，则，， ，， ． 故选：C． 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 五．二倍角的三角函数的逆用（共7小题） 36．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由题意利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：因为， 所以sinα，cosα， 则． 故选：B． 【点评】本题考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 37．下列各式的值为的是（　　） A．sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5° B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】根据两角和的正弦公式判断A项的正误；利用二倍角的正切公式判断出B项的正误；利用二倍角的余弦公式可判断C、D两项的正误，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5°＝sin37.5°cos7.5°+cos37.5°sin7.5° ＝sin（37.5°+7.5°）＝sin45°，可知A项不符合题意； 根据，可知B项不符合题意； 根据 ，可知C项符合题意； 根据，可知D项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式与二倍角公式等知识，属于基础题． 38．已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】结合二倍角正弦公式，利用平方关系求解． 【解答】解：因为， 所以0＜sinα＜cosα， 则， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的应用，属于基础题． （多选）39．下列等式成立的是（　　） A． B．cos75°cos15°+sin75°sin15°＝0 C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用；求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断． 【解答】解：对于A，sin15°cos15°，A正确； 对于B，cos75°cos15°+sin75°＝cos60°，B错误； 对于C，2sin215°﹣1＝﹣cos30°，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于基础题． （多选）40．下列选项化简值为1的有（　　） A．2（cos2sin2） B．（） C． D．tan20°+4sin20° 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由倍角公式及两角和与差的正余弦分别化简四个选项得答案． 【解答】解：对于A，2（cos2sin2）＝2cos2，故A错误； 对于B，（） ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，tan20°+4sin20° ，若tan20°+4sin20°＝1，则1， 可得sin20°+2sin40°＝cos20°，即sin20°﹣cos20°＝2sin40°， ∴，此式显然不成立，故D错误． 故选：BC． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是中档题． （多选）41．下列四个等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】对A，利用余弦二倍角公式求解；对B，通分后利用两角差的正弦公式，二倍角正弦公式化简；对C，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简；对D，利用两角和的正切公式化简计算． 【解答】解：对于A，由二倍角公式可得，sin2cos，故A错误； 对于B， 4，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以tan20°+tan40°tan20°tan40°， 即tan20°+tan40°tan20°tan40°，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题． 42．已知α为锐角，，则 　．　 ． 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】利用二倍角公式即可得． 【解答】解：因为，而α为锐角， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查二倍角公式，属于基础题． 六．三角函数的恒等变换及化简求值（共4小题） 43．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得cosαsinα＝2（sinαcoscosαsin）＝2sin（α）， 可得，所以． 故选：C． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式与二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题． 44．若，则（　　） A．cos（α+β）＝0 B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】根据α+2β＝（α+β）+β，利用两角和与差的余弦公式化简已知等式，推导出sinαsinβ﹣cosαcosβ＝0，进而算出cos（α+β）＝0，可得答案． 【解答】解：因为cos（α+2β）＝cos[（α+β）+β]＝cos（α+β）cosβ﹣sin（α+β）sinβ， 所以，即， 可得0， 所以0，即0，去分母得sinαsinβ﹣cosαcosβ＝0， 可得cos（α+β）＝﹣（sinαsinβ﹣cosαcosβ）＝0，A项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 45．若，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】根据两角和与差的三角函数公式化简已知等式，可得sin（2α）＝0，结合α为锐角算出角α，进而可得tanα的值． 【解答】解：由，得sin2αcoscos2αsincos2α＝0， 即，化简得sin2α+3sin2α＝0， 所以（sin2αcossincos2α）＝0，sin（2α）＝0，即sin（2α）＝0， 所以2αkπ（k∈Z），结合α为锐角，取k＝1，解得α，所以tanα． 故选：B． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题． 46．已知，，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数；求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】利用三角恒等变换求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， ，所以cosαcosβ＝2sinαsinβ， 所以， 所以cos（2α+2β）＝2cos2（α+β）﹣1＝2（cosβcosα﹣sinβsinα）2﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了三角恒等变换，属于基础题． 七．三角函数中的恒等变换应用（共5小题） 47．函数f（x）＝cosx+cos2x+cos3x，则f（x）在[0，2π]内零点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数的零点．版权所有 【分析】根据两角和与差的余弦公式，化简得f（x）＝cos2x（2cosx+1），结合余弦函数的图象与性质求出答案． 【解答】解：因为cosx＝cos（2x﹣x）＝cos2xcosx+sin2xsinx， cos3x＝cos（2x+x）＝cos2xcosx﹣sin2xsinx， 所以cosx+cos3x＝2cos2xcosx， 可得f（x）＝cosx+cos2x+cos3x＝cos2x+2cos2xcosx＝cos2x（1+2cosx）， 若f（x）＝0，则即cos2x＝0或， 结合x∈[0，2π]，可得或， 所以f（x）在[0，2π]内零点个数为6． 故选：B． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 48．已知函数，x∈[0，π]，则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）的最大值为2 B．函数f（x）的单调递增区间是 C．函数f（x）的图象关于点中心对称 D．直线y＝2与函数f（x）的图象所有公共点的横坐标之和为 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．版权所有 【分析】应用三角恒等变换化简f（x），结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误． 【解答】解：f（x）＝2sinxcosx+2cos2xsin2x+cos2x+1＝2sin（2x）+1， 由x∈[0，π]，则2x∈[，]， 当2x，即x时，f（x）取最大值为3，选项A错误； 由正弦函数的单调性知，2x∈[，]和[，]， 即x∈[0，]和[，π]时，f（x）单调递增，选项B错误； f（）＝2sin（2）+1＝1，但x∈[0，π]不关于x对称，选项C错误； 令f（x）＝2sin（2x）+1＝2，则sin（2x），又2x∈[，]， 所以2x或2x或2x，即x＝0或x或x＝π， 则所有公共点的横坐标之和为，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题． 49．若函数，则（　　） A．f（x）的单调递减区间为 B．f（x）的图象关于直线对称 C．f（x）的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是π D．f（x）的最小正周期为2π 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的单调性；求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用三角函数恒等变换可求f（x）＝2sin（2x），进而利用正弦函数的性质即可逐项求解． 【解答】解：sin2x+cos2x＝2sin（2x）， 令2x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z，解得x∈[kπ，kπ]，k∈Z， 可得f（x）的单调递减区间为，故A正确； 由于f（）＝2sin（2）＝21≠±2，故f（x）的图象不关于直线对称，故B错误； 由于f（x）的最小正周期Tπ，故D错误； 由于f（x）的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是半个周期，即为，故C错误． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 50．已知函数，x∈R，则下列描述正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期是 B．f（x）在上单调递增 C．是y＝f（x）的一条对称轴 D．f（x）的最大值是 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值；两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】结合诱导公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质检验各选项即可求解． 【解答】解： ＝2sin2x﹣4sin（x）cos（x） ＝2sin2x﹣2sin（2x） ＝2sin2x+2cos2x ＝4sin（2x）， T＝π，A错误； 时，，此时f（x）单调递增，B正确； 令2x，k∈Z，则x不满足此条件，C错误； f（x）的最大值为4，D错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了诱导公式，辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题． 51．已知．给出下列判断： ①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且，则ω＝2； ②若f（x）在[0，2π]恰有9个零点，则ω的取值范围为； ③存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称； ④若f（x）在上是增函数，则ω的取值范围为（0，1]． 其中，判断正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】三角函数中的恒等变换应用．版权所有 【分析】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单调性等性质和条件列出式子求解，判断正确性． 【解答】解：对化简可得： ， 对于①：f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且，则，T为函数f（x）的周期， 根据正弦函数周期公式，由可得，解得ω＝1，所以①错误， 对于②：令，则（k∈Z），解得（k∈Z）， 若f（x）在[0，2π]恰有9个零点，令k＝1，2，⋯，9，则， 所以ω的取值范围是，②正确； 对于③：f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 若该图象关于y轴对称，则（k∈Z）， ，ω＝﹣1﹣3k（k∈Z）， 当k＝﹣1时，ω＝2，不存在ω∈（0，2）满足条件，所以③错误； 对于④：令（k∈Z）， 解不等式得：（k∈Z）， 若f（x）在上是增函数，则， 所以ω的取值范围是，④错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$