第二章 有理数的运算（单元测试·提升卷）数学人教版2024七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C A B B C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．1 13． 14．（答案不唯一） 15． 16．或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：原式 ；.....................................3分 （2）原式 ．.....................................6分 18． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一；.....................................2分 （2）解： 原式 .....................................6分 19． 【详解】（1）解：， 故答案为：91；.....................................3分 （2）解：依题意，得第二次采集到的野果数量应为个．........................6分 20． 【详解】（1）解： 答：B地位于A地的正东方向，距离A地21千米；.....................................2分 （2）解：第1次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第2次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第3次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第4次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第5次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第6次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第7次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第8次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 千米， 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米；.....................................4分 （3）解：冲锋舟当天航行的总路程为： （升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油．.....................................6分 21． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴的值为3；.....................................2分 （2）解： ， ∴的值为；.....................................5分 （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律．.....................................8分 22． 【详解】（1）解：（千克）； 故答案为：22；.....................................2分 （2）（千克）； 答：小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克；.....................................5分 （3）（元）； 答：小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元．.....................................8分 23． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4；.....................................2分 （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C；.....................................4分 （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 .....................................8分 24． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴．.....................................2分 （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或．.....................................8分 （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴ ．.....................................12分 25． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②；.....................................4分 （2）解： ；.....................................8分 （3）解： ．.....................................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在这3个数中，负数共有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．新流感疫情肆虐全球．截至北京时间11月28日零时全球新流感疫情累计确诊病例已超6400万例，将数6400万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（ ） A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 5．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 8．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 9．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的倒数是 ． 12．计算： ． 13．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 14．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 15．一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 16．若 ，则整数的值为 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 19．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 21．对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 22．江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 23．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 24．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 25．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．在这3个数中，负数共有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，相反数的意义，绝对值的性质，有理数的乘方，是基础题，准确化简是解题的关键．先根据相反数，绝对值，数的乘方等相关概念对题中的数据进行计算，再根据负数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解:，是正数，不是负数； ，是负数； ，是负数； 则负数共有2个． 故选：B． 3．新流感疫情肆虐全球．截至北京时间11月28日零时全球新流感疫情累计确诊病例已超6400万例，将数6400万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟记相关性质是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：6400万， 故选：B． 4．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（ ） A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求出正确表达式与错误表达式的结果，再比较即可求解，掌握有理数的运算律是解题的关键． 【详解】解：正确算式：， 错误算式：， ∵， ∴， ∴错误算式的结果比正确算式的结果小， 故选：． 5．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 6．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 7．定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算，根据新运算的定义，先计算a的绝对值，再减去a与b的乘积．将，代入运算即可． 【详解】解：由定义， 代入，，得： ． 故选：B． 8．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 9．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，，， ∴结论正确的有①③④⑥，共个， 故选：C． 10．定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是知道乘积为1的两个数互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查乘方与绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先算乘方和绝对值，再算减法． 【详解】解： ． 故答案为：1． 13．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 14．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 15．一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：． 16．若 ，则整数的值为 【答案】或或． 【分析】本题主要考查乘方的意义，当时，可得：，其中，，可得成立；当时，，根据任何不为的数的次幂为，可知成立；当 时，，其中，  ，根据，，可知成立． 【详解】解：， 当时， 解得：， 此时， 其中，， ， 成立； 当时，， 其中，， ，， 成立； 当 时，， 其中，  ， ，， 成立． 综上所述，整数解为或或． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先乘除，再进行加减运算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 18．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 19．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 【答案】(1)91 (2)471个 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． （1）根据所列公式计算即可； （2）类比可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即． 【详解】（1）解：， 故答案为：91； （2）解：依题意，得第二次采集到的野果数量应为个． 20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地21千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油 【分析】（1）把题目中所给的数值相加，若结果为正数则地在A地的东方，若结果为负数，则地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需的油量，减去油箱容量即可求出途中还需要补充的油量． 本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，解题的关键是熟知正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值和． 【详解】（1）解： 答：B地位于A地的正东方向，距离A地21千米； （2）解：第1次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第2次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第3次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第4次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第5次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第6次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第7次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 第8次记录时冲锋舟离出发点A的距离为： 千米， 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处为26千米； （3）解：冲锋舟当天航行的总路程为： （升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6.5升油． 21．对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律． 22．江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克 (3)小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）表格中的最大值减去最小值即可得出结果； （2）计划每天销量乘以天数，再加上表格中的数据之和，即可得出结果； （3）用总售价减去总运费减去总的销售费用，进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克）； 故答案为：22； （2）（千克）； 答：小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克； （3）（元）； 答：小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元． 23．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【答案】（1）；4；（2）C；（3）， ；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）分别按除方公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； （4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案 （5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4； （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C； （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 24．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)， (2)3或或1或 (3)1 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、有理数的加法，乘除运算的含义，分类讨论的思想方法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 25．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在这3个数中，负数共有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．新流感疫情肆虐全球．截至北京时间11月28日零时全球新流感疫情累计确诊病例已超6400万例，将数6400万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（ ） A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 5．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 8．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 9．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的倒数是 ． 12．计算： ． 13．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 14．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 15．一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 16．若 ，则整数的值为 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 19．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 21．对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 22．江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 23．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 24．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 25．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$