精品解析：河南省新乡市原阳县路寨乡贾村实验学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级第一学期学习评价 数学（3） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误； 故选∶ A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 为了更好的发展经济，让山里的石榴走出去，某县政府决定在A、B两地之间修建一条公路，在比例尺为的地图上，A、B两地相距，它们的实际距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比的应用，根据比例尺的定义，将地图上的长度转换为实际距离，并进行单位换算即可． 【详解】解：∵比例尺为， ∴A、B两地相距时，它们的实际距离为： ， 故选：B． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值，判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：对于方程 ，系数 ，，； 判别式 ； ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，在中，，则的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及求一个角的正切值．先设，结合勾股定理得出，再运用正切定义列式化简，即可作答． 【详解】解：设（）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 6. 从，，0，1，2，3中任取一个数，这个数是非负数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查非负数的概念及简单概率计算．非负数包括0和正数，确定符合条件的数的个数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：非负数为0、1、2、3，共4个． 因此，任取一个数为非负数的概率为． 故选C． 7. 已知，则与最接近的整数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解． 【详解】解： ∵， ∴, ∴与最接近的整数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 8. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ） A. 12米 B. 12.5米 C. 14米 D. 15米 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形相似的性质求得，从而求得的高度． 【详解】解：由题意可知：， ∴四边形为矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握相似三角形的有关性质是解题的关键． 9. 为报答社会，某企业每年都会向乡村小学捐款，2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，根据2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连，下列结论：①；②；③；④．正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】解：①为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②过点作于点，如图， 设，则，， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， ， ， 故，故②错误； ③，， ， ， ， ， ，， ，故③正确； ④如图， 在，由勾股定理得， ，， 在，由勾股定理得， ， 在，由勾股定理得， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，相似三角形的性质等知识，关键能运用这些知识表示出需要的边或角，即可解决． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 在一个不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚，它们除颜色外都相同，现从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做10次，摸到黑棋子的频率稳定在，则袋子中白棋子约有______个． 【答案】15 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据题意列出方程是解题关键． 利用已知提供的数据假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数． 【详解】解：设袋中白棋子有个，则， 解得． 经检验：为原分式方程的解， 即袋中白棋子约有15枚． 故答案为：15 12. 如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新运算和解一元二次方程的应用，解此题的关键是得出关于x的一元二次方程，题目比较好，难度适中．先阅读新运算，根据新运算得出，求出方程的解即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 14. 如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长； 【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1， ∴AB=2DE=2， ∵点F、G分别是AC、BC中点， ∴， 故答案为：1 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，三角函数，负整数指数幂，零指数幂． （1）先计算二次根式的乘除，再计算减法即可； （2）先计算三角函数，负整数指数幂，二次根式，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画，使与位似，且相似比为； （2）写出点、的坐标． 【答案】（1） 如图所示， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中位似的运用，掌握位似比的运算，作图，面积计算方法是解题的关键． （1）根据的三个顶点，位似比的值，可算出点的坐标，连接即可求解； （2）根据相似比即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，，以原点为位似中心，相似比为， ∴， ∴，即， ∴，则 同理，，连接， ∴即为所求图形． 【小问2详解】 解：由（1）得，． 18. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 19. 根据下列条件解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°； 【答案】（1）∠A＝∠B＝45°，b＝a＝5；（2）a＝6.b＝2 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以求得b的值,然后根据a、b、c的值可以得出各角的度数． （2）根据∠A和∠C的值可以求得∠B的值,从而可以求得a、b的值． 【详解】解：(1)∵sinA＝＝, ∴∠A＝45°. ∴∠B＝90°－∠A＝45°. ∴∠A＝∠B＝45°,b＝a＝5　 (2)∵∠A＝60°, ∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∵sinA＝, ∴a＝c·sinA＝4·sin60°＝6. ∴b＝＝2. 【点睛】本题主要考查解直角三角形,解决本题的关键是要根据已知元素,利用三角形函数关系,求得直角三角形的其它各个量． 20. 为推进党的“二十大精神”第一时间进课堂、进头脑，引导广大青少年坚定理想信念，把人生理想融入国家和民族发展的伟大“中国梦”之中，大丰区教育局12月份开展“二十大”主题教育演讲比赛，某学校从甲、乙2名男生和丙、丁、戊3名女生中随机选派一男一女进行宣讲． （1）请利用画树状图或列表法，列举出所有可能选派的结果； （2）求选派丁去演讲的概率． 【答案】（1） 列表可得所有可能选派的结果如下： 甲 乙 丙 （甲，丙） （乙，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） 戊 （甲，戊） （乙，戊） （2）【解析】 【分析】（1）根据列表法，求解即可； （2）分别求得总的结果数和选派丁去演讲的结果数，根据概率公式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由表知，共有6种等可能结果，其中选派丁去宣讲的有2种结果， 所以选派丁去宣讲的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图求解概率，概率公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 21. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． （1）y关于x的一次函数解析式为______； （2）若想每个月获得3150元的利润，则销售价格应定为多少元？ 【答案】（1） （2）当价格为25元或17元时，每个月获得3150元的利润． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及方程，即可求解． （1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案； （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设，把，和，代入可得 ， 解得， 则； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当价格为25元或17元时，每个月获得3150元的利润． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 23. 在中，，，且． （1）如图1，若F、G分别是、的中点，求证：． （2）如图2，若，，连接，求的值． （3）如图3，若，，F、G分别是和上的动点，且始终满足，将绕A点顺时针旋转一周，则的最小值为______． 【答案】（1） 证明：， ，， 又， ， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质及判定，即可证明结论； （2）连接，，同（1）可得，继而证明，可得，设，计算得，即可证明，所以， 求得，即可求得答案； （3）连接，，同（2）可得：，所以，当时，求得的最小值，当D点在上时，求得的最小值，即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 同（1）可得， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 连接，， 同（2）可得：， ， ，， ， ，， ， 当时，最小，最小值为， 当D点在上时，最小为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，直角三角形的性质，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期学习评价 数学（3） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 2. 为了更好的发展经济，让山里的石榴走出去，某县政府决定在A、B两地之间修建一条公路，在比例尺为的地图上，A、B两地相距，它们的实际距离为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 如图，在中，，则的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 从，，0，1，2，3中任取一个数，这个数是非负数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则与最接近的整数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ） A. 12米 B. 12.5米 C. 14米 D. 15米 9. 为报答社会，某企业每年都会向乡村小学捐款，2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连，下列结论：①；②；③；④．正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 在一个不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚，它们除颜色外都相同，现从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做10次，摸到黑棋子的频率稳定在，则袋子中白棋子约有______个． 12. 如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 13. 对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则______． 14. 如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则_________． 15. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画，使与位似，且相似比为； （2）写出点、的坐标． 18. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 19. 根据下列条件解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°； 20. 为推进党的“二十大精神”第一时间进课堂、进头脑，引导广大青少年坚定理想信念，把人生理想融入国家和民族发展的伟大“中国梦”之中，大丰区教育局12月份开展“二十大”主题教育演讲比赛，某学校从甲、乙2名男生和丙、丁、戊3名女生中随机选派一男一女进行宣讲． （1）请利用画树状图或列表法，列举出所有可能选派的结果； （2）求选派丁去演讲的概率． 21. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． （1）y关于x的一次函数解析式为______； （2）若想每个月获得3150元的利润，则销售价格应定为多少元？ 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 23. 在中，，，且． （1）如图1，若F、G分别是、的中点，求证：． （2）如图2，若，，连接，求的值． （3）如图3，若，，F、G分别是和上的动点，且始终满足，将绕A点顺时针旋转一周，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $